高中数学5.2 三角函数的概念当堂达标检测题

这是一份高中数学5.2 三角函数的概念当堂达标检测题，共10页。

1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦函数，记作cs_α，即cs α＝x；
③eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)总结
eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
5．公式一
1．sin(－315°)的值是( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)
C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).]
2．已知sin α＞0，cs α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]
3．sineq \f(25,3)π＝________.
eq \f(\r(3),2) [sineq \f(25,3)π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).]
4．角α终边与单位圆相交于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则cs α＋sin α的值为________．
eq \f(\r(3)＋1,2) [cs α＝x＝eq \f(\r(3),2)，sin α＝y＝eq \f(1,2)，
故cs α＋sin α＝eq \f(\r(3)＋1,2).]
三角函数的定义及应用
[探究问题]
1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cs α，tan α为何值？
提示：sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
2．sin α，cs α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sin α，cs α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．
【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，则sin θ＋tan θ的值为________．
(2)已知角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上，求sin α，cs α，tan α的值．
[思路点拨] (1)eq \x(依据余弦函数定义列方程求x)→
eq \x(依据正弦、正切函数定义求sin θ＋tan θ)
(2)eq \x(\A\AL(判断角α的,终边位置))→eq \x(\A\AL(分类讨论求sin α，,cs α，tan α))
(1)eq \f(3\r(10)＋30,10)或eq \f(3\r(10)－30,10) [因为r＝eq \r(x2＋9)，cs θ＝eq \f(x,r)，
所以eq \f(\r(10),10)x＝eq \f(x,\r(x2＋9)).
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq \r(10).
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝eq \f(3\r(10)＋30,10).
当θ为第二象限角时，sin θ＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝－3，
则sin θ＋tan θ＝eq \f(3\r(10)－30,10).]
(2)[解] 直线eq \r(3)x＋y＝0，即y＝－eq \r(3)x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，eq \r(3))，则r＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，cs α＝－eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3)；
在第四象限取直线上的点(1，－eq \r(3))，
则r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，
所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3).
1．将本例(2)的条件“eq \r(3)x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？
[解] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，得sin α＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，tan α＝eq \f(2,1)＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝eq \r(－12＋－22)＝eq \r(5)，得：
sin α＝eq \f(－2,\r(5))＝－eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(－1,\r(5))＝－eq \f(\r(5),5)，
tan α＝eq \f(－2,－1)＝2.
2．将本例(2)的条件“落在直线eq \r(3)x＋y＝0上”改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cs α.
[解] 因为r＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，
所以2sin α＋cs α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝eq \f(4a,－5a)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5)，
所以2sin α＋cs α＝－eq \f(8,5)＋eq \f(3,5)＝－1.
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
三角函数值符号的运用
【例2】 (1)已知点P(tan α，cs α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cs(－210°)；②sin 3·cs 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断tan α，cs α的符号，再判断角α终边在第几象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．
(1)C [因为点P在第四象限，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α>0，,cs α<0，))由此可判断角α终边在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cs(－210°)＜0，
∴sin 145°cs(－210°)＜0.
②∵eq \f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq \f(3π,2)，eq \f(3π,2)＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cs 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cs 4·tan 5＞0.
判断三角函数值在各象限符号的攻略：
1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
－2＜a≤3 [因为cs α≤0，sin α＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))所以－2＜a≤3.]
2．设角α是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)是第________象限角．
四 [角α是第三象限角，则角eq \f(α,2)是第二、四象限角，
∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，∴角eq \f(α,2)是第四象限角．]
诱导公式一的应用
【例3】 求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cs 750°；
(2)sineq \f(7π,3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))cseq \f(13π,3).
[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cs(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cs 30°
＝1－1＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).
(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,3)))
＝sineq \f(π,3)cseq \f(π,6)＋taneq \f(π,4)cseq \f(π,3)
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋1×eq \f(1,2)＝eq \f(5,4).
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
1定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π，k∈Z.
2转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.
3求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
3．化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcs(－1 080°)；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12,5)π·tan 4π.
[解] (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcs(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcs 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)π))＋cseq \f(12,5)π·tan 4π
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))＋cseq \f(2,5)π·tan 0＝sineq \f(π,6)＋0＝eq \f(1,2).
1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．
2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．
3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．
1．思考辨析
(1)sin α表示sin与α的乘积．( )
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝eq \f(y,r)，且y越大，sin α的值越大．( )
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )
[提示] (1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．
(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝eq \f(y,r).但y变化时，sin α是定值．
(3)正确．
(4)错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为( )
A．1 B．－1
C.eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2)
B [由三角函数定义知tan α＝eq \f(－1,1)＝－1.]
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝eq \f(1,5)，则sin β＝________.
－eq \f(1,5) [设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝eq \f(1,5)，所以sin β＝－y＝－eq \f(1,5).]
4．求值：(1)sin 180°＋cs 90°＋tan 0°.
(2)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4))).
[解] (1)sin 180°＋cs 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))
＝cseq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)
2．掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)
3．掌握公式——并会应用.
1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助公式的运算，提升数学运算素养.
三角函数
定义域
sin α
R
cs α
R
tan α
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))