2021年中考数学三轮冲刺《三角形》解答题冲刺练习(含答案)

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2021年中考数学三轮冲刺《三角形》解答题冲刺练习1.【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A=　 　度，∠P=　 　度（2）∠A与∠P的数量关系为　    　，并说明理由.【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为　      　.        2.如图,AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA.（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B=50°,∠CAD:∠E=1:3，求∠E的度数.  3.（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由．            4.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF=2AE；(2)若CD=1，求AD的长. 5.如图，AC平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.  （1）若∠ABE=60°，求∠CDA的度数. （2）若AE=2，BE=1，CD=4.求四边形AECD的面积.       6.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． 
 （1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是________．    （2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． 
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．      7.如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连接PQ交AC于点D.（1）求证：PD=DQ；（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长.       8.如图,在等腰直角△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D是斜边BC的中点,点E、F分别为AB、AC边上的点,且DE⊥DF．（1）判断DF与DE的大小关系,并说明理由；（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．     9.阅读下列解题过程：已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状．   解：因为a2c2-b2c2=a4-b4， ①       所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2) ②       所以c2=a2+b2．③       所以△ABC是直角三角形.④回答下列问题：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?该步的序号为            .（2）错误的原因为               .（3）请你将正确的解答过程写下来. 10.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC.(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；(2)线段BF，AB，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论.     11.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点.求证：(1)DE∥BC； (2)DE=(BC－AB).      12.如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点.(1)求证：DF=EF.(2)试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由. 
0.参考答案1.解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，∴∠A=50°，∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠P=180°﹣65°=115°，故答案为：50，115；（2）.证明：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴，，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，∴，∴，∴；（3）.理由：∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴△BCQ中，∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A. 2.解：（1）相等.理由如下：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD＝∠CAD   又∠EAD＝∠EDA ∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B（2）设∠CAD＝x°，则∠E＝3 x°，由（1）有：∠EAC＝∠B＝50°∴∠EAD＝∠EDA＝（x＋50）°在△EAD中，∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°∴3 x＋2（x＋50）＝180  解得：x＝16 ∴∠E＝48° 3.解：（1）∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=30°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C=80°，∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=30°﹣10°=20°；（2）∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°﹣∠C，∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=∠C﹣∠B． 4. (1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF=AC，∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=1，在Rt△CDF中，CF==，∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=，∴AD=AF+DF=1+. 5.解：（1）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC AF⊥CD，  ∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE=AF，AB=AD.∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠ADF=∠ABE=60°，∴∠CDA=180°﹣∠ADF=120°；（2）由（1）知：Rt△ABE≌Rt△ADF，  ∴FD=BE=1，AF=AE=2，CE=CF=CD+FD=5，∴BC=CE+BE=6，∴四边形AECD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=10. 6.解：（1）50°
（2）猜想的结论为：∠NMA=2∠B﹣90°． 
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=180°﹣2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA=90°﹣∠A=90°﹣（180°﹣2∠B）=2∠B﹣90°．
如图：
 ①∵MN垂直平分AB．∴MB=MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm．
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．7.（1）解：∵EF垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC=40°，∵AD⊥BC，BD=DE，∴AB=AE，∴∠B=∠BEA=2∠C=80°，∴∠BAD=90°﹣80°=10°；（2）由（1）知：AE=EC=AB，∵BD=DE，∴AB+BD=DE+AE=DE+CE=DC，∴DE=1.8.解：（1）DF=DE，理由如下：如图，连接AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD=CD=BD，∵DE⊥DF，∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，即∠CDF=∠ADE，在△DCF和△DAE中，，∴△DCF≌△DAE（ASA），∴DF=DE；（2）由（1）知：AE=CF=5，同理AF=BE=12．∵∠EAF=90°，∴EF2=AE2+AF2=52+122=169．∴EF=13，又∵由（1）知：△AED≌△CFD，∴DE=DF，∴△DEF为等腰直角三角形，DE2+DF2=EF2=169，∴DE=DF=，∴S△DEF=×（）2=．9.（1）③  （2）忽略了a2-b2=0的可能（3）解：因为a2c2-b2c2=a4-b4，所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2), 所以a=b或c2=a2+b2．     所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 10.解：(1) 延长CE交AB于点G，∵AE⊥CE，∴∠AEG=∠AEC=90°，在△AEG和△AEC中，∠GAE=∠CAE，AE=AE，∠AEG=∠AEC，∴△AEG≌△AEC(ASA)，∴GE=EC，又∵BD=CD，∴DE为△CGB的中位线，∴DE∥AB，又∵EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形(2)∵BF=(AB－AC).理由：∵四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE，∵D，E分别是BC，GC的中点，∴BF=DE=BG，∵△AGE≌△ACE，∴AG=AC，∴BF=(AB－AG)=(AB－AC)11.证明：(1)延长AD交BC于F.∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴AB=BF，AD=DF.又∵E为AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴DE∥BC.(2)∵AB=BF，∴FC=BC－AB.∵DE是△ACF的中位线，∴DE=FC=(BC－AB).12.