数学上教版（2020）5.2 函数的基本性质精练

这是一份数学上教版（2020）5.2 函数的基本性质精练，共16页。试卷主要包含了函数的值域为，若函数f，函数y＝的值域是，函数f，函数y＝的定义域是，函数y＝的值域为，函数y＝x2，已知函数f等内容，欢迎下载使用。
2．函数的值域为（ ）
A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（0，2]D．[1，2]
3．若函数f（x）＝x2﹣2x，x∈[﹣2，4]，则f（x）的值域为（ ）
A．[﹣1，8]B．[﹣1，16]C．[﹣2，8]D．[﹣2，4]
4．函数y＝的值域是（ ）
A．（﹣∞，﹣1 ）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，0 ）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
5．函数f（x）＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
6．函数y＝的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是（ ）
A．（﹣∞，0）∪（，2]B．（﹣∞，2]
C．（﹣∞，）∪[2，+∞）D．（0，+∞）
7．函数y＝的值域为（ ）
A．[0，2]B．[0，4]C．（﹣∞，4]D．[0，+∞）
8．函数y＝x2﹣2x，x∈[﹣1，3]的值域为（ ）
A．[0，3]B．[﹣1，3]C．[﹣1，0]D．[1，3]
9．函数的值域为（ ）
A．B．C．[2，+∞）D．[3，+∞）
10．函数y＝x2（﹣2≤x≤3）的值域为（ ）
A．[4，9]B．[0，9]C．[0，4]D．[0，+∞）
11．已知函数f（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}，则函数的值域为（ ）
A．{﹣1，0，1}B．[0，1]C．{0，1}D．[0，+∞）
12．函数f（x）＝的值域是（ ）
A．[0，2]B．[0，4]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，4]
13．函数的值域为（ ）
A．RB．C．D．[1，+∞）
14．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，若x∈[0，3]，则函数f（x）的值域（ ）
A．[﹣3，0]B．[﹣4，0]C．[﹣4，﹣3]D．[﹣3，1]
15．函数y＝﹣x2+2x，x∈[0，3]的值域为（ ）
A．[0，3]B．[﹣3，0]C．[﹣3，1]D．[0，1]
16．已知函数f（x）＝（x＞1），则它的值域为（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣1，0）D．（﹣2，0）
17．函数f（x）＝的值域为（ ）
A．（0，1]B．（0，]C．（0，1）D．（0，）
18．函数f（x）＝，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A．B．C．D．
19．函数的值域是（ ）
A．（﹣∞，2]B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．
20．函数y＝的值域是（ ）
A．（﹣∞，3）∪（3，+∞）B．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
C．RD．（﹣∞，2）∪（3，+∞）
21．函数的值域是（ ）
A．RB．C．D．
22．已知函数，则该函数在（1，3]上的值域是（ ）
A．[4，5）B．（4，5）C．D．
23．函数f（x）＝x﹣的值域为（ ）
A．（0，）B．（0，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，）
24．函数y＝x+的值域为（ ）
A．（，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]
25．函数的值域为（ ）
A．[5，+∞）B．（﹣∞，5]C．（5，+∞）D．R
26．函数y＝的值域是（ ）
A．（﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣2，2）
27．函数，x∈[1，12]的值域为 ．
28．函数y＝x2﹣2x，x∈[0，2]的值域为 ．
29．函数f（x）＝的值域是 ．
30．函数f（x）＝的值域为 ．
31．函数f（x）＝（x＞）的值域为 ．
32．函数f（x）＝在区间[2，+∞）上的值域为 ．
33．函数y＝的值域为 ．
34．函数f（x）＝2x﹣的值域为 ．
35．函数g（x）＝2x﹣的值域为 ．
36．函数f（x）＝+x的值域是 ．
37．函数y＝x2﹣4x，其中x∈[﹣3，3]，则该函数的值域为 ．
三．解答题（共3小题）
38．求下列函数的值域
（1）y＝x2+x（﹣1≤x≤1）； （2）y＝（﹣2≤x＜1且x≠0）．
39．求下列函数的值域：
（1） （2）
40．求下列函数的值域．
（1）y＝，x∈[3，5]； （2）y＝x﹣．
参考答案与试题解析
一．选择题（共26小题）
1．【分析】由函数的定义域，求出x﹣1的取值范围，进而得的取值范围．
【解答】解：∵x＜1，∴x﹣1＜0，∴＜0，
∴函数的值域为（﹣∞，0）．
故选：A．
【点评】本题考查函数值域的求法，运用的是直接法，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
2．【分析】对分式的分母进行配方即可得解．
【解答】解：函数的定义域为R，
＝，且f（x）＞0，
所以其值域为（0，2]．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法求函数的值域，属于基础题．
3．【分析】配方可得二次函数的单调性，结合对称性可得．
【解答】解：配方可得f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∵二次函数所对应的抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴函数在x∈[﹣2，1]单调递减，在x∈[1，4]单调递增，
∴当x＝1时，函数取最小值f（1）＝﹣1，
当x＝4或x＝﹣2时，函数取最大值f（4）＝f（﹣2）＝8，
∴函数的值域为：[﹣1，8]
故选：A．
【点评】本题考查二次函数区间的值域，涉及函数的单调性，属基础题．
4．【分析】利用反函数法，可将函数y＝的解析式化为x＝，根据分式的分母不能为0，可得y的范围，即原函数的值域．
【解答】解：∵y＝
∴2xy+3y＝2x﹣3
∴2xy﹣2x＝﹣3y﹣3
∴x（2y﹣2）＝﹣3y﹣3
∴x＝
则2y﹣2≠0，即y≠1
故函数y＝的值域是（﹣∞，1）∪（1，+∞）
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是函数的值域，其中利用反函数法，将原函数的解析式化为x＝，是解答的关键．
5．【分析】根据题目给出的x的范围，求出x﹣1的范围，取倒数后可得函数f（x）的值域，则最小值可求，也可借助于函数的单调性求最小值．
【解答】解：法一：∵2≤x≤3，∴1≤x﹣1≤2，则，
所以，函数在[2，3]上的最小值为．
故选A．
法二：函数的图象是把函数f（x）＝的图象向右平移一个单位得到的，
图象如图，
所以函数在[2，3]上为减函数，
所以，函数在[2，3]上的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的值域，求函数的值域，先看函数的定义域，在定义域确定的前提下，通过配方等变形求函数的值域，也可借助于函数的单调性求值域，此题是基础题．
6．【分析】先利用x∈（﹣∞，1）∪[2，5），求出x﹣1的取值范围，再取倒数即可 求出函数y＝的值域．
【解答】解：∵x∈（﹣∞，1）∪[2，5），
则x﹣1∈（﹣∞，0）∪[1，4）．
∴∈（﹣∞，0）∪（，2]．故函数y＝的值域为（﹣∞，0）∪（，2]
故选：A．
【点评】本题考查已知定义域求函数的值域问题．在解题过程中涉及到取倒数，须注意，同号两数取倒数原不等号反向．
7．【分析】先设μ＝﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），将原根式函数的值域问题转化为二次函数的值域问题解决即可．
【解答】解：设μ＝﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），
则原函数可化为y＝．
又∵μ＝﹣x2﹣6x﹣5＝﹣（x+3）2+4≤4，
∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，
∴y＝的值域为[0，2]．
故选：A．
【点评】本小题主要考查函数的值域、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、转化能力．属于基础题．
8．【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的最值和对称轴的关系进行求解即可．
【解答】解：函数的对称轴为x＝1，
∵x∈[﹣1，3]，
∴当x＝1时，函数取得最小值y＝1﹣2＝﹣1，
当x＝3或x＝﹣1时函数取得最大值y＝1+2＝3，
即函数的值域为[﹣1，3]，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的值域，结合二次函数的性质是解决本题的关键．比较基础．
9．【分析】运用配方法，进而求解；
【解答】解：由，（x≥0）可得函数的值域为[3，+∞）．
故选：D．
【点评】考查配方法求函数的值域，属于基础低档题；
10．【分析】容易求出y＝x2在[﹣2，3]上的最小值和最大值，从而得出该函数的值域．
【解答】解：∵﹣2≤x≤3，
∴x＝0时，y＝x2取最小值0；x＝3时，y＝x2取最大值9，
∴y＝x2（﹣2≤x≤3）的值域为[0，9]．
故选：B．
【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，二次函数值域的求法，考查了计算能力，属于基础题．
11．【分析】根据函数的定义域求得值域即可．
【解答】解：由x∈{﹣1，0，1}，代入f（x）＝x2，解得f（﹣1）＝1，f（0）＝0，f（1）＝1，
根据集合的互异性函数的值域为{0，1}
故选：C．
【点评】本题考查了函数的定义，根据定义域求得值域的问题，属于基础题．
12．【分析】先求出函数t＝﹣x2+2x+3的值域，再要注意t≥0，进而可以求解．
【解答】解：令t＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
当x＝1时，tmax＝4，又t≥0，
所以t∈[0，4]，
所以f（x）＝∈[0，2]，
故选：A．
【点评】本题考查了根号下求解二次函数值域的问题，属于基础题．
13．【分析】根据x的范围即可求出x﹣1的范围，进而求出的范围，即得出f（x）的值域．
【解答】解：∵x∈[2，6]，
∴x﹣1∈[1，5]，
∴，
∴f（x）的值域为．
故选：C．
【点评】本题考查函数值域的定义及求法，不等式的性质，根据不等式的性质求函数值域的方法，考查了计算能力，属于基础题．
14．【分析】由已知结合二次函数在已知区间上的单调性即可求解函数的值域．
【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x﹣3的对称轴x＝1，
故函数在[0，3]上先减后增，
当x＝1时，函数取得最小值﹣4，当x＝3时函数取得最大值0．
故函数的值域[﹣4，0]
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的值域的求解，属于基础试题．
15．【分析】可配方得出y＝﹣（x﹣1）2+1，x∈[0，3]，从而可求出该函数在[0，3]上的最大值和最小值，从而得出该函数在[0，3]上的值域．
【解答】解：y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，x∈[0，3]，
∴x＝1时，y取最大值1；x＝3时，y取最小值﹣3，
∴原函数的值域为[﹣3，1]．
故选：C．
【点评】本题考查了配方求二次函数的最值，从而得出二次函数的值域的方法，考查了计算能力，属于基础题．
16．【分析】分离常数可得出，根据x＞1即可求出f（x）的范围，即f（x）的值域．
【解答】解：∵（x＞1），
∵x＞1，
∴x+1＞2，，，
∴，
∴f（x）的值域为（﹣2，0）．
故选：D．
【点评】本题考查了分离常数法的运用，不等式的性质，函数的值域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
17．【分析】只需求解t＝x2﹣2x+2的范围，结合反比例函数的性质可得值域；
【解答】解：设t＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
可得t∈[1，+∞），
则y＝∈（0，1]．
即函数f（x）＝的值域为（0，1]．
故选：A．
【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．
18．【分析】f（x）＝＝+利用函数的单调性即可求得值域．
【解答】解：f（x）＝＝＝+，∵x∈[3，+∞）∴f（x）为减函数∴当x＝3时，f（x）＝，取得最大值；当x接近+∞时，f（x）接近，
所以f（x）的值域为（，]．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性和值域，属于基础题．
19．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再由配方法求解函数的值域．
【解答】解：由﹣x2﹣2x+1≥0，得x2+2x﹣1≤0，解得．
∵﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2≤2，
∴函数的值域是[0，]．
故选：D．
【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用配方法求函数的值域，是基础题．
20．【分析】用分离常数方法，将式子变形成反比例型函数，根据反比例函数的值域，来求y的取值范围．
【解答】解：∵＝，∵，∴，
∴函数y的值域为（﹣∞，2）∪（2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题是考查反比例函数的值域．属于基础题．
21．【分析】可根据x2≥0，得出x2+3≥3，0＜≤，即得出原函数的值域．
【解答】解：∵x2≥0，∴x2+3≥3，∴0＜≤，∴函数f（x）的值域是（0，]．
故选：D．
【点评】本题考查了函数值域的求法，考查了计算能力，属于基础题．
22．【分析】可以得出，从而可得出f（x）在（1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增，从而求出f（x）在（1，3]上的最小值为f（2），并求出f（1），f（3）的值，这样即可得出f（x）在（1，3]上的值域．
【解答】解：，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增，
∴f（2）＝4是f（x）在（1，3]上的最小值，且f（1）＝5，f（3）＝，
∴f（x）在（1，3]上的值域为[4，5）．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的单调性，函数值域的定义及求法，根据函数单调性求值域的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．
23．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数定义域，再说明函数为定义域内的增函数，则函数值域可求．
【解答】解：由1﹣2x≥0，得x．
∵函数y＝x为R上的增函数，函数y＝为（﹣∞，]上的增函数，
∴f（x）＝x﹣是（﹣∞，]上的增函数，
∴f（x）≤f（）＝．
即函数f（x）＝x﹣的值域为（﹣∞，]．
故选：C．
【点评】本题考查复合函数的单调性的判定，考查利用函数单调性求函数的值域，是基础题．
24．【分析】可设，从而得出x＝4﹣t2，进而得出y＝﹣t2+t+4（t≥0），配方即可求出y的范围，即得出原函数的值域．
【解答】解：设，则x＝4﹣t2，
∴，
∴，
∴原函数的值域为．
故选：D．
【点评】考查函数值域的定义及求法，换元法求函数值域的方法，以及配方求二次函数值域的方法．
25．【分析】求出函数的定义域，再由函数为定义域内的单调增函数求得值域．
【解答】解：函数的定义域为[0，+∞），
且函数在[0，+∞）上为增函数，
∴当x＝0时，f（x）min＝5，
∴函数的值域为[5，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查利用函数单调性求函数的值域，是基础题．
26．【分析】把已知函数解析式变形，由x2+2≥2可得的范围，进一步求得函数值域．
【解答】解：y＝＝，
∵x2+2≥2，∴0，
则0，
∴﹣1＜﹣1+．
即函数y＝的值域是（﹣1，1]．
故选：A．
【点评】本题考查函数的值域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
二．填空题（共11小题）
27．【分析】由函数的单调性直接求得值域．
【解答】解：函数在[1，12]上为减函数，
故，即函数的值域为．
故答案为：．
【点评】本题考查利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题．
28．【分析】利用二次函数[0，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，再求得f（0），f（1），f（2）的值得答案．
【解答】解：函数y＝x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝1，
则函数在[0，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，
又f（0）＝0，f（1）＝﹣1，f（2）＝0，
∴函数y＝x2﹣2x，x∈[0，2]的值域为[﹣1，0]．
故答案为：[﹣1，0]．
【点评】本题考查利用二次函数的单调性求函数的值域，是基础题．
29．【分析】结合反比例函数的性质即可求解．
【解答】解：结合反比例函数的性质可知，函数的值域（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
【点评】本题主要考查了函数值域的求解，属于基础试题．
30．【分析】首先求t＝﹣x2+4x的值域，在求解函数f（t）＝的值域即可．
【解答】解：由题意，令t＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，且t≥0，
可得0≤t≤4，
那么函数f（t）＝，t∈[0，4]，
则0≤f（t）≤2，
所以原函数的值域为[0，2]．
故答案为[0，2]．
【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．
31．【分析】分离常数可得出，然后根据即可得出f（x）的范围，即得出f（x）的值域．
【解答】解：，
∵，∴，
∴，
∴f（x）的值域为．
【点评】本题考查了分离常数法的运用，不等式的性质，反比例函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．
32．【分析】变形f（x）＝＝＝1+，x∈[2，+∞），利用反比例函数的单调性即可得出．
【解答】解：f（x）＝＝＝1+，
∵x∈[2，+∞），∴∈（0，1]，
∴1+∈（1，2]，
故答案为：（1，2]．
【点评】本题考查了函数的定义域与值域的求法、反比例函数的单调性、分离常数法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
33．【分析】当函数的是分数型结构函数时，并且分子分母都是一次函数时，求值域可以采用：反函数法和分离常数法．
【解答】分离常数法：
解：化简函数
∵
∴y≠3
所以：{y∈R|y≠3}
故答案为：{y∈R|y≠3}
反函数法：
解：化简函数：y＝
⇔y（x﹣2）＝3x+1
⇔x（y﹣3）＝1+2y
⇔
分式中分母不等于0，∴y≠3
所以：{y∈R|y≠3}
故答案为：{y∈R|y≠3}
【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择，要熟悉每种方法解什么题型．此题属于基础题．
34．【分析】根据1﹣x≥0便可求出x和的范围，从而得出2x和﹣的范围，这样即得出f（x）的范围，即得出函数f（x）的值域．
【解答】解：1﹣x≥0；
∴x≤1，；
∴；
∴f（x）≤2；
∴f（x）的值域为（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】考查函数值域的概念，一次函数的值域，以及根据不等式的性质求函数值域的方法．
35．【分析】设＝t，t≥0，转化为g（t）＝2t2﹣t﹣2，t≥0，根据二次函数性质求解．
【解答】解：设＝t，（t≥0），
则x+1＝t2，即x＝t2﹣1，
∴y＝2t2﹣t﹣2＝2（t﹣）2﹣，t≥0，
∴当t＝时，ymin＝﹣，
∴函数g（x）的值域为[﹣，+∞）．
故答案为：[﹣，+∞）．
【点评】本题考查函数的值域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
36．【分析】可得函数的定义域为[，+∞），函数单调递增，进而可得函数的最小值，可得值域．
【解答】解：由2x﹣1≥0可得x，
∴函数的定义域为：[，+∞），
又可得函数f（x）＝+x在[，+∞）上单调递增，
∴当x＝时，函数取最小值f（）＝
∴函数f（x）＝+x的值域为：[，+∞），
故答案为：[，+∞）
【点评】本题考查函数的值域，得出函数的单调性是解决问题的关键，属基础题．
37．【分析】结合二次函数的图象与性质，容易求出二次函数在闭区间上的最值，从而得出该函数的值域．
【解答】解：二次函数y＝f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4的对称轴是x＝2，且开口向上，在x∈[﹣3，3]上，有：
当﹣3≤x≤2时，f（x）是减函数，当2＜x≤3时，f（x）是增函数；
x＝2时，函数取最小值f（2）＝﹣4；x＝﹣3时，函数取最大值f（﹣3）＝21．
故答案为：[﹣4，21]
【点评】本题用值域来考查二次函数的图象与性质，以及二次函数在闭区间上的最值问题，是基础题．
三．解答题（共3小题）
38．【分析】（1）二次函数只需要判断对称轴与定义域的位置关系，再结合图象判断最值即可；
（2）反比例函数，结合图象和增减性来判断即可．
【解答】解：（1）y＝x2+x（﹣1≤x≤1）的对称轴∈[﹣1，1]，
当时，y＝，为最小值；
当x＝﹣1时，y＝0；
当x＝1时，y＝2为最大值；
故y＝x2+x（﹣1≤x≤1）的值域为；
（2）y＝（﹣2≤x＜1且x≠0）的图象在一、三象限，而且在每一个象限内均单调递减，
当x＝﹣2时，y＝﹣1；当x＝1时，y＝2；
故y＝（﹣2≤x＜1且x≠0）的值域为（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）．
【点评】本题需要用二次函数及反比例函数的单调性判断简单函数的值域，属于简单题．
39．【分析】（1）分离常数得出，从而可得出y的范围，即得出该函数的值域；
（2）换元得出（t≥0），从而得出y＝t2+2t+3（t≥0），然后配方即可求出该函数的值域．
【解答】解：（1），
∵，
∴y≠2，
∴该函数的值域为{y|y≠2}；
（2）设（t≥0），x＝t2+1，则y＝t2+2t+3＝（t+1）2+2（t≥0），
∵t≥0，
∴t+1≥1，
∴（t+1）2+2≥3，
∴该函数的值域为[3，+∞）．
【点评】本题考查了分离常数法的运用，换元法求函数值域的方法，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于基础题．
40．【分析】（1）分离常数法将该函数变成y＝2﹣，由x∈[3，5]，即可得出该函数值域；
（2）令t＝，则x＝（t2+2），把原函数转化为关于t的二次函数即可求值域．
【解答】解：y＝＝2﹣，
∵x∈[3，5]，
∴x+1∈[4，6]，∈[，]，﹣∈[﹣，﹣]，2﹣∈[，]，
即y＝，x∈[3，5]的值域为[，]．
（2）令t＝≥0，则x＝（t2+2），
则y＝（t2+2）﹣t＝t2﹣t+（t≥0），
当t＝时，函数有最小值为﹣，
∴y＝x﹣的值域为[﹣，+∞）．
【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用分离常数法、换元法求函数的值域，是中档题．