2024-2025学年天津市滨海新区高二上册第一次月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年天津市滨海新区高二上册第一次月考数学学情检测试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A B. C. D.
2. 下列命题不正确的是（ ）
①空间中任意三个不共面的向量都可以作为基底.
②直线的方向向量是唯一确定的.
③若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则aα.
④在空间直角坐标系中，在Oyz平面上点的坐标一定是（0，b，c）.
⑤若，则是钝角.
A. ①③④B. ②③⑤C. ③④⑤D. ①②④
3. 已知则值分别为
A. B. 5，2C. D.
4. 若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5. 若直线过第一、三、四象限，则实数满足（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（ ）

A. B. C. D.
7. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
8. 如图在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知向量以为基底时坐标为，则以为基底时的坐标为（ ）
A B. C. D.
10. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是
A. B. 或
C. D. 或
11. 已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D.
12. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M，N分别是线段，的中点，Q是线段上的一个动点（含端点D，C），则下列说法都正确的是（ ）
①存在点Q，使得
②存在点Q，使得异面直线与所成的角为60°
③三棱锥体积的最大值是
④当点Q自D向C处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①②③
二、填空题
13. 已知空间向量，，且，则____.
14. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______．
15. ，与直线平行，则直线与的距离为___________.
16. 已知，若点在线段AB上，则的取值范围是_______.
17. 已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为________；直线关于直线对称的直线方程为________．
18. 已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是___________.
19. 直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为______．
20. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，________．
三、解答题
21. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
（1）求所在直线的方程；
（2）求高所在直线的方程．
（3）求过点且与直线平行的直线方程．
22. 在棱长为2的正方体中，E为的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点A到平面的距离．
23. 已知直线经过点．
（1）若直线到原点的距离为1，求直线的方程；
（2）若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点
①若时，求此时直线的纵截距．
②若取最小值时，求此时直线的方程．
24. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，．
（1）若为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面夹角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年天津市滨海新区高二上学期第一次月考数学学情检测试卷
一、选择题
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据倾斜角和斜率的关系求解.
【详解】由已知得，
故直线斜率
由于倾斜的范围是，
则倾斜角为.
故选：B.
2. 下列命题不正确的是（ ）
①空间中任意三个不共面的向量都可以作为基底.
②直线的方向向量是唯一确定的.
③若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则aα.
④在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）.
⑤若，则是钝角.
A. ①③④B. ②③⑤C. ③④⑤D. ①②④
【正确答案】B
【分析】利用基底向量的定义、空间向量的坐标特征以及向量的夹角以及直线的方向向量的定义逐一判断五个选项的正误即可求解.
【详解】对于①：空间中任意一个向量都可以用三个不共面的向量作为基底来表示，选项正确；
对于②：由直线的方向向量定义知，直线的方向向量有无数多个，故选项错误；
对于③：直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则,选项错误；
对于④：Oyz平面上的点的坐标一定是0,选项正确；
对于⑤：若，则是钝角或者夹角为，选项错误；
故选：B
3. 已知则的值分别为
A. B. 5，2C. D.
【正确答案】A
【分析】
【详解】由题意得，，所以，即，解得，故选A．
4. 若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】利用两直线平行的结论即可进行判断.
【详解】由题意，若，则，解得或，
经检验，或时，，则“”是“”的必要不充分条件，
故选：C．
5. 若直线过第一、三、四象限，则实数满足（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
分析】根据题意画出图形，结合图形知．
【详解】直线过第一、三、四象限，如图所示，
则．
即且．
故选：C．
6. 如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据数量积的定义即可求解.
【详解】，.
故选：B
7. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【正确答案】B
【分析】由空间共面向量可得，代入解方程即可得出答案.
【详解】若空间向量共面，
则，所以，
所以，解得.
故选：B.
8. 如图在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】
由题意有，，又点是线段的中点，结合向量的线性运算及共线向量的运算即可得解.
【详解】解：∵在四面体中，分别在棱、上，且满足，
，点是线段的中点，
∴.
故选：A.
本题考查了向量的线性运算，重点考查了利用空间基底表示向量，属基础题.
9. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案.
【详解】因为向量以为基底时的坐标为，
所以，
设，
由空间向量基本定理得，解得，
所以以为基底时的坐标为.
故选：B
10. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是
A. B. 或
C. D. 或
【正确答案】D
【详解】当直线过原点时，直线方程为y=43x，即4x﹣3y=0；
当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a．
则3+4=a，得a=7．
∴直线方程为x+y﹣7=0．
∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．
故选：D
11. 已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D.
【正确答案】D
【分析】求出直线所过定点坐标,设定点是,求出斜率,由图形可得结论.
【详解】由已知直线恒过定点,
如图所示,若与线段相交,则,

因,
所以.
故选:D.
12. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M，N分别是线段，的中点，Q是线段上的一个动点（含端点D，C），则下列说法都正确的是（ ）
①存在点Q，使得
②存在点Q，使得异面直线与所成的角为60°
③三棱锥体积的最大值是
④当点Q自D向C处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①②③
【正确答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断第一个结论；利用异面直线的向量夹角公式计算判断第二个结论；连接，结合锥体体积公式，利用等体积法判断第三个结论；利用向量的坐标运算表示线面角的正弦值，然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断第四个结论.
【详解】以A为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

，，，，，，；
对于①，假设存在点，使得，
则，又，
所以，解得，
即点与重合时，，①正确；
对于②，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，
因为，，
所以，方程无解；
所以不存在点满足题意，②错误；

对于③，连接，设，
因为，
所以当，即点与点重合时，取得最大值；
又点到平面的距离，
所以，③正确；
对于④，由上分析知：，，
若m=x,y,z是面的法向量，则，
令x=1，则，
因为，设直线与平面所成的角为，，
所以，
当点Q自D向C处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大，
因为在为增函数，所以也逐渐增大，故④正确.
故选：C
二、填空题
13. 已知空间向量，，且，则____.
【正确答案】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列方程求.
【详解】因为，，，
所以，
所以.
故答案为.
14. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______．
【正确答案】
【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案.
【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量，
，
.
故
15. ，与直线平行，则直线与的距离为___________.
【正确答案】
【分析】根据两直线平行的条件列出方程即可求出m的值，求出直线的方程，再由两平行线间的距离公式求出直线与的距离．
【详解】因为//，所以，解得，
， ，
由两平行直线的距离公式可得：，
故
16. 已知，若点在线段AB上，则的取值范围是_______.
【正确答案】
【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】设，则，，
点是线段上的任意一点，
的取值范围是,，
故,
17. 已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为________；直线关于直线对称的直线方程为________．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】设对称点坐标，根据对称性建立方程计算可得第一空，取上一点得出对称点结合对称性及点斜式计算即可.
【详解】设点关于的对称点为，则的中点，且，
所以，解方程得，即；
取上一点，易知关于对称的点为，
设直线关于直线对称的直线斜率为，则，
所以该直线过点，其方程为，整理得.
故
18. 已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是___________.
【正确答案】 ①. 或； ②. .
【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依题意可得，即，
解得或；
直线的方程可化为，所以，
所以，所以直线过定点，
所以，由直线可得：，
若不经过第三象限，则，
故或；.
19. 直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为______．
【正确答案】
【分析】整理直线方程，建立方程组，求其定点的坐标，结合直线垂直的斜率公式，可得答案.
【详解】由，整理可得，
令，解得，则直线过定点，
易知当时，原点到直线的距离最大，显然此时斜率都存在，
直线的斜率，直线的斜率，
由，则，解得.
故答案为.
20. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，________．
【正确答案】
【分析】根据向量的运算求得其坐标，根据二次函数的性质，求得最值，利用向量模长公式可得答案.
详解】由题意可知：，可设，
，
，
当时，取得最小值为，此时，
则.
故答案为.
三、解答题
21. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
（1）求所在直线的方程；
（2）求高所在直线的方程．
（3）求过点且与直线平行的直线方程．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可；
（2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可.
（3）利用平行关系得出直线斜率，结合点斜式化简计算即可.
【小问1详解】
因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即；
【小问2详解】
因为是边上的高，结合上问结论可知：，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.
【小问3详解】
因为直线过点且与直线平行，则其斜率，
所以其方程为，
所以过点且与直线平行的直线方程为.
22. 在棱长为2的正方体中，E为的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点A到平面的距离．
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，后求出关键点坐标，后借助向量夹角公式求出，进而得出异面直线与所成角的余弦值.
（2）利用空间向量研究线面夹角计算即可；
（3）利用空间向量计算点到面的距离即可.
【小问1详解】
如图，正方体中, 为的中点，连接交于O，连接，
根据正方体的性质，知道垂直于上下底面，且，则两两垂直.
则可以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系.
由于棱长为2，则面对角线为.
因此涉及的关键点坐标为，
则.
则，
则异面直线与所成角的余弦值为；
【小问2详解】
由上易知，
设平面的一个法向量为，
则，令，
即，
设直线与平面所成角为，
则；
【小问3详解】
根据（2）知平面的一个法向量，
而，所以点A到平面的距离.
23. 已知直线经过点．
（1）若直线到原点距离为1，求直线的方程；
（2）若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点
①若时，求此时直线的纵截距．
②若取最小值时，求此时直线的方程．
【正确答案】（1）或
（2）或；
【分析】（1）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用条件建立方程即可求出结果；
（2）①根据截距式结合三角形面积建立方程计算即可；②设出直线点斜式方程，利用基本不等式及三角形面积公式计算即可求出结果.
【小问1详解】
因为直线经过点，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线到原点的距离为1，所以，解得，
此时直线为
所以直线的方程为或.
【小问2详解】
①由题意可设此时直线方程为，即此时，
则，且，解方程组得，
即此时该直线的纵截距为或；
②由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为，
令，得到，令，得到，
由题知，，得到，
，
当且仅当，即时取等号，
此时直线方程为.
24. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，．
（1）若为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面夹角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，.
【分析】（1）连接交于，连接，根据中位线的性质结合直线与平面平行的判定定理进行证明；
（2）使用空间向量求解线面角的正弦值；
（3）使用空间向量法利用已知条件，求解得出满足条件的点的坐标即可求解．
【小问1详解】
如图，连接交于，连接，
四边形为矩形，与交于点，
为的中点，
又因为为的中点，，
而平面，平面，
平面；
【小问2详解】
因为四边形为矩形，所以，
又平面底面，平面底面，平面，
所以底面，
因为底面，所以，
而，故可以以，，为轴建立空间直角坐标系，
根据题意，则有，
所以，
假设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角的平面角为，
则．
直线与平面所成角的正弦值为．
【小问3详解】
假设存在点，满足题意，
设此时，则，
即，解得，
则，，
假设平面的一个法向量为，
则，取，得，
又平面的一个法向量为，
平面与平面所成锐二面角的大小为，
根据题意，则有，
解得，
在线段上存在一点（除去端点），
使得平面与平面所成锐二面角的大小为，．