初中数学第9章 中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形课堂检测

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苏科版八年级下册 第9章 《中心对称图形——平行四边形》重难点题型训练（二） 1．已知：如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OB＝OD，∠BAO＝∠DCO．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）把线段AC绕O点顺时针旋转，使AC⊥BD，这时四边形ABCD是什么四边形？简要说明理由；（3）在（2）中，当AC⊥BD后，又分别延长OA、OC到点A1，C1，使OA1＝OC1＝OD，这时四边形A1BC1D是什么四边形？简要说明理由．    2．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F．（1）图中与线段BE相等的所有线段是　   　；（2）选择图中与BE相等的任意一条线段，并加以证明．      3．已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？     4．已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O．（1）求证：BE⊥CF；（2）试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？（直接写出答案）      5．如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．（1）求证：△ADE≌△CDE；（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH＝GH；（3）设AD＝1，DF＝x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．      6．如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF＝AE．（1）若把△ADE绕点D旋转一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由．（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．求证：AH⊥ED，并求AG的长．      7．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．     8．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE．（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形？（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．（特别提醒：表示角最好用数字）     9．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）当DG＝2时，求△FCG的面积；（2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．    10．将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，另一直角边的长为．（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：　   　．（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：　   　．（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为　   　时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是　   　；当点B的移动距离为　   　时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是　   　．（图3、图4用于探究）     11．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于F．（1）求证：∠DEF＝∠CBE；（2）请找出图中与EB相等的线段（不另添加辅助线和字母），并说明理由．    12．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2＝PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图（2）的探究结论为　   　；对图（3）的探究结论为　   　；证明：如图（2）  13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．（1）求证：AE＝BF；（2）若BC＝cm，求正方形DEFG的边长．   14．如图，在△ABC中，∠A，∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．（1）点D是△ABC的　   　心；（2）求证：四边形DECF为菱形．   15．如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．   参考答案1．（1）证明：∵AC与BD相交于点O，∴∠AOB＝∠COD，（1分）在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD，（2分）∴OA＝OC，（3分）∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形（4分） （2）解：四边形ABCD是菱形．（5分）因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形．（6分）（或对角线互相垂直的平行四边形是菱形） （3）解：四边形A1BC1D是正方形（7分）因为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（8分）（或对角线相等的菱形是正方形）2．解：（1）EF和FC；∵AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，BE⊥AB，∴BE＝EF；又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ECF＝45°，∴∠CEF＝45°，∴EF＝FC． （2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，又∵EF⊥AC，∴∠AFE＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS），∴BE＝EF．3．（1）证明：∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AB＝AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠BAD＝∠EPA，∴∠CAD＝∠EPA，∴EA＝EP，∴四边形AEPM为菱形． （2）解：P为EF中点时，S菱形AEPM＝S四边形EFBM∵四边形AEPM为菱形，∴AD⊥EM，∵AD⊥BC，∴EM∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形．作EN⊥AB于N，则S菱形AEPM＝EP•EN＝EF•EN＝S四边形EFBM．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠ABC+∠BCD＝180°（1分）又∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线∴∠EBC+∠FCB＝90°∴∠BOC＝90°故BE⊥CF（3分） （2）解：AF＝DE理由如下：∵AD∥BC∴∠AEB＝∠CBE又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE∴∠AEB＝∠ABE∴AB＝AE同理CD＝DF（5分）又∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD∴AE＝DF∴AF＝DE（6分） （3）解：当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形．（8分）5．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠1＝∠2＝45°，DE＝DE，∴△ADE≌△CDE． （2）证明：∵△ADE≌△CDE，∴∠3＝∠4，∵CH⊥CE，∴∠4+∠5＝90°，又∵∠6+∠5＝90°，∴∠4＝∠6＝∠3，∵AD∥BG，∴∠G＝∠3，∴∠G＝∠6，∴CH＝GH，又∵∠4+∠5＝∠G+∠7＝90°，∴∠5＝∠7，∴CH＝FH，∴FH＝GH． （3）解：存在符合条件的x值此时，∵∠ECG＞90°，要使△ECG为等腰三角形，必须CE＝CG，∴∠G＝∠8，又∵∠G＝∠4，∴∠8＝∠4，∴∠9＝2∠4＝2∠3，∴∠9+∠3＝2∠3+∠3＝90°，∴∠3＝30°，∴x＝DF＝1×tan30°＝．6．解：（1）∵ABCD是正方形，∴AD＝DC＝2，AE＝CF＝1，∠BAD＝∠DCF＝90°，在△ADE与△CDF中，∵，∴△ADE≌△CDF，∴把△ADE绕点D逆时旋转90°时能与△CDF重合． （2）由（1）可知∠1＝∠2，∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠EDF＝90°，∵AH∥DF，∴∠EGH＝∠EDF＝90°，∴AH⊥ED，∵AE＝1，AD＝2，∵ED＝，∴AE•AD＝ED•AG，即×1×2＝××AG，∴AG＝．7．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD（矩形的对角线互相平分），AE∥CF（矩形的对边平行）．∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF．∴△BOE≌△DOF（AAS）． （2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC（矩形的对角线互相平分）．又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．8．解：（1）四边形BECF是菱形．证明：∵BC的垂直平分线为EF，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠1＝∠3，∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠A＝90°，∴∠2＝∠A，∴EC＝AE，又∵CF＝AE，BE＝EC∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形． （2）当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵四边形BECF是菱形，∴∠EBF＝2∠3，∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠3＝45°，∴∠EBF＝2∠3＝90°，∴菱形BECF是正方形．9．解：（1）∵正方形ABCD中，AH＝2，∴DH＝4，∵DG＝2，∴HG＝2，即菱形EFGH的边长为2．在△AHE和△DGH中，∵∠A＝∠D＝90°，AH＝DG＝2，EH＝HG＝2，∴△AHE≌△DGH（HL），∴∠AHE＝∠DGH，∵∠DGH+∠DHG＝90°，∴∠DHG+∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，即菱形EFGH是正方形，同理可以证明△DGH≌△CFG，∴∠FCG＝90°，即点F在BC边上，同时可得CF＝2，从而S△FCG＝×4×2＝4．（2分） （2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF．在△AHE和△MFG中，∴△AHE≌△MFG（AAS），∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．因此S△FCG＝×2×（6﹣x）＝6﹣x．（6分） （3）若S△FCG＝1，由（2）知S△FCG＝6﹣x，得x＝5，∴在△DGH中，HG＝，∴在△AHE中，AE＝，即点E已经不在边AB上．∴不可能有S△FCG＝1．（9分）另法：∵点G在边DC上，∴菱形的边长至少为DH＝4，当菱形的边长为4时：∵点E在AB边上且满足AE＝2，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，HE的长（即菱形的边长）将逐渐变大，∴最大值为HE＝2．此时，DG＝2，故0≤x≤2．∵函数S△FCG＝6﹣x的值随着x的增大而减小，∴当x＝2时，S△FCG取得最小值为6﹣2．又∵6﹣2＝1，∴△FCG的面积不可能等于1．（9分）10．解：（1）四边形ABCD是平行四边形，根据两组对边分别相等； （2）四边形ABC1D1是平行四边形，根据一组对边平行且相等； （3）当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为矩形，根据有一直角的平行四边形是矩形；当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为菱形，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形．11．（1）证明：∵EF⊥BE，∴∠DEF+∠CEB＝90°．∵∠CBE+∠CEB＝90°，∴∠DEF＝∠CBE． （2）EB＝EF．理由如下：∵AE平分∠DAB，∴∠DEA＝∠EAB＝∠DAE，DA＝DE，DA＝BC，∴DE＝BC．∵EF⊥BE，∴∠DEF+∠CEB＝∠EBC+∠CEB＝90°，∴∠DEF＝∠EBC，∵∠C＝∠D＝90°，∴△FDE≌△CEB（ASA）．∴EB＝EF．12．解：结论均是PA2+PC2＝PB2+PD2．（1）如图2，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，根据（1）中的结论可得，在矩形ABNM中有PA2+PN2＝PB2+PM2，在矩形NCDM中有PC2+PM2＝PD2+PN2，两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2＝PB2+PM2+PD2+PN2，∴PA2+PC2＝PB2+PD2．（2）如图3，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N，∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形，同样根据（1）中的结论可得，在矩形BCNM中有PC2+PM2＝PB2+PN2，在矩形ADNM中有PA2+PN2＝PD2+PM2，两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2＝PD2+PM2+PB2+PN2，∴PA2+PC2＝PB2+PD2．13．（1）证明：∵等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A＝∠B．∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝GF，∠DEA＝∠GFB＝90°．∴△ADE≌△BGF．∴AE＝BF． （2）解：∵∠DEA＝90°，∠A＝45°，∴∠ADE＝45°．∴AE＝DE，同理BF＝GF，又∵AB＝BC，∴EF＝AE＝BF＝AB＝＝＝（cm）．∴正方形DEFG的边长为cm．14．解：（1）点D是△ABC的内心．（2分）（2）证法一：连接CD，（3分）∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF为平行四边形，（4分）又∵点D是△ABC的内心，∴CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，（5分）又∠FDC＝∠ECD，∴∠FCD＝∠FDC∴FC＝FD，（6分）∴▱DECF为菱形．（7分） 证法二：过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．（3分）∵AD，BD分别平分∠CAB，∠ABC，∴DI＝DG，DG＝DH．∴DH＝DI．（4分）∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF为平行四边形，（5分）∴S▱DECF＝CE•DH＝CF•DI，∴CE＝CF．（6分）∴▱DECF为菱形．（7分）15．（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴ED＝CD．∴∠A＝∠DCE＝∠BCA＝∠DEC＝60°．（1分）∴AB∥CD，DE∥CF．（2分）又∵EF∥AB，∴EF∥CD，（3分）∴四边形EFCD是菱形．（4分） （2）解：连接DF，与CE相交于点G，（5分）由CD＝4，可知CG＝2，（6分）∴，（7分）∴．（8分）