吉林省吉林市船营区2021年中考数学一模试卷（word版 含答案）

这是一份吉林省吉林市船营区2021年中考数学一模试卷（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
吉林省吉林市船营区2021年中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．2021的倒数是（　　　）
A． B． C．2021 D．
2．柜子里有5双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是

A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥
4．如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是( )

A．∠A＝∠C B．∠A>∠C C．∠A0，抛物线开口向上，A不正确；
B. −=−,当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确；
C. y=x²+5x+4=(x+) ²−,二次函数的最小值是−，C不正确；
D. −=−,抛物线的对称轴是x=−，D正确.
故选D.
点睛: 本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．
6．C
【分析】
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】
如图所示，

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），
同理可得，BF=27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），
故选C．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
7．
【分析】
直接提取公因式，进而得出答案．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键．
8．k≥-1
【分析】
首先讨论当时，方程是一元一次方程，有实数根，当时，利用根的判别式△=b2-4ac=4+4k≥0，两者结合得出答案即可．
【详解】
当时，方程是一元一次方程：，方程有实数根；
当时，方程是一元二次方程，
解得：且.
综上所述，关于的方程有实数根，则的取值范围是.
故答案为
【点睛】
考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略
这种情况.
9．
【分析】
分配问题，依据题意，等量关系式为：第一次分配时的物价=第二次分配的物价，据此列写等量方程即可．
【详解】
根据等量关系式：第一次分配时的物价=第二次分配的物价
即：
故答案为：
【点睛】
本题考查列写一元一次方程，解题关键是根据题意，找出对应的等量关系式．
10．40
【分析】
由作图可知，是线段的垂直平分线，得出，由等腰三角形的性质得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可得出结果．
【详解】
解：∵由作图可知，DE是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
【点睛】
本题考查尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等内容，根据尺规作图明确DE是线段的垂直平分线是解题的关键．
11．3
【分析】
延长交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到，则，解得即可．
【详解】
解：延长交y轴于E，如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ADOE是矩形，四边形BCOE是矩形，
∵点A在双曲线上，点B在双曲线上，
∴，
∵矩形的面积为2，
∴，
即，
而，
∴．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了反比例函数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
12．
【分析】
连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出 ， ，故为等腰直角三角形，再根据锐角三角函数即可得出答案.
【详解】
连接AQ，BQ，

，
，且，
为等腰直角三角形
,


【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键.
13．3．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴△ACD的面积=△ACB的面积．
又∵△ACD的面积为3，∴△ACB的面积为3．
∵△ACB的面积矩形AEFC的面积的一半， ∴阴影部分两个三角形的面积和=△ACB的面积=3．
故答案为：3
14．8
【分析】
利用配方法得到y=x2−ax+a=y=(x−a)2﹣a2+a，则顶点P的坐标为(a，)，根据三角形面积公式得到S△PAB=×2×()=，然后根据二次函数的性质可确定△PAB面积最大时a的值．
【详解】
解：∵y=x2−ax+a=y=(x−a)2﹣a2+a，
∴顶点P的坐标为(a，)，
∵点P在x轴上方，
∴＞0，
∴S△PAB=×2×()==，
∴a=8时，△PAB面积最大，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是将面积最大值问题转化为求二次函数最大值问题．
15．，20
【分析】
利用完全平方公式，平方差公式展开化简，然后代入值计算即可．
【详解】
解：

，
当时，
原式
．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，平方差公式，合并同类项，熟练运用完全平方公式，平方差公式对代数式进行化简是解题的关键．
16．
【分析】
画树状图，观察图形得出概率．
【详解】

由图形可知，共有9种可能，其中平局有3种可能
所以(平局)．
【点睛】
本题考查求解概率，常见的方法有3种；树状图法、列表法和穷举法．
17．答案见解析
【分析】
由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证.
【详解】
解∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质.
18．40米
【分析】
设原计划每天铺设x米,则现计划每天铺设(1+20%)x米，再根据题意列出可出分式方程进行求解.
【详解】
设原计划每天铺设x米,则现计划每天铺设(1+20%)x米，
依题意得
解得x=40
经检验，x=40是远方程的解，
故原计划每天铺设40米
【点睛】
此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是根据题意的等量关系列出方程.
19．（1）；（2）见解析；（3）作图见解析，10，6
【分析】
（1）结合题意，等腰直角三角形和三角函数的性质计算，即可得到答案．
（2）根据（1）的结论，得；根据正方形的定义，过点作且，连接、，即可得到答案．
（3）结合题目要求，根据矩形的定义和性质作图，即可完成求解．
【详解】
（1）如图①中，是等腰直角三角形，

∴，
∴，
故答案为：；
（2）根据（1）的结论，得；
过点作且，连接、，如图①中，正方形即为所求；
；
（3）如图②中，矩形即为所求作，矩形的面积，

如图③中，矩形即为所求作，矩形的面积；
．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、三角函数、矩形、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、三角函数、矩形、正方形的性质，从而完成求解．
20．300米
【分析】
根据，可设（米），（米），继而表示出、的长度，再由，可得关于x的方程，解出即可得出答案．
【详解】
在中，，
故设（米），（米），
在中，，（米），
∴，
解得：，
则（米）．
答：该岛礁的高为300米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，关键是理解题意，把实际问题通过建立数学模型，转化为数学问题．
21．（1）40°；（2）2
【分析】
（1）连接，利用切线的性质和圆心角与圆周角之间的关系，直角三角形两个锐角互余解答即可；
（2）根据等腰三角形的两个底角相等，直角三角形两个锐角互余，确定∠C=30°，利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：（1）如图，连接，

∵是的切线，是的半径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
=；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为2．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆心角与圆周角的关系定理，熟练掌握切线的性质，连接半径，构造同弧上的圆心角与圆周角，活用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
22．（1）2，1；（2）30，8，6；（3）22≤x≤35.
【分析】
（1）根据题目中的数据，可以将表格补充完整；
（2）根据题目中的数据可以分别求得a、b、c的值；
（3）根据样本估计整体，集合表格中的数据可以求得区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．
【详解】
解：（1）由收集数据中的数据可得，
22≤x≤28时，中华白海豚在区域A出现的数目为：2，
29≤x≤35时，中华白海豚在区域A出现的数目为：1，
故答案为2，1；
（2）由收集数据中的数据可得，
a=30-0=30，b=8，c=6，
故答案为30，8，6；
（3）200×=30（天），
答：区域A大约有30天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．
【点睛】
考查极差、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的中位数、众数、极差．
23．(1)5；(2)a=3，b=200；(3)30或160．
【分析】
（1）根据乙同学在60秒时跑了300米可求出乙同学起跑的速度；
（2）甲同学100秒跑了300米，可求出甲的起跑速度，然后求出提速后的速度，用提速后的路程除以速度可得提速后跑的时间，然后可得b值；
（3）分情况讨论，①在前60秒内，根据甲乙的速度列方程求解即可；②在t=140之后和甲乙相遇之前，分别求出对应时间段的直线解析式，然后根据题意列方程即可.
【详解】
解：（1）300÷60=5米/秒.
（2）由题意得：米/秒，米/秒，
秒.
（3）由题意得：①在t=60秒时，甲的路程=3×60=180米，乙的路程=60×5=300米，所以在前60秒内有乙同学领先甲同学60米的情况，即：5t-3t=60，解得：t=30秒；②t=140秒时，甲的路程=300+5×（140-100）=500米，此时乙跑了620米，所以在t=140之后和甲乙相遇之前，有乙同学领先甲同学60米的情况，当时，设乙同学时间和路程的关系式为y1=k1x+b，将（140,620）和（230，800）代入可求得y1=2x+340，设甲同学时间和路程的关系式为y2=k2x+b，将（100,300）和（200，800）代入可求得y2=5x-200，由2t+340-(5t-200)=60，解得：t=160秒；所以当t=30或160时乙同学领先甲同学60米.
【点睛】
本题考查了学生的读图能力及一次函数的图像和性质，能够读懂函数图像是解题关键.
24．（1）相等；（2）；（3）①图见解析；②5．
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）先根据直线的函数解析式可得点的坐标，从而可得的长，再根据线段垂直平分线性质可得，然后在中，利用勾股定理即可求得；
（3）①根据旋转的性质将线段绕点A顺时针旋转得到线段，画出线段即可；
②先利用待定系数法求得垂直平分线的表达式为，从而可得设点的坐标为 ，然后利用两点之间的距离公式可得，据此利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
解：（1）∵点是中点，，是上任意一点，
∴，
故答案为：相等；
（2）由题意得：当时，；当时，；
∴，
∴，
设的长为，
∵点是中点，交于点，
∴，
在中，，
∴，即，
解得，即．
故的长为；
（3）①如图，线段即为所求．
；
②如图，点，，

过的中点作的垂直平分线，点是该平分线上一点，
∴的中点的坐标为，
又，
的垂直平分线与直线平行，
则设的垂直平分线的解析式为，
∴，解得，
∴垂直平分线的表达式为，
设点，
∴，
∵，故有最小值，当时，有最小值，
当或3时，不是整数；
当时，，是整数，当时，，是整数，
此时的最小值为，
，
又，
，
是等腰直角三角形，且，与题意矛盾，舍去；
当或1时，不是整数；
当或0时，不是整数；
当时，是整数，时，是整数，
此时的最小值为，
，
又，
，
不是等腰直角三角形，即，符合题意，
则点或；
综上，长度的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数、线段垂直平分线的性质、图形的旋转等知识点，较难的是（3）②，正确求出垂直平分线的表达式是解题关键．
25．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得，根据的正弦函数值即可求解；
（2）当点F落在边上时，可得为等边三角形，用含x的式子表示线段、，由即可求解；
（3）求出当点E和点C重合时，点P到终点B时x的值，分三种情况画出图形，列式化简即可得y与x之间的函数关系式．
【详解】
解：（1）∵等边中，．
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）当点F落在边上时，如图1，

∵为等边三角形，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴；
（3）当点E和点C重合时，如图2，

∵由（2）知，为等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
点P到终点B时，如图3，

∵为等边三角形，．
∴，
∴，
∴函数关系式确定如下：
①当时：（如图4）

；
②当时：（如图5）

∵△PBG是等边三角形，
∴∠PGB=∠HGF=60°，PB=PG=6-2x，
∴GF=PF-PG=3x-(6-2x)=5x-6，
∵tan60°=，
∴HF= tan60°×FG= FG，
∴
；
③当时：（如图6）

∵四边形DPGC是梯形，且PB=PG=6-2x，CD=AC-AD=6-x,
∴．
综上所述，．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，三角形的全等，特殊角的三角函数值，图形面积的分割，分类思想，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用特殊角的三角函数值，合理进行图形面积的分割计算是解得关键．
26．（1），顶点D的坐标为；（2）存在，点P的坐标为或；（3）或
【分析】
（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，通过解二元一次方程即可得这个抛物线的解析式，将解析式化为顶点式即可得顶点D的坐标；
（2）分是直角、为直角两种情况，通过求解一元二次方程，即可得到答案；
（3）观察图象，根据点A的坐标和顶点D的坐标，设点P的坐标是，通过求解方程，即可完成求解．
【详解】
（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：

∴
∴此抛物线的解析式．
∵，
∴顶点D的坐标为；
（2）存在；
①当时：（如图1）

∵，
∴．
∴，
∴，即
∴，（舍）
∴；
②当时：（如图2）

∵，
∴，
∴，即．
∴，（舍）
∴．
∴符合条件的点P的坐标为或；
（3）由图象可得时，的面积为S随着m的增大而减小；
∵顶点D的坐标为，点A的坐标是，
∴由图象可得时，过点P作轴交于点N，

设直线的解析式，
∵点A的坐标是，点C的坐标是，
∴线的解析式，
设点P的坐标是，则点，
∴的面积为，
当时，的面积有最大值，
∴时，S随着m的增大而减小．
∴面积S随着m的增大而减小时m的取值范围为或．
【点睛】
本题考查了二次函数、二元一次方程组、直角三角形、等腰三角形、一元二次方程、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程的性质，从而完成求解．