人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形本章综合与测试同步训练题

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形本章综合与测试同步训练题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3D．4
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝eq \f(\r(5),2)b，A＝2B，则csB＝( )
A.eq \f(\r(5),3)B.eq \f(\r(5),4)
C.eq \f(\r(5),5)D.eq \f(\r(5),6)
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝eq \r(2)，b＝eq \r(6)，B＝120°，则a等于( )
A.eq \r(6)B．2
C.eq \r(3)D.eq \r(2)
4．在△ABC中，∠C＝eq \f(π,4)，AB＝2，AC＝eq \r(6)，则csB的值为( )
A.eq \f(1,2)B．－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2)或－eq \f(\r(3),2)D.eq \f(1,2)或－eq \f(1,2)
5.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“△ABC为锐角三角形”是“a2＋b2>c2”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(eq \r(3)－1) mB．180(eq \r(2)－1) m
C．120(eq \r(3)－1) mD．30(eq \r(3)＋1) m
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2csC)＝2sinAcsC＋csAsinC，则下列等式成立的是( )
A．a＝2bB．b＝2a
C．A＝2BD．B＝2A
8．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝4，b＋c＝5, tanA＋tanB＋eq \r(3)＝eq \r(3)tanA·tanB，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2)B．3eq \r(3)
C.eq \f(3\r(3),2)D.eq \r(3)
9．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为( )
A．3B.eq \f(9\r(3),2)
C.eq \f(3\r(3),2)D．3eq \r(3)
10．将一根长为12m的铁管AB折成一个60°的角∠ACB，然后将A、B两端用木条封上，从而构成三角形ACB，在不同的折法中，△ACB面积S的最大值为( )
A．9B．9eq \r(3)
C．18D．18eq \r(3)
11．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的面积为3π，且cs2A－cs2B＋cs2C＝1＋sinAsinC，则△ABC的最大边长为( )
A．2B．3
C.eq \r(3)D．2eq \r(3)
12．如图，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km；C在B的北偏东30°方向，且与B相距60eq \r(13)km，一架飞机从城市D出发以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有( )
A．120kmB．60eq \r(6)km
C．60eq \r(5)kmD．60eq \r(3)km
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acsB＝0，则B＝________.
14．如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为________m.
15．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
16．在△ABC中，∠ACB＝60°，BC>2，AC＝AB＋1，当△ABC的周长最短时，BC的长是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，csB＝－eq \f(1,2).
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B＋C)的值．
18. (本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋eq \r(3)csA＝0，a＝2eq \r(7)，b＝2.
(1)求角A和边长c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且eq \f(csA,a)＋eq \f(csB,b)＝eq \f(sinC,c).
(1)证明：sinAsinB＝sinC；
(2)若b2＋c2－a2＝eq \f(6,5)bc，求tanB.
20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asinB＝eq \r(3)bcsA.
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为2eq \r(3)，a＝5，求△ABC的周长．
21．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bsinC－\f(ccsB,tanC)))＝a.
(1)求角A；
(2)若△ABC的内切圆面积为4π，求△ABC面积S的最小值．
22．(本小题满分12分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量csA＝eq \f(12,13)，csC＝eq \f(3,5).
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
第九章 章末质量检测(一) 解三角形
1．解析：余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcsC将各值代入得AC2＋3AC－4＝0，
解得AC＝1或AC＝－4(舍去)，故选A.
答案：A
2．解析：∵在△ABC中a＝eq \f(\r(5),2)b，∴由正弦定理可得sinA＝eq \f(\r(5),2)sinB ①，又∵A＝2B，∴sinA＝sin2B＝2sinBcsB ②，由①②可得eq \f(\r(5),2)sinB＝2sinBcsB，可得csB＝eq \f(\r(5),4)，故选B.
答案：B
3．解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accsB，则6＝a2＋2＋eq \r(2)a，即a2＋eq \r(2)a－4＝0，解得a＝eq \r(2)或a＝－2eq \r(2)(舍)．故选D.
答案：D
4．答案：D
5．解析：当△ABC为锐角三角形时，C一定为锐角，此时a2＋b2>c2成立，当a2＋b2>c2成立时，由余弦定理可得csC＞0，即C为锐角，但此时△ABC形状不能确定，故△ABC为锐角三角形”是“a2＋b2>c2”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
6．解析：AC＝120，AB＝eq \f(60,sin75°)，eq \f(AB,sin30°)＝eq \f(BC,sin45°)，
所以BC＝eq \f(ABsin45°,sin30°)＝eq \f(60×\r(2),sin30°＋45°)＝120(eq \r(3)－1)．
故选C.
答案：C
7．解析：sin(A＋C)＋2sinBcsC＝2sinAcsC＋csAsinC
所以2sinBcsC＝sinAcsC⇒2sinB＝sinA⇒2b＝a，故选A.
答案：A
8．解析：因为tanA＋tanB＋eq \r(3)＝eq \r(3)tanA·tanB，
所以tanA＋tanB＝－eq \r(3)(1－tanA·tanB)，
即tan(A＋B)＝eq \f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)＝－eq \r(3)，
所以A＋B＝eq \f(2π,3)，C＝eq \f(π,3)，
又因为a＝4，b＋c＝5.
所以(5－b)2＝42＋b2－2×4b×eq \f(1,2).
解得b＝eq \f(3,2)，则△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)×4×eq \f(3,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).故选C.
答案：C
9．解析：因为c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcseq \f(π,3)，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为eq \f(1,2)absinC＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，故选C.
答案：C
10．解析：设AC＝x,0