高中人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念精品学案

这是一份高中人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念精品学案，共17页。学案主要包含了四象限角时，y＝0.等内容，欢迎下载使用。

三角函数
同角三角函数的基本关系

重点
1. 理解同角三角函数的基本关系式。
2. 能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明。
难点
知一求二的需要考虑象限问题；化简求值问题；证明问题；
考试要求
题型：选择填空题
难度：中等





核心知识点一：同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1。
②商数关系：tan α＝（α≠kπ＋，k∈Z）。

核心知识点二：同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.

②tan α＝的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝。


典例一：知一求二
已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角.
（1）当α是第二象限角时，则
sin α＝＝，
tan α＝＝＝－。
（2）当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝。
总结提升：
同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负。
利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解。

典例二：利用同角三角函数关系化简
已知α是第三象限角，化简：－。
解　原式＝－
＝－＝－.
∵α是第三象限角，∴cos α＜0.
∴原式＝－＝－2tan α（注意象限、符号）.
总结提升：
解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：
（1）化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
（2）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.

典例三：利用同角三角函数关系求值
（1）若tan α＝2，则＋cos2α＝（　　）
A. 　　　　　　　 　B. －
C. D. －
（2）已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为（　　）
A. B. ±
C. － D. －
答案：（1）A　（2）D
解析：（1）＋cos2α
＝＋
＝＋，
将tan α＝2代入上式，则原式＝。
（2）因为sin αcos α＝，所以（cos α－sin α）2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，因为<α<，所以cos α 所以cos α－sin α＝－。
总结提升：
（1）关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值。
（2）注意（2）式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式。
（3）在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值。

典例四：利用同角三角函数关系证明
求证：＝.
证明　∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立。

总结提升：
证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
（1）证明一边等于另一边，一般是由繁到简。
（2）证明左、右两边等于同一个式子（左、右归一）。
（3）比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边≠0）。
（4）综合法：证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。


1. 利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值。
2. 利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
（1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）能求值的尽可能求值。
3. 在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值。
4. 在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法。
5. 在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：（1）“1”的代换；（2）减少三角函数的个数（化切为弦、化弦为切等）；（3）多项式运算技巧的应用（如因式分解、整体思想等）；（4）对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解。


（答题时间：30分钟）
1. 已知cos α＝－，α∈（，π），sin β＝－，β为第三象限角，则sin α·tan β等于（　　）
A.－ B.
C. D. －
2. 已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α等于（　　）
A. － B. －
C. － D. －
3. 已知A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝，则这个三角形是（　　）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4. 函数y＝＋的值域是（　　）
A. {0,2} B. {－2,0}
C. {－2,0,2} D. {－2,2}
5. 已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为（　　）
A. －4 B. 4 C. －8 D. 8
6. 已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcosθ－2cos2θ等于（　　）
A. － B.
C. － D.
7. 已知＝，则等于（　　）
A. B. －
C. 2 D. －2
8. 已知＝1，则α在第__________象限。
9. 已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝__________。
10. 若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝__________。
11. 已知sin αcos α＝，且π<α<，则cos α－sin α＝__________。


1.答案：B
解析：∵cos α＝－，α∈（，π），sin β＝－，β是第三象限角，
∴sin α＝＝，cos β＝－＝－，
即tan β＝，则sin α·tan β＝。故选B。
2. 答案：C
解析：∵α是第二象限角，∴cos α<0.
又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，
∴cos α＝－。
3. 答案：B
解析：∵sin A＋cos A＝，
∴1＋2sin AcosA＝，
∴sin AcosA＝－＜0，
又∵A∈（0，π），sin A＞0，
∴cos A＜0，即A为钝角.故选B.
4. 答案：C
解析：y＝＋。
当x为第一象限角时，y＝2；
当x为第三象限角时，y＝－2；
当x为第二、四象限角时，y＝0.
5. 答案：C
解析：tan α＋＝＋＝。
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8.
6.答案：D
解析：sin2θ＋sin θcosθ－2cos2θ
＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝。
7. 答案：B
解析：利用1－sin2x＝cos2x，可得＝－＝－。
8. 答案：二或四
解析：＝tan α＋2＝1，
tan α＝－1＜0，
∴α在第二或第四象限.
9. 答案：3或－
解析：因为sin α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，
联立解得或
故tan α＝＝－或3。
10. 答案：－
11. 答案：－
解析：因为π<α<，
所以cos α<0，sin α<0.
利用三角函数线知，cos α cos α－sin α＝－
＝－＝－。

诱导公式

重点
1. 了解三角函数的诱导公式的意义和作用。
2. 理解诱导公式的推导过程。
3. 能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。
4. 掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题。
5. 对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力。
6. 继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力。
难点
诱导公式的综合运用
考试要求
题型：选择、填空题
难度：中等





核心知识点一：诱导公式一到六

sin（α＋k·2π）＝sin α，
cos（α＋k·2π）＝cos α，
tan（α＋k·2π）＝tan α，
其中k∈Z.

sin（π＋α）＝－sin α，
cos（π＋α）＝－cos α，
tan（π＋α）＝tan α.

sin（－α）＝－sin α，
cos（－α）＝cos α，
tan（－α）＝－tan α.

sin（π－α）＝sin α，
cos（π－α）＝－cos α，
tan（π－α）＝－tan α.

sin=cos α，
cos=sin α.

sin=cos α，
cos=－sin α.

核心知识点二：诱导公式的记忆规律
公式一～四归纳：α＋2kπ（k∈Z），－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.
公式五～六归纳：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α（k∈Z）”的诱导公式.
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇、偶”是指k·±α（k∈Z）中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.


典例一：运用诱导公式化简求值
化简：＝___________。
答案：－1
解析：原式＝
＝＝
＝－＝－·＝－1。

【能力提升】
已知cos＝，则sin＝________。
答案：－
解析：sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－。

总结提升：
1. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
（1）“负化正”：用公式一或三来转化。
（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角。
（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角。
（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值。

2. 三角函数式的化简方法
（1）利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
（2）常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数。
（3）注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan。
诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos（5π－α）＝cos（π－α）＝－cos α.

典例二：条件求值
已知sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），|θ|<，则θ等于（　　）
A. － B. － C. D.
答案：D
解析：由sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），|θ|<，
可得－sin θ＝－cos θ，|θ|<，
即tanθ＝，|θ|<，∴θ＝.

总结提升：
对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.

典例三：诱导公式在三角形中的应用
在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状.
解：∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
∵sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴sin（－C）＝sin（－B），
即cos C＝cos B.
又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
∴△ABC为等腰三角形.

总结提升：
解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，＝，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin（A＋B）＝sin C，cos（A＋B）＝－cos C，sin＝cos，cos＝sin。


1. 诱导公式的分类及其记忆方式
（1）诱导公式分为两大类：
①α＋k·2π，－α，α＋（2k＋1）π（k∈Z）的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.
②α＋，－α＋的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.
（2）以上两类公式可以归纳为：k·＋α（k∈Z）的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2. 利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成（0，）内的三角函数值”这种方式求解.
用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：



（答题时间：30分钟）
1. cos600°的值为（　　）
A. B.
C. － D. －
2. 若cos（π＋α）＝－，π<α<2π，则sin（α－2π）等于（　　）
A. B. ±
C. D. －
3. 记cos（－80°）＝k，那么tan100°等于（　　）
A. B. －
C. D. －
4. 已知锐角α终边上一点P的坐标是（2sin2，－2cos2），则α等于（　　）
A. 2 B. －2
C. 2－ D. －2
5. 已知f（sinx）＝cos3x，则f（cos10°）的值为（　　）
A. － B. C. － D.
6. 若sin（π＋α）＋cos＝－m，则cos＋2sin（2π－α）的值为（　　）
A. － B. C. － D.

二、填空题
7. 若cosα＝，且α是第四象限角，则cos＝___________。
8. sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝___________。
9. 已知tan（3π＋α）＝2，则
＝___________。
10. 在△ABC中，sin＝3sin（π－A），且cosA＝－cos（π－B），则C＝___________。



1. 答案：D
解析：cos 600°＝cos（360°＋240°）＝cos 240°
＝cos（180°＋60°）＝－cos 60°＝－.
2. 答案：D
解析：由cos（π＋α）＝－，得cos α＝，
故sin（α－2π）＝sin α＝－
＝－
＝－（α为第四象限角）.
3. 答案：B
解析：∵cos（－80°）＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝，则tan 80°＝。
∴tan 100°＝－tan 80°＝－。
4. 答案：C
解析：cos α＝＝sin 2，
∵α为锐角，∴α＝2－。
5. 答案：A
解析：f（cos 10°）＝f（sin 80°）＝cos 240°
＝cos（180°＋60°）＝－cos 60°＝－.
6. 答案：C
解析：∵sin（π＋α）＋cos＝－sin α－sin α
＝－m，∴sin α＝。
故cos＋2sin（2π－α）＝－sin α－2sin α
＝－3sin α＝－.
7. 答案：
解析：∵cos α＝，且α是第四象限角，
∴sin α＝－＝－＝－。
∴cos＝－sin α＝。
8. 答案：
解析：原式＝（sin21°＋sin289°）＋（sin22°＋sin288°）＋…＋（sin244°＋sin246°）＋sin245°
＝44＋＝。
9. 答案：2
解析：因为tan（3π＋α）＝tan（π＋α）＝tan α＝2，
所以原式＝＝＝＝2。
10. 答案：
解析：由题意得cos A＝3sin A，　　　　　　　①
cos A＝cos B， ②
由①得tan A＝，∴A＝。
由②得cos B＝＝，∴B＝。
∴C＝。