2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第八章第八讲　曲线与方程


第八讲　曲线与方程



ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一　曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．
知识点二　求动点的轨迹方程的基本步骤

重要结论
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．求轨迹问题常用的数学思想
(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．
(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．
(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．
双基自测
题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论错误的是(　ABCD　)
A．方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线
B．到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2
C．y＝kx与x＝y表示同一直线
D．动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的
题组二　走进教材
2．(必修2P37T3)已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　D　)
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
[解析]　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
题组三　考题再现
3．(2019·广东汕头模拟)一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则此动圆必过定点(　B　)
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0,0)
[解析]　圆心C在抛物线上，设与直线x＋2＝0相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA＝CM＝R，直线x＋2＝0为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0)，故选B．

4．(2019·长春模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　B　)

A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析]　由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B．
5．(2019·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3.则顶点A的轨迹方程为__(x－10)2＋y2＝36(y≠0)__.　
[解析]　设A(x，y)，由题意可知D(，)．又∵|CD|＝3，∴(－5)2＋()2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　曲线与方程——自主练透
例1 (多选题)关于x，y的方程＋＝1，(其中m2≠)对应的曲线可能是(　ABCD　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．圆
[解析]　由题，若m2＋2>3m2－2，解得－m2＋2，解得m，此时曲线是焦点在y轴上的椭圆，B正确；若3m2－2