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人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形本章综合与测试同步训练题
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这是一份人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形本章综合与测试同步训练题,共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,若AB=eq \r(13),BC=3,∠C=120°,则AC=( )
A.1 B.2
C.3D.4
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=eq \f(\r(5),2)b,A=2B,则csB=( )
A.eq \f(\r(5),3)B.eq \f(\r(5),4)
C.eq \f(\r(5),5)D.eq \f(\r(5),6)
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=eq \r(2),b=eq \r(6),B=120°,则a等于( )
A.eq \r(6)B.2
C.eq \r(3)D.eq \r(2)
4.在△ABC中,∠C=eq \f(π,4),AB=2,AC=eq \r(6),则csB的值为( )
A.eq \f(1,2)B.-eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2)或-eq \f(\r(3),2)D.eq \f(1,2)或-eq \f(1,2)
5.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“△ABC为锐角三角形”是“a2+b2>c2”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于( )
A.240(eq \r(3)-1) mB.180(eq \r(2)-1) m
C.120(eq \r(3)-1) mD.30(eq \r(3)+1) m
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2csC)=2sinAcsC+csAsinC,则下列等式成立的是( )
A.a=2bB.b=2a
C.A=2BD.B=2A
8.已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5, tanA+tanB+eq \r(3)=eq \r(3)tanA·tanB,则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2)B.3eq \r(3)
C.eq \f(3\r(3),2)D.eq \r(3)
9.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=eq \f(π,3),则△ABC的面积为( )
A.3B.eq \f(9\r(3),2)
C.eq \f(3\r(3),2)D.3eq \r(3)
10.将一根长为12m的铁管AB折成一个60°的角∠ACB,然后将A、B两端用木条封上,从而构成三角形ACB,在不同的折法中,△ACB面积S的最大值为( )
A.9B.9eq \r(3)
C.18D.18eq \r(3)
11.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的外接圆的面积为3π,且cs2A-cs2B+cs2C=1+sinAsinC,则△ABC的最大边长为( )
A.2B.3
C.eq \r(3)D.2eq \r(3)
12.如图,有四座城市A,B,C,D,其中B在A的正东方向,且与A相距120km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60km;C在B的北偏东30°方向,且与B相距60eq \r(13)km,一架飞机从城市D出发以360km/h的速度向城市C飞行,飞行了15min,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B有( )
A.120kmB.60eq \r(6)km
C.60eq \r(5)kmD.60eq \r(3)km
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acsB=0,则B=________.
14.如图,在离地面高200m的热气球M上,观察到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,已知∠BAC=60°,则山的高度BC为________m.
15.如图在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是________.
16.在△ABC中,∠ACB=60°,BC>2,AC=AB+1,当△ABC的周长最短时,BC的长是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在△ABC中,a=3,b-c=2,csB=-eq \f(1,2).
(1)求b,c的值;
(2)求sin(B+C)的值.
18. (本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+eq \r(3)csA=0,a=2eq \r(7),b=2.
(1)求角A和边长c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且eq \f(csA,a)+eq \f(csB,b)=eq \f(sinC,c).
(1)证明:sinAsinB=sinC;
(2)若b2+c2-a2=eq \f(6,5)bc,求tanB.
20.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asinB=eq \r(3)bcsA.
(1)求角A;
(2)若△ABC的面积为2eq \r(3),a=5,求△ABC的周长.
21.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bsinC-\f(ccsB,tanC)))=a.
(1)求角A;
(2)若△ABC的内切圆面积为4π,求△ABC面积S的最小值.
22.(本小题满分12分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量csA=eq \f(12,13),csC=eq \f(3,5).
(1)求索道AB的长;
(2)问:乙出发多少min后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在什么范围内?
第九章 章末质量检测(一) 解三角形
1.解析:余弦定理AB2=BC2+AC2-2BC·ACcsC将各值代入得AC2+3AC-4=0,
解得AC=1或AC=-4(舍去),故选A.
答案:A
2.解析:∵在△ABC中a=eq \f(\r(5),2)b,∴由正弦定理可得sinA=eq \f(\r(5),2)sinB ①,又∵A=2B,∴sinA=sin2B=2sinBcsB ②,由①②可得eq \f(\r(5),2)sinB=2sinBcsB,可得csB=eq \f(\r(5),4),故选B.
答案:B
3.解析:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accsB,则6=a2+2+eq \r(2)a,即a2+eq \r(2)a-4=0,解得a=eq \r(2)或a=-2eq \r(2)(舍).故选D.
答案:D
4.答案:D
5.解析:当△ABC为锐角三角形时,C一定为锐角,此时a2+b2>c2成立,当a2+b2>c2成立时,由余弦定理可得csC>0,即C为锐角,但此时△ABC形状不能确定,故△ABC为锐角三角形”是“a2+b2>c2”的充分不必要条件,故选A.
答案:A
6.解析:AC=120,AB=eq \f(60,sin75°),eq \f(AB,sin30°)=eq \f(BC,sin45°),
所以BC=eq \f(ABsin45°,sin30°)=eq \f(60×\r(2),sin30°+45°)=120(eq \r(3)-1).
故选C.
答案:C
7.解析:sin(A+C)+2sinBcsC=2sinAcsC+csAsinC
所以2sinBcsC=sinAcsC⇒2sinB=sinA⇒2b=a,故选A.
答案:A
8.解析:因为tanA+tanB+eq \r(3)=eq \r(3)tanA·tanB,
所以tanA+tanB=-eq \r(3)(1-tanA·tanB),
即tan(A+B)=eq \f(tanA+tanB,1-tanA·tanB)=-eq \r(3),
所以A+B=eq \f(2π,3),C=eq \f(π,3),
又因为a=4,b+c=5.
所以(5-b)2=42+b2-2×4b×eq \f(1,2).
解得b=eq \f(3,2),则△ABC的面积为S=eq \f(1,2)×4×eq \f(3,2)×eq \f(\r(3),2)=eq \f(3\r(3),2).故选C.
答案:C
9.解析:因为c2=(a-b)2+6,C=eq \f(π,3),所以由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcseq \f(π,3),即-2ab+6=-ab,ab=6,因此△ABC的面积为eq \f(1,2)absinC=3×eq \f(\r(3),2)=eq \f(3\r(3),2),故选C.
答案:C
10.解析:设AC=x,0
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