2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第3章3第3讲　导数与函数的极值、最值

第3讲　导数与函数的极值、最值

1．函数的极值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
[提醒]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点；
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值；
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3．极值与最值的区别与联系
(1)区别
函数的极值
函数的最值
函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的
函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的
函数的极值可能不止一个，也可能一个没有
函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个
函数的极大值不一定大于函数的极小值
函数的最大值一定大于函数的最小值
(2)联系
①当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；
②极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．(　　)
(2)导数为零的点不一定是极值点．(　　)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
(教材习题改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)

A．1个　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A.导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个．
所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．
函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为(　　)
A．e B．1
C．－1 D．－e
解析：选C.函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，
又y′＝－1＝，
令y′＝0得x＝1，
当x∈(0，1)时，y′>0，函数单调递增；
当x∈(1，e)时，y′0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
答案：2
(教材习题改编)函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．
解析：y′＝1－2sin x，令y′＝0，
又因为x∈，解得x＝，
则当x∈时，y′＞0；当x∈时，y′＜0，故函数y＝x＋2cos x在x＝时取得最大值＋.
答案：＋


　　　　　　函数的极值问题(高频考点)
函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有．高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：
(1)由图判断函数极值的情况；
(2)已知函数解析式求极值；
(3)已知函数极值求参数值或范围．
[典例引领]
角度一　由图判断函数极值的情况
(2017·高考浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)


【解析】　原函数先减再增，再减再增，且x＝0位于增区间内，故选D.
【答案】　D
角度二　已知函数解析式求极值
(2018·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函数g(x)的极值．
【解】　(1)当a＝0时，f(x)＝ln x＋x，则f(1)＝1，所以切点为(1，1)，又f′(x)＝＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)g(x)＝f(x)－(ax－1)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋1，
则g′(x)＝－ax＋(1－a)＝，
当a≤0时，因为x＞0，所以g′(x)＞0.
所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数，函数g(x)无极值点．
当a＞0时，g′(x)＝
＝－，
令g′(x)＝0得x＝.
所以当x∈(0，)时，g′(x)＞0；当x∈(，＋∞)时，g′(x)＜0.
因为g(x)在(0，)上是增函数，在(，＋∞)上是减函数．
所以x＝时，g(x)有极大值g()＝ln－×＋(1－a)·＋1＝－ln a.
综上，当a≤0时，函数g(x)无极值；
当a＞0时，函数g(x)有极大值－ln a，无极小值．
角度三　已知函数极值求参数值或范围
(2016·高考山东卷)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值．求实数a的取值范围．
【解】　(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．
则g′(x)＝－2a＝.
当a≤0时，
x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；
当a>0时，
x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，
x∈时，函数g(x)单调递减．
所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当a≤0时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0，1)时，f′(x)0，f(x)单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当0时，00，解得x1，令f′(x)