专题一 导数与切线

这是一份专题一 导数与切线，共10页。试卷主要包含了已知函数f＝x－1＋ 等内容，欢迎下载使用。
专题一       导数与切线例题1．已知函数.求曲线在点处的切线方程;解：(1)由题意得，所以又因为，所以切线方程为整理得.巩固1．函数.求曲线在点处的切线方程；解：（1）因为的定义域为，所以，因此，即曲线在点处的切线斜率为.又，所以曲线在点处的切线方程为，即；例题2．设函数，求曲线过原点的切线方程；解：（1）设切点坐标为，所以.所以切线方程为.又因为切线过原点，所以所以，所以故所求切线方程为.巩固2．已知函数.经过点（-1，-2）作函数图像的切线，求该切线的方程.解：设切点为，则，，解得，故切线方程为，即.例题3．已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数)．（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线平行于x轴，求a的值；（2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．解：（1）f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线平行于x轴，所以f′（1）＝1－＝0，解得a＝.（2）当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.设切点为(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①f′(x0)＝1－＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.巩固3．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.解：（1）， ∴切线斜率，∴曲线在处的切线方程为，∴即；（2）过点向曲线作切线，设切点为，则，∴切线方程，即，∴有三个不同实数根，记，令或1，则的变化情况如下表01+0-0+极大极小当有极大值；有极小值.因为过点可作曲线的三条切线，则，即，解得，所以的范围是.【素养提升】1.已知函数,若直线过点,且与曲线相切,则直线的斜率为　　A． B．2 C． D．【答案】B【解析】函数的导数为,设切点为,则,可得切线的斜率为,所以,解得,,故选B．2.若对恒成立,则曲线在点处的切线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】……①……②联立①②,解得：,则,切线方程为：,即,故选3.已知函数f(x)＝x3＋x－16.直线l为曲线y＝f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.【分析】设切点为(x0,y0),整理出关于的方程,解方程求出切点(x0,y0),再用点斜式写出方程.【解析】法一：设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)＝3＋1,∴直线l的方程为y＝(3＋1)(x－x0)＋＋x0－16,又∵直线l过点(0,0),∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16,整理得, ＝－8,∴x0＝－2,∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26,k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x,切点坐标为(－2,－26)．法二：设直线l的方程为y＝kx,切点为(x0,y0),则k＝＝,又∵k＝f′(x0)＝3＋1,∴＝3＋1,解之得x0＝－2,∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26,k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x,切点坐标为(－2,－26)．4.已知过点且与曲线相切的直线的条数有（    ）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】设切点为,则,由于直线l经过点（2,1）,可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率,建立关于的方程,通过解方程确定切点个数．【解析】若直线与曲线切于点,则,又∵,∴,∴,解得,,∴过点与曲线相切的直线方程为或,故选C．5.已知直线即是曲线的切线,又是曲线的切线,则直线在轴上的截距为A．2 B．1 C． D．.【答案】B【分析】设出直线l与两曲线的切点,分别求出两曲线在切点处的切线方程,由斜率与截距相等列式求得切点的横坐标,代入切线方程,则答案可求．【解析】设直线l与曲线C1：y＝ex的切点为（）,与曲线C2：ye2x2的切点为（）,由y＝ex,得,由ye2x2,得,∴直线l的方程为,或,则,解得x1＝x2＝2．∴直线l的方程为：y﹣e2＝e2（x﹣2）,取y＝0,可得x＝1．∴直线l在x轴上的截距为1．故选B．6．若点P是函数y=图象上任意一点,直线l为点P处的切线,则直线l斜率的范围是（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵ ．∵1＜sin2x≤1,∴0＜1+sin2x≤2,∴,则．∴直线l斜率的范围是[1,+∞）．故选C．7．设曲线,在曲线上一点处的切线记为,则切线与曲线的公共点个数为A． B． C． D．【答案】C【解析】    方程为：,即由得：即：,,,曲线C与l的公共点个数为：3个,故选C。8．若函数与函数的图象存在公切线,则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设公切线与函数,分别切于点,,则过A，B的切线分别为：、,两切线重合,则有：代入得：,构造函数：,,.,,.,,,,∴,.欲合题意,只须.9．已知函数,若函数的图象上存在点,使得在点处的切线与的图象也相切,则的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】的公共切点为,设切线与的图象相切与点, 由题意可得 ,解得 所以 ,令 则令,解得 ,当 时, 当 时, ,函数在上单调递增当 时, ,函数在上单调递减当t从右侧趋近于0时, 趋近于0, 当t趋近于 时, 趋近于0所以 ,故选B10．若是函数的极值点,则函数在点处的切线方程是______．【答案】【解析】由题得.所以.所以切点为（1,-e）,所以切线方程为.故答案为：11．若函数与函数,在公共点处有共同的切线,则实数的值为______．【答案】【解析】函数的定义域为,,,设曲线与曲线公共点为,由于在公共点处有共同的切线,∴,解得,．由,可得．联立,解得．故答案为．12．已知函数．（1）当时,求函数在区间上的最小值；（2）当时,求证：过点恰有2条直线与曲线相切．【解析】（1）当a＝3时,f（x）＝x3﹣3x2,f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．当x∈[0,2]时,f'（x）≤0,所以f（x）在区间[0,2]上单调递减．所以f（x）在区间[0,2]上的最小值为f（2）＝﹣4．（2）设过点P（1,f（1））的曲线y＝f（x）的切线切点为（x0,y0）,f'（x）＝3x2﹣2ax,f（1）＝1﹣a,所以所以．令g（x）＝2x3﹣（a+3）x2+2ax+1﹣a,则g'（x）＝6x2﹣2（a+3）x+2a＝（x﹣1）（6x﹣2a）,令g'（x）＝0得x＝1或,因为a＞3,所以．x（﹣∞,1）1 g′（x）+0﹣0+g（x）↗极大值↘极小值↗ ∴g（x）的极大值为g（1）＝0,g（x）的极小值为,所以g（x）在上有且只有一个零点x＝1．因为g（a）＝2a3﹣（a+3）a2+2a2+1﹣a＝（a﹣1）2（a+1）＞0,所以g（x）在上有且只有一个零点．所以g（x）在R上有且只有两个零点．即方程有且只有两个不相等实根,所以过点P（1,f（1））恰有2条直线与曲线y＝f（x）相切．