数学3 角平分线第三课时教学设计

课  题：13.5 逆命题与逆定理

第三课时 角平分线

＆.教学目标：

1、掌握角平分线性质定理以及其逆定理。

2、让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。

3、通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学，热爱数学。

＆.教学重点、难点：

重点：理解并会证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”；并能用这两个结论证明相关命题和解释有关生活中所遇到的相关问题。

难点：“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”这一结论的证明以及应用。

＆.教学过程：

一、问题引入

1、角平分线上的点到这个角两边的距离有怎样的关系？

2、回忆角平分线的这条性质是怎样得到的？

二、探究新知

§.利用全等三角形的知识解决角平分线的问题：

探究活动1：

问题1：同学们都喜欢折纸，老师现在也来折纸.如图1是画有的纸张，我们将对折，得到一条折痕，然后再折出一个直角三角形（以第一条折痕为斜边）然后展开，大家一起观察一下这两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？

问题2：如图2所示，已知平分，点在上，，，垂足为、.你能证明吗？

教学方法：引导学生回顾刚才折纸的过程，从中启发学生用全等三角形的知识进行证明并叙述其过程。

§.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

几何语言：∵平分，，

∴

探究活动2：

问题3：写出定理“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆命题。

问题4：你能证明刚才所写的逆命题是真命题吗？

如图2，，，垂足为、，.

求证：点在的平分线上.

解析：为了证明点在的平分线上，可以作射线，然后证，从而得到.

§.角平分线的判定定理：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

几何语言：∵，，

∴平分

注意：角平分线的性质角平分线的判定。

思考：

（1）请同学们先任意画一个三角形，然后再分别作出这个三角形的三条角平分线，观察一下，你发现了什么现象？

（2）你能运用所学的知识证明这一现象吗？

§.概括：三角形角平分线的交点到三边的距离相等。

三、讲解例题，巩固新知

§.例1、如图3，中，、的外角平分线交于点.

求证：（1）点在的平分线上；（2）.

解析：（1）证明点在的平分线上时，需证；（2）需由三角形内角和来证明。

解：（1）过点作、、的垂线，垂足分别为、、

∵平分，，

∴

同理可得：

∴

∵，

∴点在的平分线上.

（2）

方法小结：要证明或使用角平分线的性质或判定时，一定要是垂线段相等，强调其中的两垂直。

同步练习：

（1）如图4，过的边上一点，作直线，直线与的平分线，的外角平分线分别交于、.求证：.

（2）如图5，已知是的中线，于，于，且.

求证：平分.（注意演变）

§.例2、如图6，、分别垂直、，和相交于点，且平分.

求证：.

解析：欲证，需证明、所在的两个三角形全等，即证明或证明.由于平分和、分别垂直、，因而易知，进而易证.

证明：∵，，平分

∴

在和中

∴（）

∴（全等三角形的对应边相等）

同步练习：

（1）如图7，，，，是上一点.求证：.

（2）如图8，、、是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，那么这个加油站的位置有几处可供选择？

§.例3、如图9，已知四边形中，，平分，，为垂足。

求证：.

解析：要证明，为角平分线，过作于，故，，则需证，需证.

证明：过作于

∵平分，，

∴

又∵，

∴，

∴

∴

∴

故

同步练习：如图9，在四边形中，，，平分.

（1）求证：；

（2）作，求证：.

四、巩固练习

教材  练习 

五、课堂小结

通过本节课的学习，要求同学们

1、通过利用逻辑推理进一步理解角平分线的性质定理与判定定理。

2、灵活地利用角平分线性质定理及判定定理解决相关问题。

六、课外作业

1、教材  习题