2021年广东省广州市花都区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2021年广东省广州市花都区中考数学一模试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．5B．﹣5C．D．±5
2．（3分）下列正多边形中，对称轴最多的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）广州启动集团化办学，三年耕耘硕果累累，有五个区成立的区属教育集团个数分别为2，5，8，3，2，这组数据的中位数是（ ）
A．2B．3C．5D．8
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+5b＝10abB．x2•x3＝x6
C．（m2n）3＝m5n4D．12m2n÷3mn＝4m
5．（3分）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定
6．（3分）如图，某地修建一座高BC＝5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1：，则斜坡AB的长度为（ ）
A．10mB．10mC．5mD．5m
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点，将抛物线向上平移m个单位长度后，点A，B在新抛物线上的对应点分别为点C，D，若图中阴影部分的面积为8，则平移后新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣4x+3B．y＝x2﹣4x+5C．y＝x2﹣4x+7D．y＝x2﹣4x+11
9．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（ ）
A．24B．25C．24或25D．无法确定
10．（3分）如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（10，8）B．（8，﹣10）C．（﹣10，8）D．（﹣8，10）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，则∠C的度数是 ．
12．（3分）分解因式：x2﹣1＝ ．
13．（3分）如图，圆锥的母线长SA＝3，底面圆的周长是2π，则圆锥的侧面积是 ．
14．（3分）一次函数y＝kx+2k的图象如图所示，当y＞0时，则x的取值范围是 ．
15．（3分）已知1，a，2分别是三角形的三边长，则+|a﹣3|＝ ．
16．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点A（3，0）在x轴的正半轴上，点D是对角线OB，AC的交点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C，D两点．已知cs∠BOA＝，则AB的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程组：．
18．（4分）如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM＝CN．
19．（6分）已知：T＝﹣．
（1）化简T；
（2）当2a+6＝0时，求T的值．
20．（6分）2021年广州市中考体育考试实行新方案，甲、乙两位考生都在二类考试项目“跳类”中自选一个项目参加考试，已知“跳类”项目有：A．立定跳远，B．三级蛙跳，C．一分钟跳绳．请用列举法求出这两个考生选择的“跳类”项目恰好相同的概率．
21．（8分）广州某公交线路日均运送乘客总量为15600人次，实施5G快速公交智能调度后，每趟车平均运送乘客量比智能调度前增加了20%．若日均运送乘客总量保持不变，则每日发车数量比智能调度前减少26趟．求实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为多少人次．
22．（10分）如图，过点P（﹣2，2）分别作x轴，y轴的垂线，交双曲线y＝（k＞0）于E，F两点．
（1）若k＝2，求点E，F的坐标；
（2）若EF＝5，求此双曲线的解析式．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝16cm．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接AE，动点M，N分别从点A，C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿AE、CB向终点E，B运动，是否存在某一时刻t秒（0＜t＜10），使△MNC的面积S有最大值？若存在，求S的最大值；若不存在，请说明理由．
24．（12分）已知抛物线y＝x2+6mx+9m2﹣6m﹣8的顶点为P．
（1）当m＝1时，求点P的坐标；
（2）经过探究发现，随着m的变化，顶点P在某直线l上运动，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，求△AOB的面积；
（3）若抛物线与直线l的另一交点为Q，以PQ为直径的圆与坐标轴相切，求m的值．
25．（12分）已知，AB是⊙O的直径，AB＝，AC＝BC．
（1）求弦BC的长；
（2）若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；
（3）如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q的运动时间t的最小值．
2021年广东省广州市花都区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．5B．﹣5C．D．±5
【分析】根据绝对值的含义和求法，可得﹣5的绝对值是：|﹣5|＝5，据此解答即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是：|﹣5|＝5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．
2．（3分）下列正多边形中，对称轴最多的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据正多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、正三角形有三条对称轴，故本选项不符合题意；
B、正方形有4条对称轴，故本选项不符合题意；
C、正五边形有5条对称轴，故本选项不符合题意；
D、正六边形有6条对称轴，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键．
3．（3分）广州启动集团化办学，三年耕耘硕果累累，有五个区成立的区属教育集团个数分别为2，5，8，3，2，这组数据的中位数是（ ）
A．2B．3C．5D．8
【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列2，2，3，5，8，处于中间位置的那个数是3，
则这组数据的中位数是3．
故选：B．
【点评】此题考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+5b＝10abB．x2•x3＝x6
C．（m2n）3＝m5n4D．12m2n÷3mn＝4m
【分析】A选项不是同类项，不能合并；B选项应该指数相加；C选项积的乘方，等于每一个因式分别乘方的积；D选项是单项式与单项式相除，正确．
【解答】解：A．不是同类项，不能合并，不符合题意；
B．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，不符合题意；
C．积的乘方，等于每一个因式分别乘方的积，（m2n）3＝（m2）3n3＝m6n3，不符合题意；
D．单项式与单项式相除，12m2n÷3mn＝（12÷3）（m2÷m）（n÷n）＝4m，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的运算，解题的关键是牢记计算的公式．
5．（3分）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定
【分析】本题根据题意可作图可知d＜r，即可判定点P与⊙O的位置关系．
【解答】解：由题意可作图，如下图所示：
∵d＝4＜5，
∴点P在⊙O内．
故A正确，B、C、D错误，
故选：A．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，根据d与r的关系判断是解题关键．
6．（3分）如图，某地修建一座高BC＝5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1：，则斜坡AB的长度为（ ）
A．10mB．10mC．5mD．5m
【分析】直接利用坡度的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长．
【解答】解：如图所示：
∵i＝1：，BC＝5m，
∴，
解得：AC＝5（m），
则AB＝＝＝10（m），
故选：A．
【点评】此题主要考查了解直角三角的应用，由坡度的定义正确得出AC的长是解题关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由等腰三角形的性质推出AD⊥BC，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求得DE．
【解答】解：∵AB＝AC＝8，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴DE＝AC＝×8＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟记这两个性质是解决问题的关键．
8．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点，将抛物线向上平移m个单位长度后，点A，B在新抛物线上的对应点分别为点C，D，若图中阴影部分的面积为8，则平移后新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣4x+3B．y＝x2﹣4x+5C．y＝x2﹣4x+7D．y＝x2﹣4x+11
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与x轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积可求出AC的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出平移后新抛物线的解析式．
【解答】解：当y＝0时，有x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴AB＝2．
∵S阴影＝AC•AB＝8，
∴AC＝4，
∴平移后新抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3+4＝x2﹣4x+7．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积是解题的关键．
9．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（ ）
A．24B．25C．24或25D．无法确定
【分析】分6为底边和6为腰两种情况分类讨论即可确定m的值．
【解答】解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
10．（3分）如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（10，8）B．（8，﹣10）C．（﹣10，8）D．（﹣8，10）
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA，根据已知条件求出点A的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA．
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵∠AEB＝∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠ABE+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠ABE＝∠BCO，
∴△AEB∽△BOC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝8，BE＝6，
∴OE＝10，
∴A（﹣10，﹣8），
则第1次旋转结束时，点A的坐标为（﹣8，10），
则第2次旋转结束时，点A的坐标为（10，8），
则第3次旋转结束时，点A的坐标为（8，﹣10），
则第4次旋转结束时，点A的坐标为（﹣10，﹣8），
••••••
观察可知，4次一个循环，
∵2021÷4＝，
∴第2021次旋转结束时，点A的坐标为（﹣8，10），
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、规律型﹣点的坐标，解决本题 的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，则∠C的度数是 75° ．
【分析】根据三角形的内角和是180°直接计算即可．
【解答】解：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理．
12．（3分）分解因式：x2﹣1＝ （x+1）（x﹣1） ．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
13．（3分）如图，圆锥的母线长SA＝3，底面圆的周长是2π，则圆锥的侧面积是 3π ．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得该圆锥的侧面积＝×2π×3＝3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（3分）一次函数y＝kx+2k的图象如图所示，当y＞0时，则x的取值范围是 x＞﹣2 ．
【分析】根据一次函数y＝kx+2k，可以求得y＝0时x的值，然后根据函数图象和一次函数的性质，可以写出当y＞0时，x的取值范围．
【解答】解：∵y＝kx+2k＝k（x+2），
∴当y＝0时，x＝﹣2，
由图象可知，y随x的增大而增大，
∴当y＞0时，则x的取值范围是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）已知1，a，2分别是三角形的三边长，则+|a﹣3|＝ 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵1，a，2分别是三角形的三边长，
∴1＜a＜3，
∴原式＝a﹣1+3﹣a
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
16．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点A（3，0）在x轴的正半轴上，点D是对角线OB，AC的交点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C，D两点．已知cs∠BOA＝，则AB的长为 ．
【分析】过点D作DE⊥x轴，由cs∠BOA＝＝，可得OD＝OE，设OE＝a，则OD＝a，DE＝2a，由平行四边形的特点可知，点D是AC的中点，则C（2a﹣3，4a），利用反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C，D两点，列出等式，可求出a的值，代入求出点C的坐标，进而求出OC的长度，AB＝OC，则可求出AB的长度．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴于点F，
∴∠OED＝90°，
∴cs∠BOA＝＝，
∴OD＝OE，
设OE＝a，则OD＝a，DE＝2a，
∴D（a，2a），
∵点D是对角线OB，AC的交点，A（3，0），
∴C（2a﹣3，4a），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C，D两点，
∴k＝a•2a＝（2a﹣3）•4a，
解得，a＝2，
∴C（1，8），
∴OF＝1，CF＝8，
∴OC＝＝，
∴AB＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，设出关键点坐标，再结合背景图形表达其他点坐标是常见思路．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（4分）如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM＝CN．
【分析】由菱形的性质可得AD＝CD，∠A＝∠C，由“AAS”可证△DAM≌△DCN，可得AM＝CN．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DM⊥AB，DN⊥BC，
∴∠DMA＝∠DNC＝90°，
在△DAM和△DCN中，
，
∴△DAM≌△DCN（AAS），
∴AM＝CN．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
19．（6分）已知：T＝﹣．
（1）化简T；
（2）当2a+6＝0时，求T的值．
【分析】（1）根据分式的减法可以化简题目中的式子；
（2）根据2a+6＝0，可以得到a的值，然后将a的值代入（1）中化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）T＝﹣
＝
＝
＝
＝；
（2）当2a+6＝0时，a＝﹣3，
当a＝﹣3时，T＝＝﹣1，
即T的值是﹣1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（6分）2021年广州市中考体育考试实行新方案，甲、乙两位考生都在二类考试项目“跳类”中自选一个项目参加考试，已知“跳类”项目有：A．立定跳远，B．三级蛙跳，C．一分钟跳绳．请用列举法求出这两个考生选择的“跳类”项目恰好相同的概率．
【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，甲、乙这两个考生选择的“跳类”项目恰好相同的结果有3个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙这两个考生选择的“跳类”项目恰好相同的结果有3个，
∴甲、乙这两个考生选择的“跳类”项目恰好相同的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一次函数的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）广州某公交线路日均运送乘客总量为15600人次，实施5G快速公交智能调度后，每趟车平均运送乘客量比智能调度前增加了20%．若日均运送乘客总量保持不变，则每日发车数量比智能调度前减少26趟．求实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为多少人次．
【分析】设实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为x人次，根据“每日发车数量比智能调度前减少26趟”列方程求解可得．
【解答】解：设实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为x人次，
+26＝，
解得：x＝100，
经检验x＝100是原分式方程的根，
答：实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为100人次．
【点评】本题考查分式方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．
22．（10分）如图，过点P（﹣2，2）分别作x轴，y轴的垂线，交双曲线y＝（k＞0）于E，F两点．
（1）若k＝2，求点E，F的坐标；
（2）若EF＝5，求此双曲线的解析式．
【分析】（1）根据P（﹣2，2），可推出E点横坐标为﹣2，F点纵坐标2，再代入解析式中即可求出E、F坐标；
（2）表示出E、F坐标，应用勾股定理以及题干EF＝5即可求出k的值．
【解答】解：（1）若k＝2，则y＝，
∵P（﹣2，2），
∴E点横坐标为﹣2，F点纵坐标2，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣1；当y＝2时，x＝1，
故E（﹣2，﹣1）；F（1，2）．
（2）因为E、F都在y＝上，设E（﹣2，﹣），F（，2），
所以EF＝＝＝5，
解得：k＝6或k＝﹣14，
∵k＞0，
∴k＝6，
故此双曲线的解析式为：y＝．
【点评】本题考查反比例函数的性质，以及待定系数法求解析式，求出点的坐标根据反比例函数解析式的特点找到k值是解题关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝16cm．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接AE，动点M，N分别从点A，C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿AE、CB向终点E，B运动，是否存在某一时刻t秒（0＜t＜10），使△MNC的面积S有最大值？若存在，求S的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作图见解析部分．
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求作．
（2）过点M作MH⊥EC于H．
∵DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
设EA＝EB＝xcm，则EC＝（16﹣x）cm，
在Rt△ACE中，AE2＝AC2+EC2，
∴x2＝82+（16﹣x）2，
解得x＝10，
∵MH∥AC，
∴＝，
∴＝，
∴MH＝（10﹣t），
∴S△MNC＝×t×（10﹣t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣5）2+10，
∵﹣＜0，
∴t＝5时，△MNC的面积最大，最大值为10．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建二次函数解决最值问题．
24．（12分）已知抛物线y＝x2+6mx+9m2﹣6m﹣8的顶点为P．
（1）当m＝1时，求点P的坐标；
（2）经过探究发现，随着m的变化，顶点P在某直线l上运动，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，求△AOB的面积；
（3）若抛物线与直线l的另一交点为Q，以PQ为直径的圆与坐标轴相切，求m的值．
【分析】（1）m＝1代入得解析式，配成顶点式即可求顶点坐标；
（2）用m的代数式表示顶点横、纵坐标，消去m得到直线l解析式，求出A、B坐标，即可求△AOB的面积；
（3）求出P、Q坐标和以PQ为直径的圆的圆心和直径，根据以PQ为直径的圆与坐标轴相切列方程，即可得到m的值．
【解答】解：（1）当m＝1时，y＝x2+6mx+9m2﹣6m﹣8＝x2+6x+9﹣14＝（x+3）2﹣14，
∴顶点为P坐标为（﹣3，﹣14）；
（2）y＝x2+6mx+9m2﹣6m﹣8＝（x+3m）2﹣6m﹣8，
∴顶点坐标为（﹣3m，﹣6m﹣8），
即顶点P（x，y）满足x＝﹣3m，y＝﹣6m﹣8，
∴顶点所在直线l的解析式为：y＝2x﹣8，
令x＝0得y＝﹣8，令y＝0得x＝4，
∴A（4，0），B（0，﹣8），
∴△AOB的面积S＝OA•OB＝16；
（3）解得：
或，
∴P（﹣3m，﹣6m﹣8）．Q（﹣3m+2，﹣6m﹣4），
∴PQ＝＝2，
以PQ为直径的圆的圆心坐标为（﹣3m+1，﹣6m﹣6），
以PQ为直径的圆与坐标轴相切，分两种情况：
①以PQ为直径的圆与x轴相切，
则|﹣6m﹣6|＝PQ，即|﹣6m﹣6|＝，
解得m＝﹣1+或m＝﹣1﹣，
②以PQ为直径的圆与y轴相切，
则|﹣3m+1|＝，
解得m＝或m＝，
综上所述，以PQ为直径的圆与坐标轴相切，m＝﹣1+或m＝﹣1﹣或m＝或m＝，．
【点评】本题考查二次函数、圆的综合知识，解题的关键是求出PQ为直径的圆的圆心坐标和半径．
25．（12分）已知，AB是⊙O的直径，AB＝，AC＝BC．
（1）求弦BC的长；
（2）若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；
（3）如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q的运动时间t的最小值．
【分析】（1）AB是⊙O的直径，AC＝BC可得到△ABC是等腰直角三角形，从而得道答案；
（2）连接AD、CM、DB、FB，首先利用△ACD≌△BCF，∠CBF＝∠CAD，证明D、B、F共线，再证明△CMB是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；
（3）“阿氏圆”的应用问题，以A为圆心，AP为半径作圆，在AC上取点M，使AM＝1，连接PM，过M作MH⊥AB于H，连接BM交⊙A于P'，先证明PM＝，+BP最小，即是PM+BP最小，此时P、B、M共线，再计算BM的长度即可．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠CAB＝45°，
∵AB＝4，
∴BC＝AB•sin45°＝4；
（2）连接AD、CM、DB、FB，如图：
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF，∠DCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90﹣∠DCB＝∠BCF，
又AC＝BC，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CAD，
∴∠CBF+∠ABC+∠ABD＝∠CAD+∠ABC+∠ABD
＝∠DAB+∠CAB++∠ABC+∠ABD
＝∠DAB+45°+45°+∠ABD，
而AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∴∠CBF+∠ABC+∠ABD＝180°，
∴D、B、F共线，
∵四边形CDEF是正方形，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∵M是DF的中点，
∴CM⊥DF，即△CMB是直角三角形，
∵N是BC的中点，
∴MN＝BC＝2，即BC为定值；
（3）以A为圆心，AP为半径作圆，在AC上取点M，使AM＝1，连接PM，过M作MH⊥AB于H，连接BM交⊙A于P'，如图：
一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，
∴Q运动时间t＝+BP，
∵AM＝1，AP＝2，AC＝BC＝4，
∴＝＝，
又∠MAP＝∠PAC，
∴△MAP∽△PAC，
∴＝＝，
∴PM＝，
∴+BP最小，即是PM+BP最小，
此时P、B、M共线，即P与P'重合，t＝+BP最小值即是BM的长度，
在Rt△AMH中，∠MAH＝45°，AM＝1，
∴AH＝MH＝，
∵AB＝4，
∴BH＝AB﹣AH＝，
Rt△BMH中，BM＝＝5，
∴点Q的运动时间t的最小值为5．
【点评】本题考查圆、等腰直角三角形、正方形等综合知识，解题的关键是构造△MAP∽△PAC，把求+BP最小的问题转化为求BM的长度．
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日期：2021/11/15 14:12:07；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.cm；学号：41479226

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