人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试同步练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试同步练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二章综合训练
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A.2x+y+3=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-4=0 D.x-2y+6=0
解析由题意直线过(2,-1),(0,3),
故直线的斜率k=3+10-2=-2,
故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.
答案B
2.已知直线l1:xcos2α+3y+2=0,若l1⊥l2,则l2倾斜角的取值范围是(　　)
A.π3,π2 B.0,π6
C.π3,π2 D.π3,5π6
解析设直线l2的斜率为k.因为直线l1:xcos2α+3y+2=0的斜率k1=-cos2α3∈-33,0,
当cosα=0,即k1=0时,k不存在,此时倾斜角为π2.
当k1≠0时,由l1⊥l2,可知k=-1k1≥3,
此时倾斜角的取值范围为π3,π2.
综上可得,l2倾斜角的取值范围为π3,π2.
故选C.
答案C
3.已知圆A:x2+y2=1,圆B:(x-2)2+y2=r2(r>0),圆A与圆B的公切线的条数的可能取值共有(　　)
A.2种 B.3种
C.4种 D.5种
解析两圆的圆心和半径分别为A(0,0),半径R=1,
B(2,0),半径为r,
|AB|=2,半径之和为1+r,半径之差为r-1.
若两圆相外切,则1+r=2,即r=1,此时两圆公切线有3条,
若两圆外离,则1+r<2,即0 若两圆相交,则r-1<2<1+r,即1 若两圆内切,则r-1=2,即r=3,此时两圆公切线有1条,
若两圆内含,则r-1>2,即r>3,此时两圆公切线为0条.
即圆A与圆B的公切线的条数的可能取值有5种.
故选D.
答案D
4.光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射,则反射光线所在的直线方程为(　　)
A.y=3x-3 B.y=-3x+3
C.y=-3x-3 D.y=3x+3
解析如图所示,

点M关于x轴的对称点M'(2,-3).
则反射光线所在的直线方程为y-0=-3-02-1(x-1),
即y=-3x+3.故选B.
答案B
5.在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕点C顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最短距离为(　　)
A.82-8 B.82+8
C.82 D.122
解析机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕点C顺时针而行,
在行进过程中保持与点C的距离不变,
∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示,

∵A(-10,0)与B(0,10),
∴直线AB的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0.
则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=82>8,∴最短距离为82-8.
答案A
6.若直线ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2b的最小值为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
解析由题意圆心坐标为(-2,-1),半径为1,所以圆心到直线的距离为d=|-2a-b+2|a2+b2,
所以弦长2=21-(|-2a-b+2|a2+b2) 2,整理可得2a+b=2,a>0,b>0,
所以1a+2b=1a+2b×12(2a+b)=122+2+ba+4ab≥124+2ba·4ab=4,当且仅当b=2a=1时,等号成立.故1a+2b的最小值为4.
答案A
7.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为(　　)
A.2+1 B.2+2
C.22+1 D.22+2
解析(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,
联立2x+y-2=0,x-y+2=0,解得x=0,y=2,所以直线l过定点Q(0,2).
因为OP⊥l,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1.
因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离为d=22=2,
所以点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1.故选A.
答案A
8.在平面直角坐标系中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得△MAB为直角三角形的点M的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析以AB为直径的圆的方程为(x-0.02)2+(y-1.56)2=8,因为单位圆与以AB为直径的圆的圆心距d=0.022+1.562,22-1 答案D
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.下列说法错误的是(　　)
A.经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程x-x0=m(y-y0)表示
C.不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示
D.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示
解析当直线的斜率不存在时,经过定点P(x0,y0)的直线方程为x=x0,不能写成y-y0=k(x-x0)的形式,故A错误.
当直线的斜率等于零时,经过定点P(x0,y0)的直线方程为y=y0,不能写成x-x0=m(y-y0)的形式,故B错误.
不经过原点的直线,当斜率不存在时,方程为x=a(a≠0)的形式,故C错误.
经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线,当斜率等于零时,y1=y2,x1≠x2,方程为y=y1,
能用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;
当直线的斜率不存在时,y1≠y2,x1=x2,方程为x=x1,能用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示,故D正确.故选ABC.
答案ABC
10.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有(　　)
A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0
B.2ax1+2by1=a2+b2
C.x1+x2=a
D.y1+y2=2b
解析两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;
分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2,得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,
两式相减,得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;
由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,
∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.
故选ABC.
答案ABC
11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为(　　)
A.4 B.6
C.32+1 D.8
解析圆心C坐标为(-3,3),半径为1,直线y=kx-1恒过定点A(0,-1),设点P到直线y=kx-1的距离为d.当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离有最大值,即d=(-3)2+(3+1)2+1=6;
当直线与圆有交点时d最小为0.
所以点P到直线y=kx-1距离的取值范围为[0,6],故选ABC.
答案ABC
12.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有(　　)
A.曲线C是轴对称图形
B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外
C.曲线C是中心对称图形
D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2
解析设P(x,y),则kPA+kPB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),当x=0时,式子不成立,所以x≠0,所以进一步整理得y=x-4x(x≠±2且x≠0).
函数y=x-4x是奇函数,所以曲线C不是轴对称图形,故C正确,A错误,x2+y2=x2+x-4x2=2x2+16x2-8≥82-8>2,
所以曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外,故B正确;当x=1,y=-3时,满足x2-xy=4,故D错误.
故选BC.
答案BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是　　　　　　　　. 
解析根据题意,分2种情况讨论:
①直线经过原点,则直线l的方程为4x-y=0;
②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入可得1-4=a,解得a=-3,
即直线的方程为y=x+3,即x-y+3=0.
综上可得,直线的方程为4x-y=0或x-y+3=0.
答案4x-y=0或x-y+3=0
14.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是　　　　　. 
解析如图,

直线ax+y+2=0恒过点C(0,-2),kAC=-52,kBC=43,故-52<-a<43,即-43 答案-43,52
15.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|·|CD|的最小值为　　　　. 
解析直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由x-y=0,y-1=0,

得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).∵C,D分别为OA,AB的中点,
∴|CD|=12|OB|=2.当OP⊥AB时,|AB|最小,
此时|AB|=2(22)2-(2)2=26.
∴|AB|·|CD|=2|AB|≥2·26=43.
答案43
16.已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　;若从点M(m,0),m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是　　　　　　(结果用m表示). 
解析根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P1在反射光线所在的直线上.
又由A(4,0),B(0,4),则直线AB的方程为x+y=4,
则有ba-1=1,a+12+b2=4,解得a=4,b=3,即P1(4,3),
反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12,则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0.
设点M1(a0,b0)与点M关于直线AB对称,点M2与M关于y轴对称,易得M2(-m,0),
线段M1M2的长度就是光线所经过的路程,
则有b0a0-m=1,m+a02+b02=4,解得a0=4,b0=4-m,即M1(4,4-m),又由M2(-m,0),
则|M1M2|=(4+m)2+(4-m)2=2m2+32.
答案x-2y+2=0　2m2+32
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)求满足下列条件的直线的方程.
(1)直线过点(-1,2),且与直线x+y-2=0平行;
(2)直线过点(0,1),且与直线3x+y+1=0垂直.
解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,
∵点(-1,2)在直线上,∴-1+2+m=0,
∴m=-1,
故所求直线的方程为x+y-1=0.
(2)设所求直线的方程为x-3y+m=0.
∵点(0,1)在直线x-3y+m=0上,
∴0-3+m=0,解得m=3.
故所求直线的方程为x-3y+3=0.
18.(12分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.

(1)求直线l的方程;
(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P的坐标.
解(1)直线AC的斜率为kAC=4-02-10=-12,所以直线l的斜率为2,
直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.
(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为使|AP|+|BP|最小的点P.
由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,
联立方程x-2y-10=0,2x-y-10=0,解得x=103,y=-103,
所以点P的坐标为103,-103.
19.(12分)已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.
(1)求直线AB的一般式方程;
(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.
解(1)∵直线l:y-1=a(x-3),
∴直线l恒过定点P(3,1).
由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).
由圆的性质可知AB⊥PC,
∵kPC=1-03-1=12,
∴kAB=-2,
∴直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.
(2)由题意知|PC|=(3-1)2+(1-0)2=5.
∵PA⊥AC,PB⊥BC,
∴四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,∴四边形PACB的外接圆为(x-2)2+y-122=54.
20.(12分)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0(m<9).
(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若直线l过点(2,1),且与圆C2的相交弦长为23,求直线l的方程.
解(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),半径r1=1,
由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,则C2(3,0),半径r2=9-m.
∵圆C1与圆C2外切,∴|C1C2|=r1+r2,
∴3=1+9-m,解得m=5.
(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,则C2(3,0),r2=2,
由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1.
当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;
当直线l斜率为k时,则直线方程为y-1=k(x-2),
化为一般式为kx-y-2k+1=0,
则圆心(3,0)到直线l的距离d=|k+1|k2+1=1,
解得k=0,得直线方程为y=1.
综上,直线l的方程为x=2或y=1.
21.(12分)在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ:x2+y2=1(y>0).

(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;
(2)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求三角形OAB面积的最大值,并求出此时点B的坐标;
(3)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.
解(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0>0,设线段AB的中点为M(x,y),
由于点B在曲线Γ上,则x02+y02=1,①
因为M为线段AB的中点,则2x=x0+2,2y=y0,得x0=2x-2,y0=2y,
代入①式得(2x-2)2+(2y)2=1,
化简得(x-1)2+y2=14(y>0).
(2)设B(x0,y0),0 三角形OAB的面积为12·2y0=y0,可得面积的最大值为1,且B(0,1).
(3)如下图所示,易知点D(2,2),

结合图形可知,点C在曲线D:
(x-2)2+(y-2)2=1(x>2)上运动,
问题转化为,原点O到曲线D上一点C的距离的最大值,
连接OD并延长交曲线D于点C',当点C与点C'重合时,|OC|取最大值,
且|OC|max=|OD|+1=22+1.
22.(12分)已知圆心为C的圆过点(3,3),且与直线y=2相切于点(0,2).
(1)求圆C的方程;
(2)已知点M(-3,4),且对于圆C上任一点P,线段MC上存在异于点M的一点N,使得|PM|=λ|PN|(λ为常数),试判断使△OPN的面积等于4的点P有几个,并说明理由.
解(1)依题意可设圆心C坐标为(0,t),
则半径为|t-2|,
圆C的方程可写成x2+(y-t)2=(t-2)2.
因为圆C过点(3,3),
所以(3)2+(3-t)2=(t-2)2,
所以t=4,
则圆C的方程为x2+(y-4)2=4.
(2)2个.理由如下:由题知,直线MC的方程为y=4,设N(b,4),b≠-3满足题意,
设P(x,y),则|PM|2=λ2|PN|2,
所以(x+3)2+(y-4)2=λ2(x-b)2+λ2(y-4)2,
则(6+2bλ2)x-(λ2b2+4λ2-13)=0,
因为上式对任意x∈[-2,2]恒成立,
所以6+2bλ2=0,λ2b2+4λ2-13=0,
解得λ=32,b=-43或λ=1,b=-3(舍去,此时点N与点M重合),
所以点N-43,4,则ON=4103,kON=-3,直线ON的方程为3x+y=0,
点C到直线ON的距离d1=410=2105.
若存在点P使△OPN的面积等于4,设点P到直线ON的距离为d2,则S△OPN=12×4103×d2=4,
解得d2=3105.
①当点P在直线ON的上方时,点P到直线ON的距离的取值范围为0,2105+2,
因为3105<2105+2,
所以当点P在直线ON的上方时,使△OPN的面积等于4的点有2个.
②当点P在直线ON的下方时,点P到直线ON的距离的取值范围为0,2-2105,
因为3105>2-2105,
所以当点P在直线ON的下方时,使△OPN的面积等于4的点有0个.
综上可知,使△OPN的面积等于4的点P有2个.