第21讲 相似三角形及其应用(练习，24题型模拟练+重难练+真题练)-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc187744682"
\l "_Tc187744683" ?题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
\l "_Tc187744684" ?题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
\l "_Tc187744685" ?题型03 补全判定相似三角形的证明过程
\l "_Tc187744686" ?题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程
\l "_Tc187744687" ?题型05 利用相似三角形的性质求解
\l "_Tc187744688" ?题型06 利用相似的性质求坐标
\l "_Tc187744689" ?题型07 相似三角形在网格中的应用
\l "_Tc187744690" ?题型08 相似三角形的性质与判定综合
\l "_Tc187744691" ?题型09 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题
\l "_Tc187744692" ?题型10 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象
\l "_Tc187744693" ?题型11 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
\l "_Tc187744694" ?题型12 利用相似三角形的性质与判定求最值
\l "_Tc187744695" ?题型13 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
\l "_Tc187744696" ?题型14 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
\l "_Tc187744697" ?题型15 利用相似三角形列函数关系式
\l "_Tc187744698" ?题型16 利用三点定形法证明比例式或等积式
\l "_Tc187744699" ?题型17 尺规作图与相似三角形综合应用
\l "_Tc187744700" ?题型18 三角板与相似三角形综合应用
\l "_Tc187744701" ?题型19 平移与相似三角形综合应用
\l "_Tc187744702" ?题型20 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc187744703" ?题型21 与相似三角形有关的新考法问题
\l "_Tc187744704" ?题型22 利用相似测量物体的高度
\l "_Tc187744705" ?题型23 利用相似测量物体（不易测量）的宽度
\l "_Tc187744706" ?题型24 其它问题
\l "_Tc187744707"
\l "_Tc187744708"
?题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD=∠CAE．请添加一个条件：______，使得△ADE∽△ABC，然后再加以证明．
【答案】∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB（答案不唯一），证明见详解
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．
利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可；
【详解】解：使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是：∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB，
理由：①添加的条件可以是：∠ADE=∠ABC时，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，
即∠DAE=∠CAB，
又∵∠ADE=∠ABC，
∴△ADE∽△ABC；
②添加的条件可以是：∠AED=∠ACB时，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，
即∠DAE=∠CAB，
又∵∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC；
故答案为：∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB（答案不唯一）．
2．（2024·云南昆明·三模）如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC∥BD，添加一个条件，使△BDE∽△ABC．你添加的条件是 ．
【答案】∠D=∠ABC（答案不唯一）
【分析】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．已知AC∥BD，得到∠BAC=∠ABD，则可以再添加∠D=∠ABC从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解：添加的条件是∠D=∠ABC，
∵ AC∥BD，
∴∠BAC=∠ABD，
∵∠D=∠ABC，
∴ △BDE∽△ABC，
故答案为：∠D=∠ABC（答案不唯一）．
3．（2024·福建福州·一模）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，DE∥BC，连接BE．从下列条件中，选择一个作为附加条件①∠E＝∠ABC；②DEBA=DBBC；③DEAB=BEAC，求证：△EDB∽△ABC．
【答案】②，见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似．
【详解】证明：选择①
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠ABC，
∵DEBA=DBBC，
∴△EDB∽△ABC．
4．（2023·湖南永州·二模）如图，四边形ABCD是正方形， E是CD的中点，P是BC边上的一点．

(1)给出一个条件，使得△ABP与△ECP相似并写出证明；
(2)在（1）的条件下，已知AB=2，求sin∠BAP的值．
【答案】(1)见解析
(2)21313
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，因此只需要条件一组对应角相等即可证明两三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质求出BP=43，进而利用勾股定理求出AP，再根据正弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：条件是∠APB=∠EPC（不唯一）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°
∵∠APB=∠EPC，
∴△ABP∽△ECP
（2）解：∵E是CD的中点，四边形ABCD是正方形，
∴CE=12CD=12AB=12BC=1，
∵△ABP∽△ECP
∴BPCP=ABCE，即BP2−BP=21，
∴BP=43
∴AP=AB2+BP2=2133
∴sin∠BAP=BPAP=21313．
【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，正方形的性质，添加条件证明三角形相似，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
?题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
5．（2024·广西柳州·三模）如图，△ABC为边长等于4的等边三角形，点F是BC边上的一个动点（不与点B、C重合），FD⊥AB，FE⊥AC，垂足分别是D、E．

(1)求证：△BDF∽△CEF；
(2)若CF=a，四边形ADFE面积为S，求出S与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)S=−34a2+3a+2300）．
【答案】（1）254；（2）103；（3）S△HCG=6t200)米处，用简易测角仪测量观察旗杆顶点C的仰角α0°