第十七章 勾股定理 单元测试八年级数学下册同步课堂（人教版）（解析版）

这是一份第十七章 勾股定理 单元测试八年级数学下册同步课堂（人教版）（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第十七章 勾股定理 单元测试
一、单选题
1．一个直角三角形两边长分别是和，则第三边的长是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【解析】
记第三边为c，然后分c为直角三角形的斜边和直角边两种情况，利用勾股定理求解即可．解：记第三边为c，若c为直角三角形的斜边，则；
若c为直角三角形的直角边，则．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，属于基本题目，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．△ABC的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（　　）
A．∠A: ∠B: ∠C =3∶4∶5 B．∠A=∠B+∠C
C．a2=(b+c)(b-c) D．a:b:c =1∶2∶
【答案】A
【解析】
根据直角三角形的概念，角的特点和勾股定理的逆定理逐一判断即可．解：根据直角三角形的两锐角互余，可知180°×=75°＜90°，不是直角三角形，故正确；
根据三角形的内角和定理，根据∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=∠B+∠C，可得∠A=90°，是直角三角形，故不正确；
根据平方差公式，化简原式为a2=b2-c2，即a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理，可知是直角三角形，故不正确；
根据a、b、c的关系，可直接设a=x，b=2x，c=x，可知a2+c2=b2，可以构成直角三角形，故不正确.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的判定，关键是根据三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理和勾股定理逆定理进行判断即可.
3．如图，在直线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为5和11，则n的面积（　　）

A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【解析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．解：由于m、q、n都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，且AC=CD，∠ABC=∠DEC=90°
∴△ACB≌△DCE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sn=Sm+Sq=11+5=16，
∴正方形n的面积为16，
故选C．
【点睛】
本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明三角形全等．
4．若△ABC的三边长分别为a、b、c且满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
首先根据三边关系，进行转换得出a2+b2=c2，即可判定△ABC直角三角形.（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，
∵a+b≠0，
∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，
∴△ABC直角三角形，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查利用三边关系以及勾股定理逆定理，判定三角形的形状，熟练掌握，即可解题.
5．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，若，则（ ）

A．75 B．100 C．120 D．125
【答案】B
【解析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2．∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．
故选：B
【点睛】
本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用．
6．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（ ）

A．5m B．12m C．13m D．18m
【答案】C
【解析】
直接利用勾股定理即可得．由题意得：
则
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．
7．将根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是( )

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【解析】
观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm，则在杯外的最大长度是24-8=16cm；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC==17，则在杯外的最小长度是24-17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm，
故选C.

【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围．主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度．
8．有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；
③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；
④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.
其中判断正确的有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
根据勾股定理及其逆定理依次判断即可解答.①c不一定是斜边，①错误；
②根据勾股定理可得②正确；
③根据勾股定理的逆定理可得③正确；
④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确．
共2个正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
9．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为、、；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为、、．其中， ，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如下图1示，分别用AB、BC和AC表示、、,然后根据勾股定理得出、、的关系，可计算出；同理如下图2所示，可得出、、的关系，进而计算出，计算即可得出答案.如图1，
,
,
,
根据勾股定理，有，
∴,
如图2，设圆心角为θ°，
,
,
,
同理可得,
∴
故答案为C.

【点睛】
本题主要考查勾股定理与代数求解之间的关系，熟知等边三角形和扇形的面积公式是解答本题的关键.
10．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）

A．16 B．17
C．18 D．19
【答案】B
【解析】
如图

设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面积为=8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．故选B．
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（　　）

A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
试题解析：如图延CD交AE与点H，作，垂足为F．

∵在中，

∵D为AB的中点，
∴AD=BD=DC．
∵
解得
由翻折的性质可知AC=CE，AD=DE，




∵
∴ 为直角三角形．

故选A．
12．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
详解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．
则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=9+．
故选A．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
二、填空题
13．己知三角形三边长分别为，，，则此三角形的最大边上的高等于_____________.
【答案】
【解析】
分析：根据勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积求解即可.
详解：∵三角形三边长分别为，，
∴
∴三角形是直角三角形
∴
∴高为
故答案为.
点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形是解题关键.
14．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．

【答案】0.5
【解析】
结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，
∴AC===2（米）.
∵BD=0.5米，
∴CD=2米，
∴CE===1.5（米），
∴AE=AC-EC=0.5（米）．
故答案为0.5.
点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
15．如图，在中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，于点N，则MN=____________

【答案】
【解析】
连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据直角三角形的面积公式即可求得MN的长．解：连接AM，

∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM，BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△AMC中，AC＝5，CM＝3，
∴根据勾股定理得：AM＝4，
又S△AMC＝MN•AC＝AM•CM，
∴MN＝．
故答案为：.
【点睛】
本题综合运用了等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
16．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．

【答案】17
【解析】
试题解析：根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，
S正方形C+S正方形D=S正方形2，
S正方形A+S正方形B=S正方形1，
∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.
17．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是___________．

【答案】50
【解析】
易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题．∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠BAG=∠AEF，
∵在△AEF和△BAG中，
，
∴△AEF≌△BAG，（AAS）
同理△BCG≌△CDH，
∴AF=BG=3，AG=EF=6，GC=DH=4，BG=CH=3，
∵梯形DEFH的面积=(EF+DH)•FH=80，
S△AEF=S△ABG=AF•AE=9，
S△BCG=S△CDH=CH•DH=6，
∴图中实线所围成的图形的面积S=80-2×9-2×6=50，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解题的关键．
18．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．

【答案】； 13或
【解析】
试题分析：把立体图展开可得
①
根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；
②根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，，然后根据勾股定理可求得最短距离为；
③同②的方式，得到两直角边分别为11和6，然后根据勾股定理求得最短距离为=．

考点：立体图形的侧面展开图，两点之间，线段最短，勾股定理
19．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.

【答案】25
【解析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可．如图所示．
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．
故答案为25．

【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
20．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是________．

【答案】AB，EF，GH
【解析】
【解析】
本题应先计算出各线长度，再根据勾股定理逆定理进行判断．AB2=22+22=8，
CD2=42+22=20，
EF2=12+22=5，
GH2=32+22=13，
所以AB2+EF2=GH2．
故其中能构成一个直角三角形三边的线段是AB，EF，GH．
故答案为：AB，EF，GH．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知每条边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC =3，BC =4，AB=5，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是____．

【答案】2.4
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM＋MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM＋MN的最小值．
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN的最小值．
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴AB•CE＝ BC•AC，
即5CE＝3×4
∴CE＝2.4．
即CM＋MN的最小值为2.4．
故答案为2.4
【点睛】
本题考查的知识点是轴对称－最短路线问题，解题关键是画出符合条件的图形.
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是________________.

【答案】1.5
【解析】
连接DF，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性质得出∠CAF =∠DAF，由SAS证明△ADF≌△ACF，得出CF=DF，∠ADF=∠ACF=∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．连接DF，如图所示：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理求得AB=5，
∵AD=AC=3，AF⊥CD，
∴∠CAF =∠DAF，BD=AB-AD=2，
在△ADF和△ACF中，
∴△ADF≌△ACF（SAS），
∴∠ADF=∠ACF=90°，CF=DF，
∴∠BDF=90°，
设CF=DF=x，则BF=4-x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，
即x2+22=（4-x）2，
解得：x=1.5；
∴CF=1.5；
故答案为1.5．
【点睛】
本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，证明△ADF≌△ACF得到CF=DF，在Rt△BDF中利用勾股定理列方程是解决问题的关键．
23．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（7，0），C（0，4），点D的坐标为（5，0），点P在BC边上运动. 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______________.

【答案】(2，4)或（3，4）
【解析】
【解析】
当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，考虑到BDc2，理由如下：
设CD=x，在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，
在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2，
则b2-x2=c2-(a-x)2，所以a2+b2=c2+2ax，
因为a>0，x>0，所以2ax>0，所以a2+b2>c2，
所以当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2.
所以小明的猜想是正确的.

(1)请你猜想,当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系；
(2)证明你猜想的结论是否正确.
【答案】(1)a2+b2