山东省青岛市四区2025届高三(上)期末考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省青岛市四区2025届高三(上)期末考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由双曲线可得，，且焦点在轴上，则渐近线方程为.
故选：A.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴
故选：B.
3. 已知函数图象在处的切线方程为，则（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，由题意得，，解得.
故选：A.
4. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A. 不可能为0B. 没有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
【答案】D
【解析】因为，所以等差数列的公差，所以数列是递增数列，又，故所有负数项的和最小，所以有最小值，故B错误，D正确；
当，时，随的增大而增大，故无最大值，故C错误；
当，时，，所以可能为0，故A错误.
故选：D.
5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】易知，
又因为，
因此只需将图象上所有的点向右平移个单位即可.
故选：D.
6. 如图，正方形的边长为1，为等边三角形，将分别沿向上折起，使得点D，E重合并记为点P．若三棱锥可以在一个圆柱内任意转动，则此圆柱表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设的中点为，因为与是直角三角形，
则，
所以是三棱锥的外接球的球心，由正方形的边长为1，
所以可求得外接球的半径为，
要使三棱锥可以在一个圆柱内任意转动，
则三棱锥的外接球能放入圆柱，则三棱锥可以在一个圆柱内任意转动，
要使圆柱表面积最小，则三棱锥的外接球恰好内接于圆柱，
此时圆柱的表面积为.
故选：C.
7. 如图，P为内一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，作于点，设，因，
可得，因则，
在中，由余弦定理，，
即，解得，
在中，，解得，
故.
故选：A.
8. 已知O为坐标原点，抛物线焦点为F，点P在C上，且的外接圆圆心恰在C上，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图所示：
设外接圆的圆心为：，由题意得，
又因为外接圆圆心恰在C上，
将代入，得，
则，
在中，，
要使的外接圆圆心恰在C上，则为钝角，
作轴，与抛物线交于E，得， 所以，
所以，
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知某地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布，体重（单位：）服从正态分布．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则
附：若，则．
，其中．
A. 根据正态分布估计
B. 根据正态分布估计
C. 若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相关联
D. 若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相互独立
【答案】ABC
【解析】因为该地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布，
由正态分布可得，
若从该地区随机选取成年男士100人，则身高大于177的人数约为16人，
所以，故A正确；
因为体重（单位：）服从正态分布．
因为体重大于，
所以可得从该地区随机选取成年男士100人，体重大于73的数约为16人，
所以体重小于等于73的数约为84人，故，故B正确；
若，则，
零假设：该地区成年男士身高超过与体重超过无关，
计算可得，
由小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以该地区成年男士身高超过与体重超过相关联，故C正确；D错误.
故选：ABC.
10. 如图，圆锥的轴截面都是边长为2的等边三角形，平面平面，点为母线的中点，则（ ）
A. 直线平面
B. 异面直线和所成角大于
C. 沿该圆锥侧面，由点D到点F的最小值为
D. 过直线的平面截该圆锥所得截面面积的最小值为
【答案】BC
【解析】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接，

对于A，因为圆锥的轴截面都是边长为2的等边三角形，
所以，则，，
故，，，，，
因为为母线的中点，所以由中点坐标公式得，
则，，，
设面的法向量为，则，
得到，也有，得到，
令，解得，得到，
而，则直线平面不成立，故A错误，
对于B，由已知得，，
设异面直线和所成角为，
则，
而，则，而，
由余弦函数性质得该范围内单调递减，故，
则异面直线和所成角大于，故B正确，
对于C，由已知得圆锥底面圆直径为，母线长度为，
则底面圆的周长为，如图，我们把圆锥沿母线展开为扇形，
此时点对应两个位置，和，且是的中点，
则在该扇形内，半径为，弧长为，设圆心角为，
则，解得，则该扇形是半圆，，
而是的中点，则，
由勾股定理得，故C正确，
对于D，如图，作，连接，
此时截面由构成，围成的截面面积最小，
由等面积公式得，解得，
则，而，，
得到截面面积一定大于的面积，
即过直线的平面截该圆锥所得截面面积的最小值不为，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. 的图象关于直线对称
C. 在区间单调递增D.
【答案】BD
【解析】由，解得，
故的定义域为.
选项A，由，
可得，所以的图象不关于点对称，故A错误；
选项B，由
；
且
；
可得，所以的图象关于直线对称，故B正确；
选项C，，
则，，且当时，
又，，
由此可知在区间不单调，故C错误；
选项D，，
由B项推理可知，图象关于对称，且，
故只需分析当时，的范围.
①当时，则，所以，
又，
由，，则，
故当时，恒有；
②当时，，
可知在单调递减；
又由C项推理可知，故，
所以在单调递增，从而，
故当，也恒有；
综上所述，当，.
则由对称性可知，在定义域内恒成立，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知正项等比数列的前n项和为，，则______．
【答案】4
【解析】设正项等比数列的公比为，由，得，
即，于是，解得，
所以.
故答案为：4.
13. 在中，，，则__________.
【答案】120°
【解析】因为，，
所以，所以，
由A是三角形内角，所以，
故答案为：120°.
14. 从编号1，2，…，的相同小球中有放回的等概率抽取，并记录下每次的编号．（1）若出现1就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为______；（2）若1，2，3均出现就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为______．
【答案】
【解析】（1）设抽取小球数为，的可取值为：，则抽到编号1的概率为，没抽到编号1的概率为,
则，，，，
∴，①
，②
①②得：，
∴，
∴；
（2）设表示停止时抽取次数，设表示第一次出现中任意一个数的次数，
因为每次抽到中任意一个数的概率为，根据（1）的结论可知，
设表示已经出现中任意一个数后，再次出现两个数中任意一个数的次数，
此时每次抽到剩下两个数中任意一个数的概率为，根据（1）的结论可知，
设表示已经出现中任意两个数后，再出现最后一个数的次数，
此时每次抽到最后一个数的概率为，根据（1）的结论可知，
由期望的可加性知：
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）若方程在区间上有两个实数解，求的取值范围．
解：（1）的定义域是，，
可得，
所以的单增区间是，单减区间是
当时，取得极小值，无极大值.
（2）由（1）可知，单调递减，在单调递增，
又，当，，
所以方程在区间上有两个实数解，
等价于的图像与在又两个交点，
结合图像

所以的取值范围是.
16. 如图，平行六面体的所有棱长为2，平面平面，和都是等边三角形．
（1）证明：；
（2）若点E在对角线上，平面，求与平面所成角的正弦值．
（1）证明：取中点，连接，如图：
∵和都是等边三角形，
∴，且，平面，平面
∴平面，
又∵平面，
∴.
（2）解：又∵平面平面，且平面平面，
∴平面，平面
∴,，
∴以为坐标原点，以分别为如图建立空间直角坐标系，
在等边三角形和中，，
∴，，，，
∴，，
∴，，
设，∴，
∴，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，即，
∵平面，∴，∴，
∴，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，即，
设与平面所成角，
则.
17. 现将近几日某地区门锁销售的数量进行统计，得到如下表格：
（1）若y与x线性相关，求出y关于x的经验回归方程，并预测第10天该地区门锁的销售数量；（参考公式和数据:）
（2）某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打．记X为他有放回的进行开锁时的开锁次数，Y为他无放回的进行开锁时的开锁次数．求的概率．
解：（1）依题意可得.
又，
所以，
可知，
所以经验回归方程为，
将代入该方程可得预测第10天该地区门锁的销售数量为；
（2）有放回时，随机变量对应的概率为；
无放回时，随机变量对应的概率为；
若，则有以下情况：
当时，，此时概率为；
当时，或，此时概率为;
因此可得的概率为.
18. 已知椭圆经过点，离心率为．
（1）求M的方程；
（2）直线l与M在x轴上方的部分交点是A，B，记的斜率分别为，．
（i）证明：l过定点Q；
（ⅱ）若直线分别交直线于C，D两点，根据（i）的结论．证明：为定值．
（1）解：由题意得，解得，∴，
∴.
（2）（i）证明：由已知可知直线斜率一定存在，设，
联立方程组得：，则，
，
设，
则，
则，
，
解得
所以直线的方程为：，
则直线过定点.
（ⅱ）证明：设，
显然，
因为三点共线，所以，
此时，
因为三点共线，所以，
此时，
所以，即
故为定值0.
19. 关于的方程，其中，等号两边各有个一次因式．若在等号两边去掉这个一次因式中的.个，使得等号每一边均至少留下一个一次因式，且所得方程没有实数解，则称得到的方程为方程．
（1）若，写出所有的方程；
（2）若，求满足等号两边各去掉2个因式的方程；
（3）若，求的最小值．
解：（1）时，关于的方程为，
由于，所以可以采取方程的左边去掉两个因式，右边去掉一个因式，
共三种情况：右边去掉、、，去掉后的方程为一元二次方程，
经检验只有当右边去掉时，所得方程为，
满足符合条件.
（2）时，关于的方程为，
无论左右两边同时去掉哪两个因式，所得方程必为一元一次方程或者不含未知数的等式，要使左右两边同时去掉两个因式后所得方程无解，则去掉后所得的必须是不含未知数且不成立的等式，经检验方程为
或.
（3）当时，关于的方程共4048个因子，其中有个不同的因子，结合（1）、（2）的规律，要求最小的，使所得方程没有实数解，则在同一个因子不能同时出现在等式的两边，即至少要删去其中一个，所以一共至少要删去2024个因子，因此的最小值为2024.身高
体重
合计
大于
小于等于
大于
a
b
小于等于
d
总计
x
0
0
减函数
极小值
增函数
第x天
1
2
3
4
5
6
7
数量y
200
260
280
350
420
440
500