初中数学冀教版九年级下册29.4 切线长定理教案

教学过 程

  教   学   内  容

师 生 相 互 交 往      

设计意图

一、

    激 发情 趣导 入新 课

同学们，请看这是什么玩具？（悠悠球）对，这是大家非常喜爱的一种玩具。（教师演示一次） 可是，大家在玩悠悠球时是否想到过它的转动过程中还包含着数学知识呢？是什么知识呢？我们来看一下它的构造。（拆开球，出示球的剖面）这是悠悠球在转动的一瞬间的剖面，从中你能抽象出什么样的数学图形？（球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段。）           

这些图形位置关系怎样？

（两圆为同心圆，线段所在直线和小圆相切）[在这两问中，如果学生想不到球的整体时，这个圆可以不提]

线段的两个端点和小圆的位置关系怎样？（一个是切点在小圆上，一个在小圆外）

我们可以看出，球与手的距离就决定于这条线段的长度。在几何中，我们把满足上述特征的线段的长叫做点到圆的切线长，这节课我们就来研究切线长的有关知识。

教师出示同学们熟悉并且喜爱的玩具之后连续几问转入正题。

学生看到玩具眼睛一亮，注意力被吸引，想到老师为什么会在课堂上拿出悠悠球，一时兴致勃勃。当老师话锋一转，步入正题时，他们的兴致也随之而来，带着强烈的好奇心思考老师提出的问题。

此时教师又引导学生说出线段的特征，不失时机地引入新课，板书课题。

吸引学生的注意力，激发学生的求知欲，同时也使学生意识到数学知识广泛存在于日常生活之中。

二、

合乎情理探索发 现

（一）、切线长定义

1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长）

（2）定义中的“线段”具有什么特征？

① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。

3、在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC和⊙O相切于点A ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？ （线段PA）

    C

图1                   图2

（2）已知：如图2，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA或线段PB）

（3）如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？

（4）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学。

教师在板书定义之后，通过对话交往，引导学生把对概念的感性认识上升到理性认识，然后在图形中进行识别，从而认识概念的本质特征，理解概念的外延。在对话中，教师以民主的精神、平等的作风、宽容的态度、真挚的爱心和悦纳的情怀对待学生，在相互倾听、接受和共享中获得知识，使教学相长。

此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系，同时由这个结论教师适时引出探索问题1

使学生了解切线长的定义，并能在具体的图形中把它们识别出来。

    培养学生合情推理能力、语言表达能力。

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设计意图

二、

合乎情理探索发 现

（二）、切线长定理：

1、探索问题1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？

探索步骤：

（1）根据条件画出图形；

（2）度量线段PA和PB的长度；

（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；

（4）寻找证明猜想的途径；

（5）在图3中还能得出哪些结论？并把它们归类。

（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由。

由（5）得：

线段相等：PA=PB；

OA=OB；

角相等：∠APO=∠BPO；

        ∠AOP=∠BOP；

垂直关系：OA⊥PA；           图3

OB⊥PB；

三角形全等：△OAP≌△OBP.

2、由（6）得出定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

3、剖析定理：

（1）、指出定理的题设和结论；

（2）用符号语言表示定理：

∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O相切于点A、B）

∴PA=PB，

∠APO=∠BPO.

定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合。首先出示探索步骤的前三个，等学生猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径。之后，再让学生探索更多的结论，并由（6）得出定理。定理的剖析以对话形式进行。在整个过程中，教师相应地进行板书。

随着一环紧扣一环的探索问题的深入，学生通过自主地发现问题、信息搜集与处理、表达与交流等探索活动，获得知识、技能，并获得积极的、深层次的体验，从而促进学生探究能力的发展。

三、 创设情 境巩固应 用

1、填空：如图3，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，（1）若PB=12，PO=13，则AO=＿＿＿.

（2）若PO=10，AO=6，则PB=＿＿＿；

（3）若PA=4，AO=3，则PO=＿＿＿；PD=＿＿；

2、已知如图4，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO与⊙O相交于点D，且PA=4cm,PD=2cm.

求半径OA的长.

小结：                              图4

2题与1 题不同，不能用算术方法直接得出答案，需要设未知数列方程来解决，这是用代数的方法来解决几何题。（渗透方程思想）

口答

笔答

会利用定理进行有关的计算，在2题中，进一步渗透方程思想，熟悉用代数的方法解决几何题。

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设计意图

三、 创设情 境巩固应 用

3、解决实际问题：在我们日常生活中有很多物体呈圆形，例如花盆边沿、水杯口等，有时我们需要知道圆形物体的半径，那么利用本节所学的切线长定理，如何解决这个问题呢？

小制作：名称：圆的半径测量仪

        材料：两把刻度尺

        用途：测量水杯口的半径

过程：

（1）出示问题，学生尝试；

（2）遇到困难，设法解决；

（3）设计方案，说明道理；

（4）完成制作，实物测量。

教师出示问题，学生尝试，在尝试中遇到困难，师生共同设法解决。在设计时，寻求多种方案，并说明方案的合理性，比较方案的简洁性，最后由学生完成制作，并进行实物测量。

运用所学知识解决实际问题，发展应用意识，在数学活动中体验策略的多样性，发展实践能力与创新精神。在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。真正做到“以参与求体验，以创新求发展”。

四、

顺应情势归纳总 结

1、探索问题2：

连结图3中的两个切点AB交OP于点C，又能得出什么结论？并把它们分类。

2、通过本节课的实践、探索、交流，你有哪些收获？

这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切线呢？这些问题有待于我们课后去研究，请看课外作业。

    学生探索问题2，得出结论后进而进行归纳总结。教师给与适当的评价之后，把知识进行引申，出示探索问题3和4，留为作业。

培养学生归纳概括能力，把知识纳入系统，便于学生存储、提取和应用。

使学生了解数学的价值。

五、

心甘情愿课外作 业

1、探索问题3：

已知：如图5，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，

（1）图中共有几对相等线段？

（2）若AD=4，BC=5，CF=6，

则△ABC的周长是＿＿；

（3）若AB=4，BC=5，AC=6，

则AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿.

2探索问题4：                  图5

已知：如图6，四边形ABCD的边AB、

BC、CD、DA和⊙O分别相切于

点L、M、N、P.

想一想： AB+CD与

AD+BC之间有什么关系？

说明你结论的正确性。

   3、选做：

出示

课外作业针分层次，针对各类学生进行。

在课堂探索结束之时，鼓励学生继续进行课外探索，做到“课虽尽，思不止”。

六、

深系情结板书设 计

                       *6.10  切线长定理

一、切线长定义：                                 线段相等：

                                                  角 相 等：

二、切线长定理：                                 垂直关系：

                                                  三角形全等：

条理清晰

重点突出

帮助理解

便于记忆