专题六导数与双变量

这是一份专题六导数与双变量，共11页。试卷主要包含了消元，换元，构造函数等内容，欢迎下载使用。
专题六       导数与双变量一、消元若两个变量存在确定的关系，可以利用其中一个变量替换另一个变量，直接消元，将两个变量转化为一个变量.例题1．已知函数，.（1）当，时，求函数在上的最小值；（2）设，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围.解：（1）当，时，，，则，∴当时，；当时，，∴在上单调递减；在上单调递增，∴.（2）当时，，∴，是方程的两根，∴，，∵且，，∴，，∴，令，则，∴在上单调递增，∴，即：.巩固1．已知函数，.（1）当时，求在处的切线方程；（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围.解：（1）由题意，，又，因此切线方程是，即；（2）函数定义域是，，恒成立，因此由有两个极值点得在上有两个不等的实根．∴，解得，，，因此有，则由得，令，，时，，单调递减，∴，∴．二、换元若两个变量不存在确定的关系，有时可以将两个变量之间的关系看成一个整体（比如）,进行整体换元，将两个变量化为一个变量.例题2．已知函数有两个零点，.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.解：（1）函数定义域为，.令得，可得在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，故欲使有两个零点，只需，即.（2）证明：不妨设，则由（1）可知，且，两式相减可得.欲证，即证，设，则即证，构造函数，则，所以在上单调递增，故，所以，原不等式得证.巩固2．已知函数．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，其实数m的取值范围；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，证明：lnx1+lnx2＞2．解：（1）由函数f（x）在（0,+∞）上是减函数,可知,f′（x）＝lnx﹣mx≤0恒成立,∴m恒成立,故mmax,令g（x）,x＞0,则g′（x）,当x∈（0,e）,g′（x）0,g（x）单调递增,当x∈（e,+∞）,则g′（x）0,g（x）单调递减,g（x）max＝g（e）,∴．（2）由（1）f′（x）＝lnx﹣mx,由f（x）在（0,+∞）上存在两个极值点,不妨设x1＜x2,知,则m,又m,∴,即lnx1+lnx2,设t∈（0,1）,要证明：lnx1+lnx2＞2,只要证,只要证lnt,即证lnt0,构造函数h（t）＝lnt,h′（t）0,h（t）在（0,1）上单调递增,∴h（t）＜h（1）＝0,即h（t）＝lnt0,∴lnx1+lnx2＞2． 三、构造函数根据题中结构构造适当的函数（同构），利用函数性质解决.例题3．设函数，.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调性和极小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．解：（1），，由于曲线在点处的切线与直线垂直，则，可得.此时，，定义域为，，令，得.列表如下：极小值 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数的极小值为；（2）由的，设，则，由于，所以，函数在上单调递减，，由题意可知对任意的恒成立，可得，对于二次函数，当时，函数取得最大值，.因此，实数的取值范围是.  四、主元转换法当两个变量之间没有关系，也不能看成一个整体时，主元的选择就显得尤为重要了，主元若选择得当，可以降低思维难度，可以将复杂的函数变为简单函数。指定主元是将其中一个变量作为主元，另一个变量作为参数。例题4.（主元转换法）已知函数,求证解：设，则所以原不等式得证【素养提升】1.已知,函数.（1）证明：有两个极值点；（2）若是函数的两个极值点,证明：.【解析】（1）证明：由题意得,令,则在上递增,且,当时,递减；当时,递增,∴,∵,∴.当时,递增；当时,递减,∴是的极大值点.∵,∴.当时,递减；当时,递增,∴是的极小值点.∴在上有两个极值点.（2）证明：由（1）得,且,∴,.∴=.设,则,∴在时单调递减,则.∴,则.∴.2．已知函数,其中.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点,,证明：.【解析】（1）解：由题得,其中,考察,,其中对称轴为,.若,则,此时,则,所以在上单调递增；若,则,此时在上有两个根,,且,所以当时,,则,单调递增；当时,,则,单调递减；当时,,则,单调递增,综上,当时,在上单调递增；当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.（2）证明：由（1）知,当时,有两个极值点,,且,,所以.令,,则只需证明,由于,故在上单调递减,所以.又当时,,,故,所以,对任意的,.综上,可得.3.【2018全国卷Ⅰ】已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点,证明：．【解析】(1) 的定义域为,．（i）若,则,当且仅当,时,所以在单调递减．（ii）若,令得,或．当时,；当时,．所以在单调递减,在单调递增．(2)由(1)知, 存在两个极值点当且仅当．由于的两个极值点,满足,所以,不妨设,则．由于,所以等价于．设函数,由(1)知,在单调递减,又,从而当时,．所以,即．4. 已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若函数有两个极值点且恒成立,求实数的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为,,令,,若时,,在恒成立,函数在上单调递增.若,,方程,两根为,,当时,,,,单调递增.当时,,,,,单调递增,,,单调递增.综上,时,函数单调递增区间为,时,函数单调递增区间为,时,函数单调递增区间为,.（2）由（1）知,存在两个极值点时,且,,则,,且,.此时恒成立,可化为恒成立,设,,,因为,所以,,所以,故在单调递减,,所以实数的取值范围是.