高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算同步测试题

能 力 提 升

一、选择题

1．化简以下各式：

①＋＋；  ②－＋－；

③－＋；  ④＋＋－.

结果为零向量的个数是(　　)

A．1   B．2 

C．3   D．4

[答案]　D

[解析]　①＋＋＝＋＝－＝0；

②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；

③－＋＝(＋)－＝－＝0；

④＋＋－＝＋＋＝－＝0.

2．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　　)

A．[3,8]   B．(3,8)

C．[3,13]   D．(3,13，)

[答案]　C

[解析]　由于＝－，则有||－||≤||≤||＋||，即3≤||≤13.

3．(2011·湖南高考)若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)

A.＝＋   B.＝－

C.＝－＋   D.＝－－

[答案]　B

[解析]　由向量的减法的定义求解．

4．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是(　　)

A．P在△ABC的内部

B．P在△ABC的边AB上

C．P在AB边所在直线上

D．P在△ABC的外部

[答案]　D

[解析]　由＋＝可得

＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形．

可知点P在△ABC的外部．选D.

5．(四川高考改编)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)

A．8   B．4 

C．2   D．1

[答案]　C

[解析]　以、为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－，

因为|＋|＝|－|，

所以||＝||.

又四边形ACDB为平行四边形，

所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.

则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，

因此，||＝|＝2.

6．已知＝a，＝b，||＝5，||＝12，∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.(　　)

A．7   B．17 

C．13   D．8

[答案]　C

[解析]　如图，∵a－b＝－＝，

∴|a－b|＝||＝＝13.

故选C.

二、填空题

7．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________．

①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.

[答案]　①

[解析]　－＋＝＋＝；

＋＝＋＝≠；

－＝≠；

＋＝≠.

8．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝________.

[答案]　5或9

[解析]　当a与b方向相同时，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5；

当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.

9．在△OAB中，已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，则|a－b|＝________.

[答案]　4

[解析]　∵|a|＝|b|，∴OA＝OB.又∠AOB＝60°，

∴△ABO是等边三角形，∴BA＝4，

∴|a－b|＝|－|＝||＝4.

三、解答题

10．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a、b表示向量和，并回答：当a、b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？

[解析]　由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b.

则有：当a、b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；

当a、b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；

当a、b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．

11．已知|a|＝6，|b|＝14，|c|＝3，求|a＋b＋c|的最大值和最小值．

[解析]　根据三角形法则，可知||b|－|a||≤|a＋b|

≤|a|＋|b|，

∴|a＋b＋c|≤|a＋b|＋|c|≤|a|＋|b|＋|c|＝23.

且当a、b、c同向时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|，此时|a＋b＋c|有最大值23.

又|a＋b＋c|≥||a＋c|－|b||，

当a、c同向且与b异向时，|a＋b＋c|最小，此时|a＋b＋c|有最小值5.

∴|a＋b＋c|的最大值为23，最小值为5.

12．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.设＝a，＝b，＝c，求|a－b－c|.

[解析]　如图，b＋c＝，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－＝＋＝，

则|a－b－c|＝||＝＝8.