初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定学案

这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定学案，共10页。学案主要包含了课后巩固等内容，欢迎下载使用。

新知详解
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形也是特殊的平行四边形，故菱形具备平行四边形的多有性质。除此之外，菱形的性质还有：
菱形的性质一： 边 菱形的四条边相等。
菱形的性质二： 对角线 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的性质三： 对称性 菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，菱形有2条对称轴。
例1：已知，如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F。(1)求证：AM=DM；(2)若DF=2，求菱形ABCD的周长 。
练习1：如图所示，菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2．
求：（1）较短对角线的长；（2）一组对边的距离。
例2：如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，求AB的值．
练习2：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，求△AEF的周长。
F
A
D
E
B
C
例3：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．
练习3：已知菱形ABCD中，AC与BD相交O点，若∠BDC=，菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.
小结：
S菱形ABCD =AB× DE或S菱形ABCD = S△ABD+S△BCD = AC×BD （菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半）
菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例2：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
菱形判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
例3：如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．
练习1：如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD。
(1）求证：AD＝CE；
(2）四边形ADCE的形状是？
练习2：如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论．
练习3：如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求证：四边形BDEF是菱形。（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长？
例4：如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
例5：如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。由此可见，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。
矩形其他性质1 矩形的四个角都是直角．
矩形其他性质2 矩形的对角线相等．
矩形其他性质3 矩形是轴对称图形，对边中点的连线就是对称轴，矩形有2条对称轴．
A
B
C
D
O
例1：（2011宁夏）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOD＝60º，AD＝2，
则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 eq \r(3) D．4 eq \r(3)
练习1：已知，如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由矩形的性质2有：
AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
A
D
C
O
B
E
例2 ：已知，如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD是对角线，过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E。求证：△ACE是等腰三角形。
练习2：已知，如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，于F，若 。求证：CE＝EF。
练习3：在矩形ABCD中，，求这个矩形的周长。
例3：矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将ΔADC沿AC翻折至ΔAEC，AE与BC相交于G，求GC的长。
A
B
C
D
G
E
练习4：如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，求AG的长。
A′
G
D
B
C
A
练习5：如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长。
矩形的判定定理
矩形的判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义法）
例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形
矩形的判定2：有三个角是直角的四边形是矩形
例2：已知，如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
矩形的判定3：对角线相等的平行四边形是矩形
例3：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。求证：四边形ABCD为矩形。
练习1：已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CF．
练习2：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
综合练习1：如图所示，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，CE⊥BD于E，OF⊥AB于F，BE：DE=1：3，OF=2cm，求AC的长．
综合练习2：如图所示，矩形ABCD中，长为7，宽为6，点E、F将BD三等分，求△AEF的面积．
综合练习3：已知矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE＝EF，CF＝CA。求证：。
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
其定义包括了两层意：

探究2：正方形性质：
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
所以，正方形具有 的性质，同时又具有 的性质．
边：对边 ，四边 ；
角：四个角都是 ；
线：对角线相等，互相 ，每条对角线平分一组 ．
形：是 对称
探究3：正方形判定：
（1）有一组邻边相等的 是正方形
（2）有一个角是直角的 是正方形
例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
练习1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE = OF．
例2点E,F,M,N分别是正方形ABCD四边上的点，且AE=BF=CM=DN,
求证：四边形EFMN是正方形．
证明：
练习2：已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
【课后巩固】
1．如图，四边形，，都是正方形，边长分别为；五点在同一直线上，则 （用含有的代数式表示）．
2．如图，等边三角形ABE与正方形ABCD有一条公共边，则∠AED=______.
3．如图，由火柴棒拼成的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：（1）第4个图形中火柴棒的根数是_________；（2）第n个图形中火柴棒的根数是_________．
4．如图，P是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP′重合，若PB=3，则 PP′=________________
4图 5图 6图 7图
5．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ．

如右图，已知正方形ABCD的边长为cm，E为DC边上一点，∠EBC=30°，则BE的长为____________．
如图，在正方形中，．若，求的长．
8．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
9．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
10、已知，在正方形ABCD中，点G是BC上的任意一点，DE ⊥AG于点E，BF ∥ DE，且交AG于点F，求证：AF—BF=EF
11．（快班做）已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．