2020届二轮复习等差、等比数列前n项和学案（全国通用）

等差、等比数列的前n项和【考纲要求】1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；3．掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式。【知识网络】【考点梳理】数列的求和问题 388559 知识要点】知识点一：数列的前项和的相关公式1.等差数列的前项和公式：（为常数）当时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式.2.等比数列的前项和公式：当时，，，当时，3.任意数列的第项与前项和之间的关系式：【典型例题】类型一：等差数列的前n项和公式及其性质例1.等差数列的前30项之和为50，前50项之和为30，求。【思路分析】根据等差数列前n项公式，整体代入，或者应用公式。【解析】法一: ∵为等差数列， ∴,    ∴     (2)-(1)有， 即     ∴ 。法二: ∵为等差数列， ∴,    ∴       即     ∴ (2)-(1)有：    即,  ∴,    ∴。法三:∵为等差数列， ∴，,    ∵,,…, 也为等差数列，    ∴ ,    ∴ ,    ∴ .【总结升华】法一、二均可用方程思想求出A、B、、d来，然后求未知，运算量则相对很大，此时要注意整体思想的运用。举一反三：【变式】设等差数列的前项和为，若，，则（    ）A．63  B．45  C．36  D．27      【解析】法一：依据已知有：即解得，所以。法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列、、成等差数列，所以，有，故选B例2.（2017  桂林模拟）等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【思路分析】需要把所求的等差数列的项的比值的问题转化为前n项和的比值的问题。【解析】∵等差数列{an}、{bn}，∴，，∴又∴经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选C．【总结升华】由于等差数列中，所以已知等差数列、的前n项和分别为和，则(1) ，(2) 。举一反三：【变式1】等差数列中，若, 则_________.【解析】由，得.【变式2】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则=    .【解析】.类型二：等差数列求和公式的应用等差数列382420 典型例题三】例3．设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列．【思路分析】判断一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。证明：由得，所以整理得，又得相减并整理得: 所以数列是个等差数列举一反三：【变式1】设{an}是等差数列,证明以bn=(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),当n≥2时，=-= = = = (常数)∴{bn}是等差数列.证法二:等差数列{an}的前n项和, ∴bn= ∴{bn}是等差数列.【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:    (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;    (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;    (3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;    (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.【变式2】已知数列{an}，an∈N*，Sn =，求证：{an}是等差数列；【答案】an+1 = Sn+1–Sn,∴8an+1 =,∴,∴，∵an∈N*，∴，∴，即，∴数列{an}是等差数列.例4．等差数列的前n项和为  ,若,,.（1）求公差d的取值范围；（2）n为何值时，Sn最大，并说明理由。【解析】（1）由又由得代入不等式组∴，  解出（2）方法一：由（1）知：且   ∴数列是递减数列，由得∴   即，∴中最后一个正数项是，开始为负数项∴当n=6时，最大.方法二：由（1）知：且   ∴数列是递减数列，若要最大，需确定数列中最后一个非负数项是第几项.由   ∴即,  ∴由 ， ∴, 即, ∴, ∴∴中最后一个正数项是，开始为负数项   ∴当n=6时，最大.方法三：∵ d<0,  ∴当最小时有最大值，当时，∴当n=6时最小，即最大，方法四：是等差数列，故设，如图所示∵,，∴抛物线与x轴的另一个交点在n=12与n=13之间。∴对称轴l的位置在6与6.5之间，易知n=6对应的A点与对称轴的距离比n=7对应的点B与对称轴的距离要近，故A为最高点，最大。举一反三：【变式】在等差数列中，，，求当为何值时，最小。【解析】法一：∵，∴∵，∴，∵，∴∴均为负数，，而以及以后各项都为正数，∴当或时，有最小值为。法二：设数列的公差为，则由，得，即，∵，∴，∴，∴当或时，有最小值为。类型三、等比数列的前n项和公式及其性质数列的概念388518 典型例题二】例5.设为等比数列的前n项和，已知,则公比q＝(　　)A．3     B．4         C．5     D．6答案：B解析：，两式相减：所以举一反三【变式】等比数列中，若,求.解析：∵是等比数列，∴∴ 类型四：等比数列求和公式的应用例6．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？【思路分析】判断一个数列是什么类型的数列，应该从等差、等比数列的概念出发。解析：∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1 (n∈N+), ∴a1=S1=51-1=4,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1, ∴n∈N+时，an=4×5n-1由上述通项公式，可知{an}为首项为4，公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。解析：p=2或p=3；∵{Cn+1-pCn}是等比数列，∴对任意n∈N且n≥2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1]整理得：,解得：p=2或p=3,显然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3为所求.【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.证明：设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q，且p≠q为证{Cn}不是等比数列，只需证.∵,∴,又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0,∴即∴数列{Cn}不是等比数列.例7(2018 浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，当n≥2时，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原递推式作差得，，整理得：，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因此，两式作差得：，（n∈N*）．【举一反三】【变式】（2018 河北高考）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3（I）求{an}的通项公式：（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵an=2n+1，∴bn===（﹣），∴数列{bn}的前n项和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．