高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试免费课堂检测

这是一份高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试免费课堂检测，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知△ABC中,A=30°,C=105°,b=4,则a=(　　)A.2 B.2 C.2 D.22.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为(　　)A.2 B.8 C.   D.3.在△ABC中,B=,c=4,cos C=,则b=(　　)A.3 B.3 C. D.4.已知a,b,c分别为三角形ABC三个内角A,B,C的对边,且(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则三角形ABC中∠A为(　　)A. B. C. D.5.△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为　(　　)A. B. C. D.6.已知△ABC中,∠A=120°,a=,△ABC的面积为,且b<c,则c-b=(　　)A. B.3 C. D.97.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300 m和500 m,测得灯塔A在观察站C北偏东30°,灯塔B在观察站C正西方向,则两灯塔A、B间的距离为(　　)A.500 m B.600 m C.700 m D.800 m8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为(　　)A.      B.C.或 D.或9.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知bc=b2-2c2,若a=,cos A=,则△ABC的面积为(　　)A. B.C. D.10.在△ABC中,已知B=60°,C=45°,BC=2,且AD⊥BC于D,则AD=(　　)A.-1 B.+1 C.3+ D.3-11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,则下列条件一定能得出△ABC是锐角三角形的是(　　)A.sin A+cos A=      B.·<0C.b=3,c=3,B=30° D.tan A+tan B+tan C>012.某观测站C在目标A的南偏西25°方向上,从A出发有一条南偏东35°走向的公路,在C处测得与C相距31 km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去,走20 km到达D处,此时测得CD的距离为21 km.若此人必须在2 h内从D处到达A处,则此人的最小速度为(　　)A.30 km/h B.7.5 km/hC.14 km/h D.15 km/h二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD是∠BAC的平分线,则AD=　　　　.14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,B=,当△ABC的面积等于时,tan C=　　　　.15.如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15°方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向,则海轮的速度为　　　　海里/分.16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=2且ccos B+bcos C=4asin Bsin C,则c的最小值为　　　　.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示,在四边形ABCD中,D=2B,且AD=2,CD=6,cos B=.(1)求△ACD的面积;(2)若BC=4,求AB的长.      18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2且ccos A+bcos C=b.(1)判断△ABC的形状;(2)若C=,求△ABC的面积.     19.(本小题满分12分)如图,在某海滨城市O附近的海面上正形成台风.据气象部门检测,目前台风中心位于城市O的南偏东15°方向200 km的海面P处,并以10 km/h的速度向北偏西75°方向移动.如果台风侵袭的范围为圆形区域,目前圆形区域的半径为100 km,并以20 km/h的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭(精确到0.1 h)?      20.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(2a-c)cos B=bcos C.(1)求B的大小;(2)若△ABC的面积为,a+c=6,求△ABC的周长.      21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos 2C+2cos C+2=0.(1)求角C的大小;(2)若b=a,△ABC的面积为sin Asin B,求sin A及c的值.      22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=msin x+cos x(m>0)的最大值为2.(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间;(2)若△ABC中,f+f=4sin Asin B,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60°,c=3,求△ABC的面积.      答案全解全析本章达标检测一、选择题1.B　因为A+B+C=180°,所以B=180°-A-C=45°,由正弦定理,得a===2.2.C　∵===2×4=8,∴sin C=,∴S△ABC=absin C===.3.B　∵cos C=,∴sin C==,∴由正弦定理可得=,即=,解得b=3.4.C　∵(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,∴由正弦定理可得,(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,∴由余弦定理可得,cos A===,∵A∈(0,π),∴A=.5.B　由p∥q得(a+c)·(c-a)-b·(b-a)=0,即c2-a2-b2+ab=0.由余弦定理,得cos C==.∵C∈(0,π),∴C=.6.B　依题意可得,S△ABC=bcsin 120°=,所以bc=4.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=(c-b)2+2bc-2bccos 120°=21,整理得,(c-b)2=9.又b<c,所以c-b=3.7.C　如图所示.在△ABC中,BC=500 m,AC=300 m,∠ACB=120°,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°=3002+5002-2×300×500×=490 000,∴AB=700(m)(负值舍去).8.D　∵(a2+c2-b2)tan B=ac,∴·tan B=,即cos B·tan B=sin B=.∵0<B<π,∴角B的值为或.9.B　由cos A=得,sin A==.由bc=b2-2c2,得b2-bc-2c2=0,即(b+c)(b-2c)=0,从而可知b=2c.根据余弦定理的推论得cos A===,解得c=,所以b=2,因此S△ABC=bcsin A=×2××=.故选B.10.D　如图所示,由题意知∠BAC=180°-60°-45°=75°,则sin∠BAC=sin 75°=sin(45°+30°)=×+×=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以AB====2(-1).在Rt△ABD中,AD=AB·sin B=2(-1)×=3-.故选D.11.D　选项A,由sin A+cos A=,得(sin A+cos A)2=1+2sin Acos A=,所以sin A·cos A=-<0.因为角A为△ABC的内角,所以<A<π,所以△ABC为钝角三角形.选项B,由·<0,得π-B>,所以0<B<,但角A、C的大小无法确定,所以不能确定△ABC是不是锐角三角形.选项C,由b=3,c=3,B=30°,利用正弦定理,得=,所以sin C=.又b<c,所以B<C,所以C=60°或120°.当C=60°时,A=90°,所以△ABC为直角三角形;当C=120°时,△ABC为钝角三角形.选项D,因为tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B)=tan C(tan Atan B-1),所以tan A+tan B+tan C=tan C(tan Atan B-1)+tan C=tan Atan Btan C>0.又A,B,C∈(0,π),且一个三角形中最多有一个钝角,所以tan A>0,tan B>0,tan C>0,所以△ABC为锐角三角形.故选D.12.B　由已知得∠CAB=25°+35°=60°,BC=31 km,CD=21 km,BD=20 km.在△BCD中,由余弦定理,得cos B===,所以sin B=.在△ABC中,由正弦定理,得AC==24(km).由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB,即312=242+AB2-24AB,解得AB=35(km)(负值舍去).因此AD=AB-BD=35-20=15(km).若此人必须在2 h内从D处到达A处,则其最小速度为15÷2=7.5(km/h).故选B.二、填空题13.答案　解析　如图,S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以×3×2sin 60°=×3AD×sin 30°+×2AD×sin 30°,所以AD=.14.答案　-2解析　由题意知acsin =,即c=,解得c=4,则由余弦定理可得,b==,所以cos C==-,又C∈(0,π),所以sin C==,所以tan C=×(-)=-2.15.答案　解析　由已知得∠ACB=45°,∠BAC=75°,∴∠B=60°.由正弦定理可得=,∴AC==10,∴海轮的速度为=海里/分.16.答案　解析　∵ccos B+bcos C=4asin Bsin C,∴由正弦定理得,sin Ccos B+sin Bcos C=4sin Asin Bsin C,∴sin(B+C)=sin A=4sin Asin Bsin C,∵sin A≠0,∴sin Bsin C=,∴sin C=,又知b=2,∴由正弦定理可得c=2×=8sin2C,又∵当sin B=1时,(sin C)min=,∴当sin C=时,c有最小值.故答案为.三、解答题17.解析　(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B=.又D=2B,所以sin D=sin 2B=2sin Bcos B=,所以S△ACD=·AD·CD·sin D=4.(2)因为cos B=,D=2B,所以cos D=cos 2B=2cos2B-1=-,所以在△ADC中,由余弦定理可得AC==4.因为BC=4,所以cos B===,解得AB=8或AB=0(舍去).18.解析　(1)因为ccos A+bcos C=b,所以由正弦定理,得sin Ccos A+sin Bcos C=sin B,又sin B=sin(A+C),所以sin Ccos A+sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Bcos C=sin Acos C,故cos C=0或sin A=sin B.又A,B,C∈(0,π),A+B+C=π,所以当cos C=0时,C=,此时△ABC为直角三角形;当sin A=sin B时,A=B,此时△ABC为等腰三角形. 综上,△ABC的形状为直角三角形或等腰三角形.(2)若C=,由(1)知此时△ABC为等腰三角形,且a=b,所以由余弦定理,得4=a2+a2-2a2cos ,解得a2=8+4,所以△ABC的面积为a2sin =2+.19.解析　根据题意可设t小时后台风中心到达A点,该城市开始受到台风侵袭.在△PAO中,PO=200,PA=10t,AO=100+20t,∠APO=75°-15°=60°.由余弦定理得,(100+20t)2=100t2+40 000-2×10t×200×cos 60°,化简,得t2+20t-100=0,解得t=10(-1)≈4.1(负值舍去).故大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭.20.解析　(1)∵在△ABC中,(2a-c)cos B=bcos C,∴由正弦定理可得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,整理可得2sin Acos B=sin Bcos C+cos B·sin C=sin(B+C)=sin A,∵0°<A<180°,∴sin A>0,∴cos B=,∵0°<B<180°,∴B=60°.(2)由△ABC的面积为,得acsin B=,∴ac==4,又a+c=6,∴由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos 60°=36-3ac=36-3×4=24,解得b=2(负值舍去),∴△ABC的周长为a+b+c=6+2.21.解析　(1)∵cos 2C+2cos C+2=0,∴2cos2C+2cos C+1=0,即(cos C+1)2=0,∴cos C=-.又C∈(0,π),∴C=.(2)由余弦定理及已知得,c2=a2+b2-2abcos C=3a2+2a2=5a2,∴c=a,即sin C=sin A,∴sin A=sin C=.∵S△ABC=absin C,且S△ABC=sin A·sin B,∴absin C=sin Asin B,∴·sin C=,由正弦定理得·sin C=,解得c=1(负值舍去).22.解析　(1)由题可得f(x)=msin x+cos x=sin(x+θ).因为f(x)的最大值为2,所以=2.又m>0,所以m=,所以f(x)=2sin.令2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).当k=0时,≤x≤.所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为.(2)化简f+f=4sin A·sin B,得sin A+sin B=2sin Asin B.①由正弦定理,得===2,所以sin A=,sin B=,代入①式整理,得a+b=ab.②由余弦定理,得a2+b2-ab=9,即(a+b)2-3ab-9=0.③将②式代入③式,得2(ab)2-3ab-9=0,解得ab=3或ab=-(舍去),故S△ABC=absin C=.