高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第1课时课后测评

8.6.2 直线与平面垂直

第1课时 直线与平面垂直的判定

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1．已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（    ）

A．，且 B．，且

C．，且 D．，且

【答案】B

【解析】A中，，且，则，故A错误；

一条直线垂直于平面，则与这条平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确；

C、D中，或或m与相交均有可能，故C、D错误.

故选：B

2．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（     ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】A

【解析】由题意：，，

，平面

所以平面正确，D不正确；.

又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；

同理平面不正确；

故选：A

3．把正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（    ）

A．90° B．60 C．45° D．30°

【答案】C

【解析】记正方形的对角线与交于点，

将正方形沿对角线折起后，如图，

当平面时，三棱锥的体积最大.

为直线和平面所成的角，

∵因为正方体对角线相互垂直且平分，

所以在Rt△DOB中，，

∴直线和平面所成的角大小为45°.

故选：C.

4．如图，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，则与平面的位置关系是（    ）

A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对

【答案】A

【解析】

连接.

∵几何体是正方体，底面是正方形，

∴.

又∵，∴平面.

∵平面，∴.

∵，∴平面.

故选A.

5．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在长方体中，连接，

根据线面角的定义可知，

因为，所以，从而求得，

所以该长方体的体积为，故选C.

6．一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段与平面所成的角是________.

【答案】.

【解析】如图，作出，，

则，确定的平面与平面交于，且与相交于，

因为，

则，

.

即线段与平面所成的角是.

故答案为

7．如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当_______时，平面.

【答案】或

【解析】由已知得是等腰直角三角形，，是的中点，∴，

∵平面平面，平面平面，

∴平面，

又∵平面，∴.

若平面，则.

设，则，

，

∴，

解得或.

8．如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，且.求证：平面.

【答案】证明见解析

【解析】取的中点为，连接，.

∵，分别为，的中点，

∴//，又为的中点，

，∴.

∵，∴，

∴，∴.

∵，∴.

又，平面

∴平面.

能力提升

9．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，取AC的中点O，连结,

因为正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，

所以，

因为，所以平面，

所以是与侧面所成的角，

因为，

所以，

所以，与侧面所成的角．

10．如图，在正方体中，有下列结论：

①AC//平面；②平面；

③与底面所成角的正切值是；

④与为异面直线.

其中正确结论的序号是______.（把你认为正确的结论的序号都填上）

【答案】②③④

【解析】①因为平面，所以与平面不平行，故①错误；

②连接，易证.

因为，所以平面，故②正确；

③因为底面，所以是与底面所成的角，所以，故③正确；

④与既无交点也不平行，所以与为异面直线，故④正确.

故答案为：②③④.

11．如图，正方形的边长为2，与的交点为，平面，，且.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）∵平面，平面

∴，又，，

，平面，∴平面.

又平面，∴.

∵四边形是正方形，∴.

又，平面

所以平面.

（2）取的中点，连接，.

∵平面，平面，

∴，又，∴.

∵，∴平面，

∴为直线与平面所成的角

在中，知，，

∴.

素养达成

12．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中（侧棱与底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA1＝，D 是A1B1的中点．

（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；

（2）当点F 在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF ？并证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）∵是直三棱柱，

∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．

又D是A1B1的中点，

∴C1D⊥A1B1．

∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，

∴AA1⊥C1D，

∴C1D⊥平面．

（2）作交AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即所求．

事实上，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，

∴C1D⊥AB1．

又AB1⊥DF，，

∴AB1⊥平面C1DF．

∵AA1=A1B1=，

∴四边形AA1B1B为正方形．

又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，

∴F为BB1的中点，

∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF．