高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.1 直线与平面垂直教案设计

直线与平面垂直

【教学目标】

1．通过直线与平面垂直的定义学习，培养直观想象的数学核心素养。

2．借助线面垂直的判定定理与性质定理，提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养。

【教学重难点】

1．了解直线与平面垂直的定义。

2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直。

3．掌握线面垂直的性质定理，并能应用。

4．灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题。

【教学过程】

一、基础铺垫

直线与直线所成角：

初中几何中已经提到，两条直线相交，可以形成四个角，其中有些角是对顶角，有些角是邻补角，而且对顶角相等，邻补角互补。

习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小。

一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a'，b'，则a'与b'所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小。

为了方便起见，规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°，这样一来，空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的。两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角。特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m。

二、新知探究

1．线面垂直的定义及判定定理的理解

【例1】  下列说法中正确的个数是（    ）

①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直。

A．0         B．1        C．2       D．3

D  [由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确。]

【教师小结】

1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内。

2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线。

2．线面垂直判定定理的应用

【例2】  如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F。

（1）求证：PC⊥平面AEF；

（2）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD．

[思路探究]  PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC⇒直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线。

[证明]  （1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以PA⊥BC．

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，

所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，

所以AE⊥BC．

又AE⊥PB，PB∩BC＝B，

所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，

所以AE⊥PC．

又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，

所以PC⊥平面AEF。

（2）由（1）知PC⊥平面AEF，

所以PC⊥AG，同理

CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，

所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，

所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD．

【教师小结】证线面垂直的方法：

（一）线线垂直证明线面垂直

（1）定义法（不常用）；

（2）判定定理最常用（有时作辅助线）。

（二）平行转化法（利用推论）

（1）a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

（2）α∥β，a⊥α⇒a⊥β。

3．线面垂直性质定理的应用

[探究问题]

将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）。观察折痕AD与桌面的位置关系。

（1）折痕AD与桌面一定垂直吗？

[提示]  不一定。

（2）当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？

[提示]  当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直。

【例3】  如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1．

[思路探究]  两直线垂直于同一平面⇒两直线平行。

[证明]  因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．

因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．

【母题探究】

本例中条件不变，求证：M是AB中点。

[证明]  连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．

所以ONCDAB，

所以ON∥AM。

又因为由本例可知MN∥OA，

所以四边形AMNO为平行四边形，

所以ON＝AM。因为ON＝AB，

所以AM＝AB，

所以M是AB的中点。

【教师小结】平行关系与垂直关系之间的相互转化：

三、课堂总结

1．本节课的重点是理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性；掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关线面垂直的问题。难点直线与平面垂直关系的判定与证明。

2．本节课要重点掌握的规律方法

（1）线面垂直的定义及应用。

（2）线面垂直的判定定理及应用。

（3）线面垂直的性质定理及应用。

3．本节课的易错点是用线面垂直的判定定理时易漏掉两条直线相交这一条件。

四、课堂检测

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 （    ）

（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 （    ）

（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直。              （    ）

[答案]  （1）√  （2）√  （3）√

[提示]  由线面垂直的定义和性质可知（1）、（2）、（3）均正确。

2．在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（    ）

A．相交         B．平行

C．异面 D．相交或平行

B  [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确。]

3．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（    ）

A．平行 B．垂直相交

C．垂直但不相交 D．相交但不垂直

C  [因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又MC⊥平面

ABCD，则BD⊥MC．因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD．

显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交。]

4．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点。证明：PC⊥平面BEF。

[证明]  如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，

即△PEC是等腰三角形。

又F是PC的中点，

∴EF⊥PC．

又BP＝＝2＝BC，

F是PC的中点，∴BF⊥PC．又BF∩EF＝F，

∴PC⊥平面BEF。