2020-2021学年北京市昌平区七年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市昌平区七年级（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）已知∠α＝30°，那么∠α的余角等于（ ）
A．30°B．60°C．70°D．150°
2．（2分）叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中，0.00005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣5B．5×10﹣4C．0.5×10﹣4D．50×10﹣3
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a﹣1＝aB．a•a3＝a4C．a6÷a2＝a3D．（a3）2＝a9
4．（2分）如图，AB与CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠DC．∠C＝∠DD．∠B+∠C＝180°
5．（2分）如果x2+mx+4是一个完全平方式，则m等于（ ）
A．﹣4B．2C．4D．±4
6．（2分）有下列变形：①由a＞b得a+c＞b+c；②由a＞b得5a＞5b；③由a＞b得﹣8a＜﹣8b；④由a＞b得ac＞bc，其中变形一定正确且使用了“不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”这一不等式基本性质的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
7．（2分）已知x+y＝3，如果x＜y且x，y是正整数，那么不等式﹣kx+y＞0中k的取值范围是（ ）
A．k＜2B．k＜﹣2C．k＜D．k＜﹣
8．（2分）在某学校庆祝建党“100周年”的活动上，宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律，第n个“100”字样的棋子个数是（ ）
A．11nB．n+10C．5n+6D．6n+5
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）分解因式：m2+m＝ ．
10．（2分）如果，是关于x，y的二元一次方程ax+6y＝1的解，那么a的值是 ．
11．（2分）昌平区五月份某一周每天的最高气温统计如表：
则这组数据的平均数是 ℃，众数是 ℃．
12．（2分）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，如果∠COE＝55°，那么∠BOD＝ °．
13．（2分）我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人数多少？银子几何？意思是：有若干客人分银若干两，如果每人分7两，还多4两；如果每人分9两，还差8两（题中斤、两为旧制，1斤＝16两）．问：有多少位客人？多少两银子设有x位客人，y两银子，根据题意，可列方程组为 ．
14．（2分）把面积为a2，b2的小正方形和面积为ab的两个长方形拼成如图所示的大正方形，那么，大正方形的边长为 ．（a＞0，b＞0）
15．（2分）已知：ax＝3，ay＝3，则ax+y＝ ．
16．（2分）“体育节”中，初一年级四个班进行了足球单循环比赛，每两班赛一场，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，一班、二班、三班、四班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是四个连续奇数，那么与二班踢平的班是 ．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）分解因式：2a2﹣2b2．
18．（5分）计算：a2•a4+（2a3）2﹣3a8÷a2．
19．（5分）解不等式＞，并把解集在数轴上表示出来．
20．（5分）解方程组：．
21．（5分）解不等式组，并写出整数解的中位数．
22．（5分）先化简，再求值：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）﹣30，其中x＝2．
23．（6分）某集团校对本集团的四个校区的初一学生，围绕着“你最喜欢的居家健身项目是什么（只选一项）”的问题进行了随机抽样调查．过程如下：
收集数据
A．平板支撑
B．蹲起
C．仰卧起坐
D．开合跳
E．其他
经过调查得到的一组数据如下：
DCCADABADB
BEDDEDBCCE
ECBDEEDDED
BBCCDCEDDA
BDDCDDEDCE
整理数据
抽样调查50名初一学生最喜欢的居家健身项目人数统计表
描述数据
根据以上信息回答下列问题：
（1）补全统计表；
（2）求本次抽样调查中，最喜欢开合跳项目的人数占被调查总人数的百分比；
（3）若校区4共有160名初一学生，请你估计该集团初一学生中，最喜欢蹲起项目的人数约为多少人？
24．（6分）（1）阅读以下内容：
已知x，y满足x+2y＝5，且，求m的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于x，y的方程组，再求m的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值．
丙同学：先解方程组，再求m的值．
（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
请先选择思路，再解答题目．
我选择 同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙”）．
25．（6分）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：
（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图3可以解释为等式： ；
（2）要拼出一个两边长为a+b，3a+b的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论．
（3）如图4，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y（x＞y）表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是 ．（填序号）
①x+y＝m；
②2xy＝m2﹣n2；
③x2﹣y2＝mn；
④x2+y2＝m2+n2．
26．（6分）小聪把一副三角尺ABC，DCE按如图1的方式摆放，其中边BC，DC在同一条直线上，将其抽象出如图2的几何图形后，过点A作射线AP∥DE．
（1）依题意将图2补充完整；
（2）求∠PAC的度数．
27．（7分）【概念学习】
定义：对于一个三位的自然数n，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数n为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且7+1＝8，8÷4＝2，2为整数；643不是“好数”，因为6+4＝10，10÷3的商不是整数．
【初步探究】
（1）自然数312，675，981，802是“好数”的为 ；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
【深入思考】
求同时满足下列条件的“好数”：
（1）百位数字比十位数字大5；
（2）百位数字与十位数字之和等于个位数字．
28．（7分）阅读下列材料：
我们知道|x|表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．
例1：解方程|x|＝6．
解：∵|x|＝|x﹣0|＝6，
∴在数轴上与原点距离为6的点对应数为±6，即该方程的解为x＝±6．
例2：解不等式|x﹣1|＞2．
解：如图，首先在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣5|＝3的解为 ；
（2）解不等式2|x+2|+1＜9；
（3）若|x﹣1|+|x+2|＝3，则x的取值范围是 ；
（4）若y＝|x﹣1|﹣|x+2|，则y的取值范围是 ．
2020-2021学年北京市昌平区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）已知∠α＝30°，那么∠α的余角等于（ ）
A．30°B．60°C．70°D．150°
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠α＝30°，
∴∠α的余角＝90°﹣30°＝60°．
故选：B．
2．（2分）叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中，0.00005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣5B．5×10﹣4C．0.5×10﹣4D．50×10﹣3
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00005＝5×10﹣5，
故选：A．
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a﹣1＝aB．a•a3＝a4C．a6÷a2＝a3D．（a3）2＝a9
【分析】根据幂的乘方、负整数指数幂、同底数幂的乘除法运算法则逐一计算判断即可．
【解答】解：A．a﹣1＝，故A选项不正确；
B．a•a3＝a4，故B选项正确；
C．a6÷a2＝a4，故C选项不正确；
D．（a3）2＝a6，故D选项不正确．
故选：B．
4．（2分）如图，AB与CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠DC．∠C＝∠DD．∠B+∠C＝180°
【分析】根据两直线相交对顶角相等、内错角相等两直线平行等判定方法和三角形角的性质即可确定答案．
【解答】解：选项A、∵∠1与∠2互为对顶角，∴∠1＝∠2，故选项A符合题意；
选项B、∵∠1＝∠D+∠A，∴∠1＞∠D，故选项B不符合题意；
选项C、∵AD与BC是否平行不能确定，∴∠C与∠D不一定相等，故选项C不符合题意；
选项D、∵∠B+∠C+∠BOC＝180°，∴∠B+∠C＜180°，故选项D不符合题意；
故选：A．
5．（2分）如果x2+mx+4是一个完全平方式，则m等于（ ）
A．﹣4B．2C．4D．±4
【分析】先将原式写成一个完全平方式，再将其展开，与原式比较即可得出答案．
【解答】解：∵x2+mx+4是一个完全平方式，
∴x2+mx+4＝（x±2）2，
∴mx＝±2•x•2，
即m＝±4．
故选：D．
6．（2分）有下列变形：①由a＞b得a+c＞b+c；②由a＞b得5a＞5b；③由a＞b得﹣8a＜﹣8b；④由a＞b得ac＞bc，其中变形一定正确且使用了“不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”这一不等式基本性质的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据不等式的性质进行解答．
【解答】解：①由a＞b的两边同时加上c，得a+c＞b+c，故①不符合题意；
②由a＞b的两边同时乘以5，得5a＞5b，故②符合题意；
③由a＞b的两边同时乘以﹣8，不等号的方向改变，即﹣8a＜﹣8b，故③不符合题意；
④由a＞b的两边同时乘以c，得ac＞bc，此时必须是c＞0，故④不符合题意．
符合题意的是②，
故选：B．
7．（2分）已知x+y＝3，如果x＜y且x，y是正整数，那么不等式﹣kx+y＞0中k的取值范围是（ ）
A．k＜2B．k＜﹣2C．k＜D．k＜﹣
【分析】根据题意求得x＝1，y＝2，即可得到﹣k+2＞0，解得k＜2．
【解答】解：∵x+y＝3，x＜y且x，y是正整数，
∴x＝1，y＝2，
∵﹣kx+y＞0，
∴﹣k+2＞0，
∴k＜2，
故选：A．
8．（2分）在某学校庆祝建党“100周年”的活动上，宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律，第n个“100”字样的棋子个数是（ ）
A．11nB．n+10C．5n+6D．6n+5
【分析】根据所给的图形可得：第①个“100”字中的棋子个数是3+4×2＝2+1+（2×2）×2＝11；第②个“100”字中的棋子个数是4+6×2＝2+2+（2×3）×2＝16；第③个“100”字中的棋子个数是5+8×2＝2+3+（2×4）×2＝21；第④个“100”字中的棋子个数是6+10×2＝2+4+（2×5）×2＝26；据此可得其中的规律．
【解答】解：第①个“100”字中的棋子个数是3+4×2＝2+1+（2×2）×2＝11；
第②个“100”字中的棋子个数是4+6×2＝2+2+（2×3）×2＝16；
第③个“100”字中的棋子个数是5+8×2＝2+3+（2×4）×2＝21；
第④个“100”字中的棋子个数是6+10×2＝2+4+（2×5）×2＝26；
．
第n个“100”字中的棋子个数是2+n+2（n+1）×2＝2+n+4n+4＝5n+6．
故选：C．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）分解因式：m2+m＝ m（m+1） ．
【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．
【解答】解：m2+m＝m（m+1）．
故答案为：m（m+1）．
10．（2分）如果，是关于x，y的二元一次方程ax+6y＝1的解，那么a的值是 ．
【分析】根据方程的解的定义，将代入方程ax+6y＝1，得3a＝1，故a＝．
【解答】解：由题意得：3a+6×0＝1．
∴a＝．
故答案为：．
11．（2分）昌平区五月份某一周每天的最高气温统计如表：
则这组数据的平均数是 24 ℃，众数是 24 ℃．
【分析】根据众数定义确定众数；应用加权平均数计算这组数据的平均数．
【解答】解：这组数据的平均数是＝24（℃）；
∵24℃出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是24℃；
故答案为：24，24．
12．（2分）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，如果∠COE＝55°，那么∠BOD＝ 35 °．
【分析】利用垂直的定义得到∠AOE＝90°，由∠AOE﹣∠COE求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等即可求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠COE＝55°，
∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝35°，
则∠BOD＝∠AOC＝35°．
故答案为：35．
13．（2分）我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人数多少？银子几何？意思是：有若干客人分银若干两，如果每人分7两，还多4两；如果每人分9两，还差8两（题中斤、两为旧制，1斤＝16两）．问：有多少位客人？多少两银子设有x位客人，y两银子，根据题意，可列方程组为 ．
【分析】根据每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，可以列出相应的二元一次方程组．
【解答】解：由题意可得：，
故答案为：．
14．（2分）把面积为a2，b2的小正方形和面积为ab的两个长方形拼成如图所示的大正方形，那么，大正方形的边长为 a+b ．（a＞0，b＞0）
【分析】根据正方形和长方形的面积公式分别求得小正方形和长方形的边长，然后结合图形求解．
【解答】解：如图所示：
故大正方形的边长为a+b．
故答案是：a+b．
15．（2分）已知：ax＝3，ay＝3，则ax+y＝ 9 ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．
【解答】解：ax+y＝ax•ay＝3×3＝9，
故答案为：9．
16．（2分）“体育节”中，初一年级四个班进行了足球单循环比赛，每两班赛一场，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，一班、二班、三班、四班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是四个连续奇数，那么与二班踢平的班是 一班与四班 ．
【分析】直接利用已知得出一班得分为7分，2胜1平，二班得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，进而得出答案．
【解答】解：∵一班、二班、三班、四班四个班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是四个连续奇数，
∴一班得分为7分，2胜1平，二班得分5分，1胜2平，三班得分3分，1胜0平，四班得分1分，0胜1平，
∵一班、二班都没有输球，
∴一班一定与二班平，
∵三班得分3分，1胜0平，二班得分5分，1胜2平，
∴与二班踢平的班是一班与四班．
故答案为：一班与四班．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）分解因式：2a2﹣2b2．
【分析】先提公因式2，再利用平方差公式计算可求解．
【解答】解：原式＝2（a2﹣b2）
＝2（a+b）（a﹣b）．
18．（5分）计算：a2•a4+（2a3）2﹣3a8÷a2．
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方及同底数幂的除法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝a6+4a6﹣3a6
＝2a6．
19．（5分）解不等式＞，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【解答】解：＞，
去分母，得5（x﹣1）＞2（2x﹣3），
去括号，得5x﹣5＞4x﹣6，
移项，得5x﹣4x＞﹣6+5，
合并同类项，得x＞﹣1，
在数轴上表示不等式的解集为：
．
20．（5分）解方程组：．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
由①得：x＝2y+3③，
把③代入②得：6y+9+y＝2，
移项合并得：7y＝﹣7，
解得：y＝﹣1，
将y＝﹣1代入③得：x＝1，
则方程组的解为．
21．（5分）解不等式组，并写出整数解的中位数．
【分析】先求出不等式组的整数解，再根据中位数的意义求出中位数即可．
【解答】解：解这个不等式组可得解集为﹣2≤x≤4，
其整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，处在中间位置的一个数是1，因此中位数是1，
答：这个不等式组整数解的中位数是1．
22．（5分）先化简，再求值：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）﹣30，其中x＝2．
【分析】整式的混合运算，先算乘方，零指数幂，然后算乘法，然后算加减，然后代入求值．
【解答】解：原式＝x2﹣4x+4﹣x2+x﹣1
＝﹣3x+3，
当x＝2时，
原式＝﹣3×2+3＝﹣3．
23．（6分）某集团校对本集团的四个校区的初一学生，围绕着“你最喜欢的居家健身项目是什么（只选一项）”的问题进行了随机抽样调查．过程如下：
收集数据
A．平板支撑
B．蹲起
C．仰卧起坐
D．开合跳
E．其他
经过调查得到的一组数据如下：
DCCADABADB
BEDDEDBCCE
ECBDEEDDED
BBCCDCEDDA
BDDCDDEDCE
整理数据
抽样调查50名初一学生最喜欢的居家健身项目人数统计表
描述数据
根据以上信息回答下列问题：
（1）补全统计表；
（2）求本次抽样调查中，最喜欢开合跳项目的人数占被调查总人数的百分比；
（3）若校区4共有160名初一学生，请你估计该集团初一学生中，最喜欢蹲起项目的人数约为多少人？
【分析】（1）根据题目中调查得到的数据，可以将B．跳绳和D．开合跳对应的划记和频数写出来，然后即可将统计表补充完整；
（2）本次抽样调查中，最喜欢开合跳项目的人数除以被调查总人数即可求解；
（3）根据扇形统计图求出校区4初一学生占该集团初一学生总数的百分比，求出该集团初一学生总数，再乘以本次抽样调查中，喜欢蹲起项目的人数所占比例即可求解．
【解答】解：（1）由调查得到的数据可得，
B．跳绳对应的划记是，频数是8，
D．开合跳对应的划记是，频数是18，
补全的统计表：
（2）18÷50×100%＝36%，
即本次抽样调查中，最喜欢开合跳活动的人占被调查总人数的百分比是36%；
（3）160÷（1﹣31%﹣13%﹣36%）×＝128（人），
即最喜欢蹲起项目的人数约为128人．
24．（6分）（1）阅读以下内容：
已知x，y满足x+2y＝5，且，求m的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于x，y的方程组，再求m的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值．
丙同学：先解方程组，再求m的值．
（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
请先选择思路，再解答题目．
我选择 乙（答案不唯一） 同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【分析】解法一：选择乙同学的思路，根据整体思想，两式相加得到x+2y＝m+1，从而m+1＝5，所以m＝4；
解法二：选择丙同学的思路，因为这两个方程中没有m，能够求出x，y的值．利用代入消元法求出方程组的解，再代入3x+2y＝5m﹣3中求出m的值即可．
【解答】解：解法一：我选择乙同学的思路．
两式相加得：5x+10y＝5m+5，
∴x+2y＝m+1，
∵x+2y＝5，
∴m+1＝5，
∴m＝4．
理由：利用整体思想，解题更简单．
解法二：我选择丙同学的思路．
，
由①得：x＝5﹣2y③，
代入②得：2（5﹣2y）+3y＝8，
∴y＝2，
代入③得：x＝1，
∴方程组的解为，
代入3x+7y＝5m﹣3得：3+14＝5m﹣3，
∴m＝4．
理由：这两个方程中没有m，能够求出x，y的值．
故答案为：乙（答案不唯一）．
25．（6分）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：
（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图3可以解释为等式： （a+2b）（2a+b）＝2a2+2b2+5ab ；
（2）要拼出一个两边长为a+b，3a+b的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论．
（3）如图4，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y（x＞y）表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是 ①③ ．（填序号）
①x+y＝m；
②2xy＝m2﹣n2；
③x2﹣y2＝mn；
④x2+y2＝m2+n2．
【分析】（1）图③是长为（a+2b），宽为（2a+b）的矩形，根据矩形面积可得到等式，
（2）计算出（a+b）（3a+b）的结果，即可得出答案，
（3）根据图④得出m＝x+y，n＝x﹣y，再依据公式进行恒等变形即可．
【解答】解：（1）图3的面积可以（a+2b）（2a+b）表示，也可以用2a2+5ab+2b2表示，因此有（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）因为（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2，所以需要a×a的3块，a×b的4块，b×b的1块，
故答案为：3，4，1．
（3）由图④可知，m＝x+y，n＝x﹣y，
因此①正确；
因为mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，因此③正确；
因为m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y）＝2x•2y＝4xy，所以②错误；
因＝﹣＝x2+y2，所以④错误；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
26．（6分）小聪把一副三角尺ABC，DCE按如图1的方式摆放，其中边BC，DC在同一条直线上，将其抽象出如图2的几何图形后，过点A作射线AP∥DE．
（1）依题意将图2补充完整；
（2）求∠PAC的度数．
【分析】（1）依题意将图2补充完整即可；
（2）延长AB交DE于F，根据三角形的内角和定理得到∠BFD＝60°，根据平行线的性质得到∠PAF＝∠BFD＝60°，由角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）将图2补充完整如图所示；
（2）延长AB交DE于F，
∵∠DBF＝∠ABC＝90°，∠D＝30°，
∴∠BFD＝60°，
∵AP∥DE，
∴∠PAF＝∠BFD＝60°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠PAC＝60°﹣45°＝15°．
27．（7分）【概念学习】
定义：对于一个三位的自然数n，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数n为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且7+1＝8，8÷4＝2，2为整数；643不是“好数”，因为6+4＝10，10÷3的商不是整数．
【初步探究】
（1）自然数312，675，981，802是“好数”的为 312，981 ；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是 假 命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是 真 命题；
【深入思考】
求同时满足下列条件的“好数”：
（1）百位数字比十位数字大5；
（2）百位数字与十位数字之和等于个位数字．
【分析】【初步探究】
（1）由好数的定义可求解；
（2）由好数的定义可判断．
【深入思考】
设十位数字为x，个位数字为y，由题意列出方程，可求解．
【解答】解：【初步探究】
（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且3+1＝4，4÷2＝2，2为整数；675不是“好数”，因为6+7＝13，13÷5的商不是整数．981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且9+8＝17，17÷1＝17，17为整数；802不是“好数”，因为数字不能为0，
∴“好数”为312，981，
故答案为：312，981；
（2）①例如801不是“好数”，故个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；
故答案为：假，真；
【深入思考】
设十位数字为x，个位数字为y，
由题意可得：x+x+5＝y，
∵1≤y≤9，1≤x≤9，
∴1≤2x+5≤9，
∴1≤x≤2，
∴x＝1或2，
当x＝1时，好数为617，
当x＝2，好数为729，
综上所述：满足条件的好数为617或729．
28．（7分）阅读下列材料：
我们知道|x|表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．
例1：解方程|x|＝6．
解：∵|x|＝|x﹣0|＝6，
∴在数轴上与原点距离为6的点对应数为±6，即该方程的解为x＝±6．
例2：解不等式|x﹣1|＞2．
解：如图，首先在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣5|＝3的解为 x＝2或x＝8 ；
（2）解不等式2|x+2|+1＜9；
（3）若|x﹣1|+|x+2|＝3，则x的取值范围是 ﹣2≤x≤1 ；
（4）若y＝|x﹣1|﹣|x+2|，则y的取值范围是 ﹣3≤y≤3 ．
【分析】（1）将|x﹣5|＝3转化为两个一元一次方程x﹣5＝3或x﹣5＝﹣3，分别求解x值即可；
（2）|x+2|＜4转化为不等式﹣4＜x+2＜4，分别求解即可；
（3）分类讨论：当x≤﹣2时，原方程化为1﹣x﹣x﹣2＝3，解得x＝﹣2；当﹣2＜x＜1时，原方程化为1﹣x+x+2＝3；当x≥1时，原方程化为x﹣1+x+2＝3，解得x＝1，即可求出x的范围；
（4）分类讨论：当x＜﹣2时，y＝1﹣x+x+2＝3；当﹣2≤x≤1时，y＝1﹣x﹣x﹣2＝﹣1﹣2x，此时﹣3≤y≤3；当x＞1时，y＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3，即可求出y的取值范围．
【解答】解：（1）由|x﹣5|＝3，可得
x﹣5＝3或x﹣5＝﹣3，
∴x＝8或x＝2，
故答案是x＝2或x＝8；
（2）不等式整理得，|x+2|＜4，
∴﹣4＜x+2＜4，
解得：﹣6＜x＜2；
（3）当x≤﹣2时，原方程化为1﹣x﹣x﹣2＝3，解得x＝﹣2，
当﹣2＜x＜1时，原方程化为1﹣x+x+2＝3，
当x≥1时，原方程化为x﹣1+x+2＝3，解得x＝1，
∴﹣2≤x≤1，
故答案为﹣2≤x≤1；
（4）当x＜﹣2时，y＝1﹣x+x+2＝3，
当﹣2≤x≤1时，y＝1﹣x﹣x﹣2＝﹣1﹣2x，
此时﹣3≤y≤3，
当x＞1时，y＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3，
综上所述：﹣3≤y≤3，
故答案为﹣3≤y≤3．
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