第28讲 与圆有关的位置关系(讲义，5考点+1命题点15种题型(含5种解题技巧))-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc188547390" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc188547391" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc188547392" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc188547393" 考点一 点与圆的位置关系
\l "_Tc188547394" 考点二 直线与圆的位置关系
\l "_Tc188547395" 考点三 圆与圆的位置关系
\l "_Tc188547397" 考点四 与切线有关的知识
\l "_Tc188547398" 考点五 三角形的外接圆与内切圆
\l "_Tc188547399" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc188547400" 命题点 与圆有关的位置关系
\l "_Tc188547401" ►题型01 点与圆的位置关系
\l "_Tc188547402" ►题型02 直线与圆的最值问题
\l "_Tc188547403" ►题型03 直线与圆的位置关系
\l "_Tc188547404" ►题型04 圆与圆的位置关系
\l "_Tc188547405" ►题型05 利用切线的性质求解
\l "_Tc188547406" ►题型06 证明某直线是圆的切线（有明确的交点）
\l "_Tc188547407" ►题型07 证明某直线是圆的切线（无明确的交点）
\l "_Tc188547408" ►题型08 切线的性质与判定综合
\l "_Tc188547409" ►题型09 作圆的切线
\l "_Tc188547410" ►题型10 应用切线长定理求解或证明
\l "_Tc188547411" ►题型11 由三角形外接圆求值
\l "_Tc188547412" ►题型12 由三角形内切圆求值
\l "_Tc188547413" ►题型13 三角形内心有关的应用
\l "_Tc188547414" ►题型14 三角形外接圆与内切圆综合
\l "_Tc188547415" ►题型15 圆位置关系与函数综合
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
\l "_Tc188517220" 03考点突破·考法探究
考点一 点与圆的位置关系
点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示：
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．
1．（2024·云南怒江·一模）平面内，⊙O的半径为10 cm，若点P在⊙O内，则OP的长可以是（ ）
A．8cmB．10 cmC．12 cmD．14 cm
【答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径是解题的关键．
根据点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径判断作答即可．
【详解】解：∵点P在⊙O内，
∴OPr=1，则点A在⊙O外，
故选：A．
3．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（ ）
A．a+b2B．a−b2C．aD．b
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．
点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解．
【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，
∴圆的直径是a−b，因而半径是a−b2，
故选：B．
4．（2024长春市三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点 B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，熟知⊙A的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有∶①点P在圆外②点P在圆上；③点P在圆内是解题的关键．先根据勾股定理求出AC的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论
【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，
∴AC=AB2−BC2=102−82=6，
∵当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，
∴6CM，
∴点B在圆M外，
∴甲图四点不共圆；
如乙图中，取AC中点N，连接DN，BN，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴DN=AN=CN=BN，
∴点D、A、C、B是以点N为圆心，AN为半径的圆上，
∴乙图四点共圆，
综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆，
故选：C．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 直线与圆的最值问题
已知点P为⊙O上动点，点Q为直线AB上动点，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O为点C
图示：
结论：当O，P，Q三点共线且为垂线段时，PQ取最小值，最小值为PQ的长.
1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，⊙M的圆心为M4，0，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为
【答案】27
【分析】记直线y=x+4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=PM2−QM2，由QM=2，则当PM最小时，PQ最小，点P与点K重合，此时PM最小值为KM，由勾股定理求得PM的最小值，从而求得结果．
【详解】解：记直线y=x+4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM，
当x=0，y=4，当y=0，即x+4=0，
解得：x=−4，
即K(0,4)，A(−4，0)；
而M4,0，
∴OA=OK=OM=4，
∴△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，
∴∠AKO=∠MKO=45°，
∴∠AKM=90°，
∵QP与⊙M相切，
∴∠PQM=90°，
∴PQ=PM2−QM2，
∵QM=2，
∴当PQ最小时即PM最小，
∴当PM⊥ AK时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时PM最小值为KM，
在Rt△OKM中，由勾股定理得：KM=OM2+OK2=42，
∴PQ=32−4=27，
∴PQ最小值为27．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．
2．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．

【答案】（1）43−4；（2）4047.91m
【分析】
（1）连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，则PM≥OM−4≥OM'−4，由直角三角形的性质得出OM'=AM'⋅tan30°=43，则可得出答案；
（2）分别在BC，AE上作BB'=AA'=r=30(m)，连接A'B'，B'O、OP、OE、B'E．证出四边形BB'ON是平行四边形．由平行四边形的性质得出BN=B'O．当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．作⊙O'，使圆心O'在B'E上，半径r=30(m)，作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H．证明△B'O'H∽△B'EA'，由相似三角形的性质得出O'HEA'=B'HB'A'，求出O'H的长可得出答案．
【详解】
解：（1）如图①，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，

则OP+PM≥OM．
∵⊙O半径为4，
∴PM≥OM−4≥OM'−4，
∵OA=OB．∠AOB=120°，
∴∠A=30°，
∴OM'=AM'⋅tan30°=12tan30°=43，
∴PM≥OM'−4=43−4，
∴线段PM的最小值为43−4；
（2）如图②，分别在BC，AE上作BB'=AA'=r=30(m)，

连接A'B'，B'O、OP、OE、B'E．
∵OM⊥AB，BB'⊥AB，ON=BB'，
∴四边形BB'ON是平行四边形．
∴BN=B'O．
∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E，
∴BN+PE≥B'E−r，
∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．
作⊙O'，使圆心O'在B'E上，半径r=30(m)，
作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H．
∴O'H∥A'E，
∴△B'O'H∽△B'EA'，
∴ O'HEA'=B'HB'A'，
∵⊙O'在矩形AFDE区域内（含边界），
∴当⊙O'与FD相切时，B'H最短，即B'H=10000−6000+30=4030(m)．
此时，O'H也最短．
∵M'N'=O'H，
∴M'N'也最短．
∴O'H=EA'⋅B'HB'A'=(10000−30)×403010000=4017.91(m)，
∴O'M'=O'H+30=4047.91(m)，
∴此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
►题型03 直线与圆的位置关系
判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法：
1）根据直线与圆的公共点的个数判断；
①若直线与圆有两个交点，则直线与圆相交；
②若直线与圆有一个交点，则直线与圆相切；
③若直线与圆有没有交点，则直线与圆相离.
2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.
设半径为r，直线到圆心的距离为d
①若d＜r，则直线与圆相交；②若d=r，则直线与圆相切；③若d＞r，则直线与圆相离.
1．（2022·山东青岛·模拟预测）已知等边三角形ABC的边长为4cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径作⊙A，则⊙A与BC的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．外离
【答案】A
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交．过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一求得BD的值，再利用勾股定理可求得AD的长，把AD与圆的半径比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解．
【详解】过点A作AD⊥BC于点D，
根据等腰三角形三线合一得：BD=12BC=2cm，
根据勾股定理得：AD=AB2−BD2=42−22=23cm，
∵232=12,3.52=12.25,
∴23