数学选择性必修第一册4.2 等差数列第一课时学案

这是一份数学选择性必修第一册4.2 等差数列第一课时学案，共7页。
等差数列的前n项和新课程标准解读核心素养1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系数学抽象、数学运算2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题数学建模、数学运算第一课时　等差数列的前n项和公式在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．[问题]　文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Sn＝Sn＝na1＋d对等差数列前n项和公式的理解(1)公式Sn＝中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式Sn＝na1＋d中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个量就可以求出另外的两个量；(2)等差数列{an}的求和公式Sn＝与梯形面积公式S梯形＝类似，可对比记忆为上底是“a1”，下底是“an”，高是“n”．　　　　 　Sn＝na1＋d(d≠0)与二次函数有什么关系？提示：Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的没有常数项的二次函数．1．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于(　　)A．n　　　　　　　　　　 B．n(n＋1)C．n(n－1)  D.解析：选D　因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋×1＝＝＝，故选D.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于(　　)A．16  B．24C．36  D．48解析：选D　设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋d＝20，即4×＋d＝20，解得d＝3，∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________．解析：∵an＝－5n＋2，∴数列{an}是等差数列，且a1＝－3，公差d＝－5，∴Sn＝＝－.答案：－等差数列前n项和公式[例1]　(链接教科书第137页例1)已知数列{an}是等差数列．(1)若a1＝7，a50＝101，求S50；(2)若a1＝2，a2＝，求S10；(3)若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n.[解]　(1)因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得S50＝＝2 700.(2)因为a1＝2，a2＝，所以d＝.根据公式Sn＝na1＋d，可得S10＝10×2＋×＝.(3)把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得－5＝n＋×.整理，得n2－7n－60＝0.解得n＝12或n＝－5(舍去)．所以n＝12.等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值：　　　　 (2)利用等差数列的性质解题：　　　　 [跟踪训练]1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于(　　)A．13　　　　　　　　 B．35C．49  D．63解析：选D　∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝＝＝63.2．已知等差数列{an}．(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.解：(1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.又Sn＝na1＋d＝－5，解得n＝15或n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差数列前n项和公式的简单应用[例2]　(链接教科书第137页例3)已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1 220.(1)由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？(2)求{an}的前30项和S30.[解]　(1)由题意，知S10＝310，S20＝1 220.把它们代入公式Sn＝na1＋d，得解方程组，得∴由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差．(2)法一：由S10＝310，S20＝1 220，得∴∴S30＝30×4＋×6＝2 730.法二：设Sn＝An2＋Bn，∴∴∴S30＝900A＋30B＝900×3＋30＝2 730.等差数列前n项和公式的应用技巧Sn＝与Sn＝na1＋d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择．当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d.　　　　 [跟踪训练]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，试求S110.解：由题意得解得故S110＝110a1＋d＝110×10.99＋×＝－110.已知等差数列的前n项和Sn求an[例3]　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.(1)求a1及an；(2)判断这个数列是否是等差数列．[解]　(1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32.(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)，所以数列{an}是等差数列．[母题探究](变条件)将本例中“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝－2n2＋n＋2”，如何求解下列问题？(1)求{an}的通项公式；(2)判断{an}是否为等差数列？解：(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又∵a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是an＝(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4(常数)，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．由Sn求通项公式an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1；(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1，否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝　　　　 [跟踪训练]已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．解：根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－＝2n－，①当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－，n∈N*.1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于(　　)A．－n2＋  B．－n2－C.n2＋  D.n2－解析：选A　∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，∴Sn＝＝－n2＋.2．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于(　　)A．18  B．27C．36  D．45解析：选C　因为a2＋a8＝8，所以a1＋d＋a1＋7d＝8，即a1＋4d＝4，所以S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝36.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为(　　)A．1  B.C．2  D．3解析：选C　因为S3＝＝6，而a3＝4，所以a1＝0，所以d＝＝2.4．已知在等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝________，a12＝________．解析：∵Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝＋(12－1)×＝－4.答案：12　－4