2021学年2.5.2 椭圆的几何性质第2课时导学案及答案

这是一份2021学年2.5.2 椭圆的几何性质第2课时导学案及答案，共14页。学案主要包含了椭圆中的焦点三角形，椭圆中的最值，实际生活中的椭圆问题等内容，欢迎下载使用。
一、椭圆中的焦点三角形
例1 已知P为椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4eq \r(3)，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \r(3).
延伸探究
若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2eq \r(3)＝4eq \r(3)，
所以|PF2|＝4eq \r(3)－|PF1|.
从而有(4eq \r(3)－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝eq \f(\r(3),2).
所以△F1PF2的面积S＝eq \f(1,2)·|PF1|·|F1F2|＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×6＝eq \f(3\r(3),2)，
即△F1PF2的面积是eq \f(3\r(3),2).
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)焦点三角形面积公式：＝b2tan eq \f(θ,2).
跟踪训练1 设P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12 C．8 D．6
答案 C
解析 ∵P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
又|F1F2|＝2c＝2eq \r(49－24)＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，
＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.
∵△PF1F2的重心为点G，∴＝，
∴△GPF1的面积为8.
二、椭圆中的最值
问题 若P(x0，y0)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点，F1(－c,0)，F2(c,0)是椭圆的左、右焦点，你能表示|PF1|与|PF2|吗？
提示 |PF1|＝eq \r(x0＋c2＋y\\al(2,0))
＝eq \r(x0＋c2＋b2·\f(a2－x\\al(2,0),a2))
＝eq \r(\f(c2,a2)·x\\al(2,0)＋2cx0＋a2)
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(cx0,a)))，
因为－a≤x0≤a，所以a－c≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(cx0,a)))≤a＋c，
故有|PF1|＝a＋ex0，
同理|PF2|＝a－ex0.
知识梳理
|PF1|与|PF2|统称焦半径，其最大值为a＋c，最小值为a－c.
例2 (1)若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为( )
A．3,1 B．2＋eq \r(3)，2－eq \r(3)
C．2,1 D.eq \r(3)＋1，eq \r(3)－1
答案 A
解析 由题知a＝2，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(4－3)＝1，
所以距离的最大值为a＋c＝3，
距离的最小值为a－c＝1.
(2)椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，F1，F2是左、右焦点，点Q(2,2)，点P为椭圆上一动点，则|PF1|＋|PQ|的最大值为________，最小值为________．
答案 10＋eq \r(5) 10－eq \r(5)
解析 椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，
∴a＝5，b＝4，c＝3，
∴F1(－3,0)，F2(3,0)．
如图所示，点Q在椭圆内部，
∵点P为椭圆上的点，
则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PF1|＝10－|PF2|，
∵|PF1|＋|PQ|＝|PQ|－|PF2|＋10，
又||PQ|－|PF2||≤|QF2|＝eq \r(5)，
∴－eq \r(5)≤|PQ|－|PF2|≤eq \r(5)，
即|PF1|＋|PQ|∈[10－eq \r(5)，10＋eq \r(5)]．
反思感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等．
跟踪训练2 (1)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A．8,2 B．5,4 C．5,1 D．9,1
答案 D
解析 依题意a＝5，b＝3，c＝4，所以P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是a＋c＝9，a－c＝1.
(2)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为bc，则椭圆的离心率为________．
答案 eq \f(\r(3),2)
解析 设椭圆的右焦点为E(如图所示)．
由椭圆的定义得△FAB的周长为
|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)
＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.
因为|AE|＋|BE|≥|AB|，
所以|AB|－|AE|－|BE|≤0，当且仅当AB过点E时取等号；
所以△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a，
所以△FAB的周长的最大值是4a；
此时△FAB的面积为S△FAB＝eq \f(1,2)×2c×eq \f(2b2,a)＝eq \f(2b2c,a)＝bc，
整理得a＝2b.
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),2).
三、实际生活中的椭圆问题
例3 (多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2
C.eq \f(c1,a1)eq \f(c2,a2)
答案 BD
解析 由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，aeq \\al(2,1)＋ceq \\al(2,2)＋2a1c2＝aeq \\al(2,2)＋ceq \\al(2,1)＋2a2c1，
所以aeq \\al(2,1)－ceq \\al(2,1)＋2a1c2＝aeq \\al(2,2)－ceq \\al(2,2)＋2a2c1，
即beq \\al(2,1)＋2a1c2＝beq \\al(2,2)＋2a2c1，由图可得，beq \\al(2,1)>beq \\al(2,2)，
所以2a1c20)，F1，F2分别为左、右焦点，B为短轴端点，若△BF1F2为钝角三角形，则e的取值范围是__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
解析 如图所示，
△BF1F2为钝角三角形，
则∠F1BF2>90°，
所以∠OBF2>45°，
即c>b，所以c2>b2＝a2－c2，
所以eq \f(c2,a2)>eq \f(1,2)，又0b>0)．
∵eq \f(b,a)＝eq \r(\f(a2－c2,a2))＝eq \r(1－e2)＝eq \f(1,2)，∴a＝2b.
∴椭圆方程为eq \f(x2,4b2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
设椭圆上点M(x，y)到点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))的距离为d，
则d2＝x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝4b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,b2)))＋y2－3y＋eq \f(9,4)
＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2)))2＋4b2＋3(－b≤y≤b)，
令f(y)＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2)))2＋4b2＋3.
①当－b≤－eq \f(1,2)，即b≥eq \f(1,2)时，
deq \\al(2,max)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝4b2＋3＝7，
解得b＝1，∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
②当－eq \f(1,2)b>0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d1＋R＝a－c，,d2＋R＝a＋c，))则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
12.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成60°角，
可得eq \f(2b,2a)＝cs 60°，即a＝2b，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).
13．点P为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．(8,24) B．[8,24] C．[5,21] D．(5,21)
答案 B
解析 由题意，eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝(eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(NE,\s\up6(→)))·(eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(NF,\s\up6(→)))＝(eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(NE,\s\up6(→)))·(eq \(PN,\s\up6(→))－eq \(NE,\s\up6(→)))＝|eq \(PN,\s\up6(→))|2－|eq \(NE,\s\up6(→))|2，
又EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径，
则|eq \(NE,\s\up6(→))|＝1，
在椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1中，有a－c≤|eq \(PN,\s\up6(→))|≤a＋c，
即3≤|eq \(PN,\s\up6(→))|≤5，
所以8≤|eq \(PN,\s\up6(→))|2－1≤24，
故eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝|eq \(PN,\s\up6(→))|2－1的取值范围为[8,24]．
14．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________.
答案 120°
解析 由eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1，知a＝3，b＝eq \r(2)，∴c＝eq \r(7)，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝－eq \f(1,2)，
又∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝120°.
15.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,5))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,5))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，1))
答案 B
解析 当α与底面趋于平行时τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0.当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值．如图，AB为长轴，F为焦点时，e最大，a＋c＝|BF|＝|BG|＝2，
易知b＝1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(5,4)，,c＝\f(3,4)，))则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，
则离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,5))).
16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?
解 (1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2eq \r(3)，
∴曲线C的方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3，得eq \r(x－22＋y2)＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－22＋y2＝9，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，,－4≤x≤4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3.))
∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3)．