2025年陕西省初中学业水平考试数学样卷

这是一份2025年陕西省初中学业水平考试数学样卷，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．8C．D．
2．如图，把一个圆锥用平行于底面的平面切割掉一部分得到一个圆台，则该圆台的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，，，与相交于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．下列选项中的直线向右平移2个单位长度后，得到的直线上的点坐标满足方程的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在等腰直角中，，、分别是边、的中点，连接、，则图中的等腰直角三角形共有（ ）

A．3个B．4个C．5个D．6个
7．如图，在中，，，是对角线的中点，是边上一点，连接并延长交于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（ ）
A．B．3C．3．5D．4
8．已知二次函数的图象与轴交于点，其对称轴与轴交于点，当、之间的距离最小时，下列选项中关于该二次函数的结论正确的是（ ）
A．该二次函数的最小值为B．图象与轴的另一个交点是
C．图象的顶点位于第四象限D．图象不经过第三象限
二、填空题
9．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，请写出一个大于且小于的无理数 ．

10．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．观察图①，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系，即九宫图中每行、每列及对角线上的3个数之和都相等．那么在图②中， ．
11．如图，内接于，为的直径，交于点．若，则的度数为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，点分别在反比例函数与的图象上，则的值为 ．
13．如图，在菱形中，，，为菱形的对称中心，过点的直线交于点E，交于点为上的一点，连接．若，则四边形的面积为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．先化简，再求值，，其中．
16．解方程：．
17．如图，已知，请用尺规作图法，在下方求作一点，使得以为直角顶点的与相似．（作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，在中，是上一点，连接，是的平分线，且，是上一点，过点分别作、交于点．求证：．

19．暑假期间，某班计划一起去外省研学，该班同学经过讨论最终决定在成都、太原、武汉、重庆四个城市中选择，由于时间安排，只能去其中一个城市，到底去哪个城市同学们意见不统一．于是带队老师建议，用大家学过的抽卡片游戏来决定．规则为：准备4张除正面分别写有成都、太原、武汉、重庆，其余都相同的不透明卡片，背面朝上洗匀后，班长从中随机抽取一张，记下卡片正面写的城市后放回，记作随机抽卡片1次．
(1)班长随机抽卡片15次，其中抽到的卡片正面写的城市是“成都”有7次，则抽到“成都”的频率是_____；
(2)若时间调整可以去其中两个城市研学，班长随机抽卡片2次，请利用画树状图或列表法求2次抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的概率．
20．某校图书馆组织学生将图书进行重新分类整理，若安排一个学生整理需要小时，学校安排部分学生先整理了小时，为了加快进度，又增加了名学生一起整理小时后完成，假设每个学生的效率相同，则第一批安排了多少名学生整理？
21．太白山（峰）是秦岭山脉最高峰，也是青藏高原以东第一高峰．如图所示为太白山山腰一处水平观景台，暑假期间小明想利用自己所学知识测量太白山山顶处的气温，他在该水平观景台上的观测点处测得山顶的仰角，然后沿着方向走了到达点处，在观测点处测得山顶的仰角．已知海拔每升高，气温下降，若此时水平观景台的气温为，求此时太白山山顶处的气温．（结果保留整数，参考数据：）
22．“海波”是硫代硫酸钠的俗称，常温下是一种无色透明的晶体．实验室中，“海波”存储在的条件下．某兴趣小组的学生为了探究物质熔化时温度的变化特点，在实验室进行了“海波”的熔化实验，记录了实验过程中“海波”的温度与对应的加热时间，并绘制了如图所示的图象．
(1)根据图象求出当“海波”为液态时（段），温度与加热时间之间的函数关系式；
(2)已知“海波”在固液共存状态时（段），继续加热“海波”温度不变，则在整个熔化过程中，“海波”从开始加热到全部熔化为液态最少需要加热多长时间？
23．“珍惜粮食，杜绝浪费，践行光盘，从我做起”，某单位积极倡导，呼吁员工“光盘行动”．为了解员工餐余量的情况，从该单位的员工中随机调查了20名员工光盘行动前各自一周的餐余总量（单位：），按照餐余总量将数据分为、、、四组，并绘制成如下统计图表：
餐余总量频数分布直方图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)这20个数据的中位数落在_____组（填组别）；
(2)求这20名员工光盘行动前的一周总的餐余总量；
(3)若光盘行动后该单位每位员工一周的餐余总量比光盘行动前的一周的餐余总量少，请估计该单位400名员工光盘行动后的一周比光盘行动前的一周共节约了多少餐食？
24．如图，内接于是的直径，是的中点，过点作的切线分别交、的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
25．某滑雪选手训练越野滑雪高级赛道，从助滑区段的起滑点出发，在助滑道上获得高速度，至最低点，依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端点继续斜向上飞出，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆坡上点处，建立如图所示平面直角坐标系．若该选手某次训练在助滑区段所滑过轨迹呈现的抛物线与从点飞出的轨迹所呈现的抛物线关于原点中心对称．
经测量：跳台截面示意图为，且，点距离的水平距离为，与跳台区末端的竖直高度差为．
(1)求在助滑区段上所滑轨迹呈现的抛物线的函数表达式；
(2)已知着陆坡上有一距水平距离为的基准点，若该选手此次训练着陆点与跳台区末端的竖直高度差为，求点与基准点的水平距离．
26．问题提出
（1）如图①，在中，，则点A到的最大距离为_______；
图① 图② 图③
问题探究
（2）如图②，在矩形中，，E是上一动点，连接，求，的最小值；
问题解决
（3）如图③，矩形的四边是某市产业新区的外环路，分别是四条贯穿路．已知，I、J分别是线段上一点，连接．现计划在三角形区域处修建一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值：若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
组别
餐余总量
组内平均数/g
40
B
60
C
125
155
《2025年陕西省初中学业水平考试数学样卷》参考答案
1．B
【分析】本题考查的是相反数的含义，根据仅仅只有符号不同的两个数互为相反数可得答案．
【详解】解：的相反数是，
故选：B
2．D
【分析】本题考查了三视图，理解从不同方向看立体图形是解题的关键，另外要注意虚线和实线的使用区别．找到从上面看所得到的图形即可，注意看得见的部分为实线，看不见的部分为虚线．
【详解】解：从上面可以看到两个无圆心的圆（没有圆心），
∴该圆台的俯视图是
故选：D
3．C
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．根据得到，根据得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查的是不等式的解法，掌握不等式的解法是解题的关键．先去括号，移项，再化系数为1，从而可得答案．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，根据题意可得将一次函数向左平移两个单位为：，从而可得答案．
【详解】解：∵直线即一次函数，
∴一次函数经过一，三，四象限，
当时，，
解得：，
∴一次函数与轴的交点坐标为，
∴将一次函数向左平移两个单位为：
，
∴直线向右平移2个单位长度后，得到的直线上的点坐标满足方程的是：
直线，
故选：D
6．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线，由三线合一可得，是等腰直角三角，再由中位线可得，是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：∵等腰直角中，是边的中点，
∴，，，
∴，是等腰直角三角．
∵、分别是边、的中点，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形．
综上可知，图中的等腰直角三角形有：，，，，，共5个．
故选：C．
7．B
【分析】先证明，，可得，，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】解：在中，，，是对角线的中点，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故选：B
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质与相似三角形的判定方法是解本题的关键．
8．A
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，求出点，，得到，当时，、之间的距离最小，此时，进一步即可判断各选项，得到答案．
【详解】解：当时，，
对称轴为直线，
∴点，，
∴，
当时，、之间的距离最小，此时，
即最小值为，故选项A正确，
当时，，解得，
∴图象与轴的另一个交点是，故选项B错误，
∵开口向上，与y轴交于点，顶点为，位于第三象限，故选项C不正确，
∴图象经过第三象限，故选项D错误．
故选：A
9．（答案不唯一）
【分析】本题考查的是无理数的估算，根据数轴可得实数满足，再进一步解答即可．
【详解】解：由数轴得，实数满足，
∵，
∴大于且小于的一个无理数可以为，
故答案为：（答案不唯一）
10．
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列式求解．首先求出，然后根据题意求出，，再进一步求解即可．
【详解】解：
∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，三角形的外角的性质，连接，可得，证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：连接，则，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，由题意设，如图，过作轴于，过作轴于，证明，可得，再进一步解答即可．
【详解】解：由题意设，
如图，过作轴于，过作轴于，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
13．
【分析】本题考查菱形的性质、中心对称性以及解直角三角形的知识点，解题的关键是利用菱形的中心对称性将四边形的面积进行转化．
通过连接相关线段，利用菱形中心对称性得到一些等量关系．过点作垂线，构造出可以计算面积的三角形．因为菱形具有中心对称性，所以将四边形的面积转化为几个易求面积的三角形面积之和或差．利用已知条件和所作辅助线，结合三角形面积公式（底×高÷2）来计算相关三角形面积，进而得出四边形的面积．
【详解】如图，由菱形的中心对称性可知，
连接，
∵，过点作于点，
作于点，
，
连接，
则
14．
【分析】本题考查的是零次幂，化简绝对值以及二次根式的运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，再合并即可．
【详解】解：
．
15．，
【分析】本题主要考查了整式混合运算-化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并，然后把代入，即可求解．
【详解】解：
，
当时，
原式．
16．
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验是分式方程的解．
∴方程的解为．
17．画图见解析
【分析】本题考查的是相似三角形的作图，先作的垂线，在下方作或，从而可得答案．
【详解】解：如图，即为所求；
理由：由作图可得：，，
∴；
或：∵，，
∴．
18．见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，，结合可得，从而可得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了频率的含义，画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由频率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中符合条件的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：班长随机抽卡片15次，其中抽到的卡片正面写的城市是“成都”有7次，则抽到“成都”的频率是；
（2）解：成都、太原、武汉、重庆四个城市分别用A、B、C、D表示，
画树状图如下：
由树状图可知共有16种等可能的结果，班长抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的情况有2种，
∴2次抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的概率为．
20．第一批安排的学生有人
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设第一批安排的学生有人，根据工作效率工作时间工作人数工作总量结合题意，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设第一批安排的学生有人，
根据题意得：
解得，
答：第一批安排的学生有人．
21．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题关键．过作于，则，，，由锐角的正切可得，，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，过作于，则，，，
∴，，
∴，，
解得：，经检验符合题意；
∵此时水平观景台的气温为，海拔每升高，气温下降，
∴太白山山顶处的气温约为．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得段温度与加热时间之间的函数关系式，再求得，据此求解即可．
【详解】（1）解：设段温度与加热时间之间的函数关系式为，
把，代入得，，
解得，
∴段温度与加热时间之间的函数关系式为；
（2）解：设段温度与加热时间之间的函数关系式为，
把代入得，，
解得，
∴段温度与加热时间之间的函数关系式为，
令，则，
当时，，
∴，
解得，
∴在整个熔化过程中，“海波”从开始加热到全部熔化为液态最少需要加热．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是从统计图表中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体；
（1）根据中位数的定义确定最中间的两个数是第10个与第11个，从而可得答案；
（2）根据每一小组的人数乘以其组内平均数，再求和即可；
（3）先求解这20名员工光盘行动后的一周节约的餐余总量为，再列式计算即可；
【详解】（1）解：这20个数据是按照从小到大的顺序排列的，最中间的两个数是第10个与第11个，
而，
∴这20个数据落在B组；
（2）解：这20名员工光盘行动前的一周总的餐余总量为：
（3）解：由题意可得：这20名员工光盘行动后的一周节约的餐余总量为
，
∴该单位400名员工光盘行动后的一周比光盘行动前的一周共节约了：
；
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．证明是等腰直角三角形得．由是的切线得，求出，然后证明可得；
（2）证明得，证明得，求出，再求出，代入比例式即可求解．
【详解】（1）证明：连接．
∵是的中点，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵是的切线，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键．
25．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，中心对称：
（1）根据抛物线的顶点坐标设出顶点式，再将代入求出a的值，即可求解；
（2）根据成中心对称的两个图形上对应点的横、纵坐标均互为相反数，求出抛物线的解析式，将点P的纵坐标代入解析式，求出点P的横坐标，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线与抛物线关于原点中心对称，
抛物线的解析式为：，即，
着陆点与跳台区末端的竖直高度差为，
由题意知，点P的纵坐标为，
，
解得，或（不合题意，舍去），
点P距水平距离为，
基准点距水平距离为，
，
点与基准点的水平距离为．
26．（1）5；（2）；（3）的周长存在最小值，最小值为
【分析】（1）由，可得点A在以为直径的圆上运动，设圆心为，过点A作于点，当点H与点重合时，有最大值，即可解答；
（2）作点D关于的对称点，连接，得到，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，利用勾股定理即可解答；
（3）作H关于的对称点，作H关于的对称点，连接，，，，，则，，则的周长，当、、、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为的最小值．根据矩形的判定和三角形的内角和定理求得，作的外接圆，设圆心为，如下图，则点H在劣弧上运动，连接、，过O作于Q，利用圆周角定理求得，进而利用等腰三角形的性质和锐角三角函数求得，，设交于K，交于，连接，可证明E、T、H、K四点共圆，为直径，设圆心为，半径，连接，，可求得，连接，则，即，当E、H、O共线时取等号，过O作交延长线于S，求得，则，，利用三角形中位线可得，进而可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴点A在以为直径的圆上运动，设圆心为，过点A作于点，
当点H与点重合时，有最大值，
此时，，
∴点A到的最大距离为；
（2）解：作点D关于的对称点，连接，
则，
∴，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，即的最小值为；
（3）的周长存在最小值．
作H关于的对称点，作H关于的对称点，连接，，，，，则，，
则的周长，当、、、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为的最小值．
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
作的外接圆，设圆心为，如下图，则点H在劣弧上运动，连接、，过O作于Q，则，
∵，
∴，，
∴，，
设交于K，交于，连接，则，，，
∴E、T、H、K四点共圆，为直径，设圆心为，半径，连接，，
∵,，
∴，则，
∴，则，
∴由垂径定理得，
连接，则，即，当E、H、O共线时取等号，
过O作交延长线于S，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即的最小值为，
故的周长存在最小值，最小值为．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质求最短路径问题、勾股定理、三角形的中位线性质、锐角三角函数等知识，综合性强、难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，找到取最值时点所在的位置是解答的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
D
C
A
D
C
B
A