高中数学人教A版 (2019)必修第二册第七章复数本章综合与测试综合训练题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第二册第七章复数本章综合与测试综合训练题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( )
A．z－1 B．z＋1
C．－10＋18i D．10－18i
C [1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i．]
2．eq \f(3＋i,1＋i)＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
D [eq \f(3＋i,1＋i)＝eq \f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(3－3i＋i＋1,2)＝2－i．
故选D．]
3．若复数z＝eq \f(2i,1－i)，则z－3eq \(z,\s\up6(－))的虚部为( )
A．－4 B．－4i C．4 D．4i
C [因为z＝eq \f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i，所以eq \(z,\s\up6(－))＝－1－i，z－3eq \(z,\s\up6(－))＝2＋4i，即z－3eq \(z,\s\up6(－))的虚部为4．故选C．]
4．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)·(a＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＞eq \f(1,2)”是“点M在第四象限”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [z＝(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，所以M(a＋2,1－2a)．点M在第四象限⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2＞0,1－2a＜0))⇔a＞eq \f(1,2)，故“a＞eq \f(1,2)”是“点M在第四象限”的充要条件，故选A．]
5．满足eq \f(1＋i2n,1－i)＋eq \f(1－i2n,1＋i)＝2n的最小自然数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [因为(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i，
所以eq \f(1＋i2n,1－i)＋eq \f(1－i2n,1＋i)＝eq \f(2in,1－i)＋eq \f(－2in,1＋i)
＝(2i)neq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,1－i)＋\f(－1n,1＋i)))
＝2n－1×in[1＋i＋(－1)n(1－i)]，
n＝1时，原式＝i(1＋i－1＋i)＝－2，不满足题意；
n＝2时，原式＝2i2(1＋i＋1－i)＝－4，不满足题意；
n＝3时，原式＝22i3(1＋i－1＋i)＝23，满足题意．
故选：C．]
6．已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是( )
A．z－eq \(z,\s\up6(－))为纯虚数
B．z2n≥0(n∈Z)
C．对于任意的z∈C，|z|＝|eq \(z,\s\up6(－))|
D．满足eq \f(1,z)＝－z的z仅有一个
C [当z＝0时，z－eq \(z,\s\up6(－))＝0∈R，所以选项A错误；当z＝i，n＝1时，z2n＝i2＝－1＜0，所以选项B错误；由复数的模与共轭复数的定义，知|z|＝|eq \(z,\s\up6(－))|，所以选项C正确；当z＝i或－i时均满足eq \f(1,z)＝－z，故选项D错误．]
7．复数z＝eq \f(m－2i,1＋2i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [z＝eq \f(m－2i,1＋2i)＝eq \f(m－2i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(1,5)[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为eq \f(1,5)(m－4)，虚部为－eq \f(2,5)(m＋1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－4>0，,－2m＋1>0.))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>4，,m<－1.))此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．]
8．已知z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，则x＋eq \r(3)y的最大值为( )
A．1＋eq \r(3) B．2 C．1 D．eq \r(3)
B [∵z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，∴x2＋y2＝1．设x＝cs θ，y＝sin θ，θ∈R，∴x＋eq \r(3)y＝cs θ＋eq \r(3)sin θ＝2sin(θ＋eq \f(π,6))，∴x＋eq \r(3)y的最大值是2，故选B．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为( )
A．(3,1) B．(－2,0)
C．(0,4) D．(－1，－5)
ACD [易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3＋i，－2,4i，－1－5i，因此A、C、D中的点对应的复数为虚数．]
10．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，下列命题正确的是( )
A．z不可能为纯虚数
B．若z的共轭复数为eq \x\t(z)，且z＝eq \x\t(z)，则z是实数
C．若z＝|z|，则z是实数
D．|z|可以等于eq \f(1,2)
BC [当a＝0时，b＝1，此时z＝i为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为eq \x\t(z)，且z＝eq \x\t(z)，则a＋bi＝a－bi，因此b＝0，B正确；由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；由|z|＝eq \f(1,2)得a2＋b2＝eq \f(1,4)，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，无解，即|z|不可以等于eq \f(1,2)，D错误．故选BC．]
11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是( )
A．P0点的坐标为(1,2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为eq \f(\r(2),2)
ACD [复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即eq \r(x－12＋y2)＝eq \r(x2＋y－12)，整理得，y＝x，即点Z在直线y＝x上，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0，Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式知D正确．故选ACD．]
12．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是( )
A．当m，n∈N*时，有zmzn＝zm＋n
B．当z1，z2∈C时，若zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，则z1＝0且z2＝0
C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|eq \x\t(z)|2＝|z|2＝z·eq \x\t(z)
D．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|
AC [由复数乘法的运算律知A正确；
取z1＝1，z2＝i，满足zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，
但z1＝0且z2＝0不成立，B错误；
由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；
由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，
但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，
因此z1＝z2的必要不充分条件是|z1|＝|z2|，D错误．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq \r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝________．
3 [∵|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(3)，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3．]
14．复数z满足方程 eq \x\t(z)i＝1－i，则z＝________．
－1＋i [∵eq \x\t(z)i＝1－i，∴eq \x\t(z)＝eq \f(1－i,i)＝eq \f(1－ii,i·i)＝－i(1－i)＝－1－i，∴z＝－1＋i．]
15．设z的共轭复数是 eq \x\t(z)，若z＋eq \x\t(z)＝4，z·eq \x\t(z)＝8，则|z|＝________，eq \f(\(z,\s\up6(－)),z)＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
2eq \r(2) ±i [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq \x\t(z)＝x－yi，由z＋eq \x\t(z)＝4，z·eq \x\t(z)＝8得，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋yi＋x－yi＝4，,x＋yix－yi＝8，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,x2＋y2＝8，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝±2.))
∴|z|＝2eq \r(2)．所以eq \f(\x\t(z),z)＝eq \f(x－yi,x＋yi)＝eq \f(x2－y2－2xyi,x2＋y2)＝±i．]
16．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)
①|z－eq \x\t(z)|＝2y；②z2＝x2＋y2；
③|z－eq \x\t(z)|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|．
④ [对于①，eq \x\t(z)＝x－yi(x，y∈R)，|z－eq \x\t(z)|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，故不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；对于③，|z－eq \x\t(z)|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正确；对于④，|z|＝eq \r(x2＋y2)≤|x|＋|y|，故正确．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？ (2)z是纯虚数？
[解] (1)要使复数z为实数，
需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－2>0，,m2＋3m＋2＝0，))
解得m＝－2或－1．即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，
需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－2＝1，,m2＋3m＋2≠0，))
解得m＝3．即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝1－i，z1·z2＋eq \x\t(z)1＝2＋2i，求复数z2．
[解] 因为z1＝1－i，所以eq \x\t(z)1＝1＋i，
所以z1·z2＝2＋2i－eq \x\t(z)1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i．
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，
得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，
所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝1，,b－a＝1，))解得a＝0，b＝1，所以z2＝i．
19．(本小题满分12分)已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i．
(1)求|z|；
(2)若z2＋az＋b＝eq \x\t(z)，求实数a，b的值．
[解] z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i．
(1)|z|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)．
(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b
＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，
∵eq \x\t(z)＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝1，,a＋2＝－1，))∴a＝－3，b＝4．
20．(本小题满分12分)复数z＝eq \f(1＋i2＋31－i,2＋i)，若z2＋eq \f(a,z)＜0，求纯虚数a．
[解] 由z2＋eq \f(a,z)＜0可知z2＋eq \f(a,z)是实数且为负数．
z＝eq \f(1＋i2＋31－i,2＋i)＝eq \f(2i＋3－3i,2＋i)＝eq \f(3－i,2＋i)＝1－i．
因为a为纯虚数，
所以设a＝mi(m∈R，且m≠0)，
则z2＋eq \f(a,z)＝(1－i)2＋eq \f(mi,1－i)＝－2i＋eq \f(mi－m,2)＝－eq \f(m,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)－2))i＜0，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(m,2)＜0，,\f(m,2)－2＝0，))
所以m＝4，即a＝4i．
21．(本小题满分12分)已知复数z满足(1＋2i)eq \x\t(z)＝4＋3i．
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
[解] (1)∵(1＋2i)eq \x\t(z)＝4＋3i，
∴eq \x\t(z)＝eq \f(4＋3i,1＋2i)＝eq \f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(10－5i,5)＝2－i，
∴z＝2＋i．
(2)由(1)知z＝2＋i，
则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，
∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－a＋12＞0，,4a＋1＞0，))
解得－1＜a＜1，
即实数a的取值范围为(－1,1)．
22．(本小题满分12分)已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b．
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|eq \x\t(z)－a－bi|－2|z|＝0，当z为何值时，|z|有最小值？并求出|z|的最小值．
[解] (1)因为b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，所以(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2－6b＋9＝0，,a＝b，))解得a＝b＝3．
(2)设z＝m＋ni(m，n∈R)，由|eq \x\t(z)－3－3i|＝2|z|，得(m－3)2＋(n＋3)2＝4(m2＋n2)，
即(m＋1)2＋(n－1)2＝8，
所以Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，以2eq \r(2)为半径的圆．
如图，当Z点在直线OO1上时，|z|有最大值或最小值．
因为|OO1|＝eq \r(2)，半径r＝2eq \r(2)，
所以当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝eq \r(2)．