湖北省武汉市黄陂区2025届高三上学期1月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉市黄陂区2025届高三上学期1月月考数学试卷（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径 0，本卷命题范围， 已知递减的等比数列 满足等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 的非空子集的个数为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】解对数不等式求得集合 ，进而求得 ，从而求得正确答案.
【详解】 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
其非空子集个数为 .
故选：B.
2. 已知 （其中 为虚数单位）是关于 的方程 的一个根，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数根的特征得出另外一个根，再结合韦达定理及模的公式计算即可.
【详解】因为 是关于 的方程 的一个根，则 是方程的另外一个根，
所以 ，所以 ，
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则 .
故选：C.
3. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，即确定一户居民月均用水
量标准 ，用水量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费.通过抽样获得了 100 户居民的月
均用水数据（单位：t），制成如下频率分布表.
分
组
频
0.23 0.32 0.13 0.09 0.09 0.05 0.03 0.04 率
如果以居民月均用水量不超过 的占 ，大于 的占 20%为标准，根据频率分布表估计，下列最接近 的
数是（ ）
A. 15 B. 14 C. 13 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数计算规则求出 分位数，即可判断.
【详解】由表格数据可知用水量在 的频率为 ；
用水量在 的频率为 ，
所以 分位数位于 ，设 ，
则 ，解得 ，
所以 ，则选项中与 最接近的为 .
故选：B
4. 已知 ，则 （ ）
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】根据 利用两角和（差）的正弦公式展开，再分子、分母同除
将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为 ，
所以
.
故选：B
5. 已知矩形 的长为 4，宽为 3，将 沿对角线 翻折，得到三棱锥 ，则三棱锥
的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接 相交于点 ，根据 为矩形得点 为三棱锥 的外接球的球心，求出
半径可得答案.
【详解】连接 相交于点 ，则点 为 的中点，
因为 为矩形，所以 ，
所以点 为三棱锥 的外接球的球心，
则则三棱锥 的外接球的体积为 .
故选：A.
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6. 已知递减的等比数列 满足： ， ， ，若 ，则数
列 的前 12 项和 （ ）
A. 9 B. 12 C. 18 D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件求出等比数列 的公比，由此计算数列 的通项公式，化简 即可计算数列 的
前 12 项和 .
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ， ， ，
∵ ， ，∴ ，解得 或 ，
∵等比数列 是递减数列，∴ .
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：C.
7. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹是一条曲线，
我们称该曲线为卡西尼卵形线.已知两定点 ， ，动点 满足 ，设
的轨迹为曲线 ，则下列结论不正确的是（ ）
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A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.
C. 的面积大于 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】A 项根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；B 项结合曲线方程特征消元转化进
行判断即可；D 项根据方程特征求得 P 纵坐标的范围，C 项结合三角形面积公式及 的纵坐标的范围进行
判断即可.
【详解】由题意可知 的轨迹方程为： ，
则 关于 轴对称的点 的横、纵坐标满足
，
同理 关于 轴对称的点 ，关于原点对称的点 均满足轨迹方程，
，
，
即 的轨迹关于 轴、 轴轴对称，关于原点中心对称，故 A 正确；
将轨迹方程 平方得：
，
整理得 ，
解得 ，
所以 ，即 ，故 B 正确；
又因为 ，故 ，故 D 正确；
又 ，当且仅当 时取得最大值，故 C 错误.
故选：C.
8. 已知集合 ，定义在 上的函数 满足： ， ，
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当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令 ，通过赋值得到 的奇偶性和单调性，解不等式可得结果.
【详解】令 ，得 ，故 ，
令 ，得 ，故 ，
令 ，得 ，即 ，
令 ，则 定义域为 ，且 ，故 为偶函数.
，且 ，
则 ，
∵ ，∴ ，
∵ 时， ，∴ ，故 ，
∴ ，即 ，
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数，
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由 得， ，即 ，
∴ ，解得 且 ，故不等式的解集为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过赋值法分析函数的奇偶性和单调性，不等式等价变形之后可
求解集.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列为假命题的是（ ）
A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】在正方体中，通过举反例可说明选项 A、B、D 错误；利用线面平行的性质可得选项 B 正确.
【详解】
A.平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，但 ，选项 A 错
误.
B. 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，但 ，选项 B 错
误.
C. ∵ ，∴存在 ，使得 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，选项 C 正确.
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D. 平面 ， 平面 ， ，但平面 平面 ，选项 D 错误
.
故选：ABD.
10. 设函数 ，则（ ）
A. 的极大值为 0 B. 在 上单调递增
C. 当 时， D. 的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据导函数得出函数的单调性判断 B，再根据极值计算判断 A，根据函数单调性结合正弦值的范围
判断 C，根据函数单调性结合特殊值计算判断 D.
【详解】因为函数 ，则
，
所以当 单调递减；当 单调递增；当
单调递增；
在 上单调递增,在 上单调递减,B 选项错误；
的极大值为 ，A 选项正确；
当 时，则 ，所以 ，又因为当
单调递减；
所以 ，C 选项正确；
因为函数 ，所以 ，
又因为当 单调递增；当 单调递减；
所以 可得 或 ，
解集为 ，D 选项错误.
故选：AC.
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11. 已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，且 ，过点 且
斜率为 的直线 交 于点 ，交 的一条渐近线于点 ，则（ ）
A. 若以 为直径的圆经过点 ，则 的离心率为 2
B. 若以 为直径的圆经过点 ，则 的离心率为
C. 若 ，则 的渐近线方程为
D. 若点 不在圆 外，则 的渐近线的斜率的绝对值不大于 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意写出直线 的方程，与渐近线方程联立求出点 的坐标,对于 A，由圆的性质得 ，
结合向量数量积坐标运算求得 间的等量关系，结合离心率定义求出离心率，；对于 B，由三角函数求出
， ，结合双曲线定义求得 的值，由此可求离心率，对于 C，由 知 为线段 的
中点，求出点 的坐标，代入双曲线方程求得 的值，由此可求渐近线方程；对于 D，由双曲线的定义及
余弦定理的推论求出 ，由条件建立不等式可求 的取值范围，再求 的取值范围.
【详解】如图，连接 ，
由题意知直线 的方程为 ，即 ，
直线 与双曲线 的渐近线 平行，
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所以 ，
则 ， ，
联立方程 ，解得 ，即 ，
对于 A，因为以 为直径的圆经过点 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，
解得 ，则 的离心率 ，所以 A 正确；
对于 B，因为以 为直径的圆经过点 ，
则 ，则 ， ，
所以由双曲线的定义知 ，可得 ，
所以 的离心率 ，所以 B 不正确；
对于 C，若 ，则 为线段 的中点，所以 ，
于是由 在双曲线 上，得 ，即 ，
解得 ，所以 ，
则 的渐近线方程为 ，所以 C 正确；
对于 D，因为 ，所以 ，
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由余弦定理的推论得 ，
即 ，
解得 ，因为点 不在圆 外，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 的渐近线的斜率的绝对值不大于 ，所以 D 正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：求双曲线 离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
（1）求出 ，代入公式 ；
（2）只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为关于 的齐次式，然后等式
（不等式）两边分别除以 或 转化为关于 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 （ 的取值范
围）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 展开式中的常数项为_________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】二项式 展开式的通项为 （ 且 ），
令 ，解得 ，
所以展开式中的常数项为 .
故答案为：
13. 函数 的零点个数为______．
【答案】4
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【解析】
【分析】由 可得 或 ，对于 的零点个数，考虑将其转化成两函数
， 的交点个数,通过作图即得.
【详解】令 ，得 或 ．
设 ， ，在平面直角坐标系中先画出 的图象，
保留 轴上方的部分图象并把 轴下方的图象向上翻折即得 的图象，
再作出 的图象，如图所示，由图可知两者共有 3 个交点.
综上所述，函数 共有 4 个零点．
故答案为：4.
14. 如图，在平行四边形 中， 分别为 的中点， 为 上一点，且 ，
，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】过点 作 于点 ，设 ，可得 ，结合图形借助平面向量的数量积
运算、平面向量的线性运算即可得到答案.
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【详解】
如图，连接 ，在平行四边形 中， 分别为 的中点，
则 三点共线，且 为 的中点，所以 ．
过点 作 于点 ，设 ，
由 ， ，
得 ，则 ．
由 分别为 的中点，
则 ， ，所以 ，
所以
．
故答案为：1.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 的对边分别为 且满足 .
（1）求 ；
（2）若 的角平分线与 交于点 ， ， ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由二倍角公式计算可得；
（2）利用 得出边的关系，从而求 ，再由余弦定理求得 的可得结论．
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【小问 1 详解】
因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ；
【小问 2 详解】
如图，由题意得， ，
所以 ，即 ，
又 ，代入解得 ，
由余弦定理，可得 ，即 ，
所以 ．
16. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，
为等边三角形， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 为棱 上一点， ，四棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 的夹角的余
弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
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【解析】
分析】（1）先证明 ，结合 ，根据线面垂直判定定理证明 平面 ，再由面面
垂直判定定理证明结论；
（2）由条件结合体积公式求得四棱锥四棱锥 的高为 ，建立空间直角坐标系求平面 与平
面 的法向量，结合向量夹角公式求结论.
【小问 1 详解】
因为 ，且 ， ，又 ，
所以 ，所以 ，又
所以 ，所以 ， ，
所以 ，
因为 为正三角形，所以 ．
在 中， ，
所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
解得 ，
如图，取 的中点 ，连接 ，
则 ，且 ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
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因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 为等边三角形，
所以 ，且 .
故可以 为原点 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
又
，
即 ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
故 为平面 的一个法向量，
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设平面 的法向量为 ，
则 即 ，
令 ，则 ，
所以 为平面 的一个法向量，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. 已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若 ， ，求整数 的最大值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出导函数 ，分 ， 讨论 的正负区间，进而求得函数 的单调区
间；
（2）化简不等式，构造函数 ，利用导数讨论 的单调性，求出
，由 得 构造函数 ，讨论其单调性，可求得整数 的最大
值．
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，又 ，
则当 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
当 时，由 ，解得 ，令 ，解得 ，
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所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
【小问 2 详解】
依题知， 恒成立，
即 恒成立，
化简为 恒成立．
设 ，
则 ，
当 时， 恒成立，
故 在 上单调递增，因为 ，所以不符合题意；
当 时，又因为 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
只需 即可，
整理得 ．
设 ， ，
则 恒成立，所以 在 上单调递增，
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又 ，且 ，因 ，所以 ，则 ，
所以 ，
所以 在 上存在唯一零点 ，当 时 ，当 时 ，
因为 ，所以 ，
所以整数 的最大值为 ．
【点睛】关键点点睛：第（1）问，是利用导数研究 的单调性时，由于含有参数，需要根据参数的范
围分类讨论；第（2）问，是化简不等式后，构造函数，利用导数法讨论函数的单调性和最值，找出 需要
满足的条件为 ，再利用导数探讨 的可取值．
18. 已知 为抛物线 的焦点，过 的直线与 交于 ， 两点，当线段 的长为 6
时，弦 的中点到 轴的距离是 2.
（1）求 的方程；
（2）已知 为 上一点， 的准线交 轴于点 .
①若 位于第一象限，且 ，求证： 与 相切；
②若 异于坐标原点 ， 是 的内心，求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据题意求出 的值即可得到结果.
（2）①根据条件可求出直线 的方程为 ，与抛物线方程联立利用判别式等于 0 可证明结论；
②利用内心的性质找到面积之间的关系，表示出 的面积，利用函数求导分析单调性可求出最大值.
【小问 1 详解】
设 ，则弦 的中点坐标为 ，
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由题意得， ， ，∴ ，
∴ 的方程为 .
【小问 2 详解】
①由（1）得，准线方程为 ， .
过点 作准线 的垂线，垂足为 ，则 ，
由 得， ，故 为等腰直角三角形，
∴ ，即直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，
由 得 ，由 得 与 相切.
②不妨设点 在第一象限，设 ，则 ， ， ，
， .
设 内切圆的半径为 ，则点 到 三边的距离均为 ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
设 ，则 ，
记 ，则 ，
∴ 在 上 增函数，
由 得， ，
∴当 时， ， 在 上为减函数，
当 时， ， 在 上为增函数，
∴ ，此时 面积有最大值，最大值为 .
【点睛】方法点睛：对于与三角形内心相关的面积问题，可以利用等面积法，得到不同部分面积之间的关
系求解即可，当处理的式子比较复杂时，可以构造函数求解.
19. 近年来，数学标准化测试中出现了一种新题型：多项选择题.该类型题目是在 A，B，C，D 这 4 个选项
中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得 6 分，部分选对得部分分（有两个选项正确
的每个正确选项得 3 分，有三个选项正确的，每个正确选项得 2 分），有选错的得 0 分.
（1）某考生有一道正确答案为 ABC 的多项选择题不会做，他给出的答案可以只含一个选项，只含两个选
项或只含三个选项，记该考生本题得分为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）若某次测试共 道多项选择题，已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为
正确选项相互独立.记事件 为正确选项有 个，第 （ 且 ）题正确选项为 个的概率
为 .正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为 ，若第 题正
确选项为两个，则第 题正确选项为两个的概率为 ；第 题正确选项为三个，则第
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题正确选项为三个的概率为 .
①证明： 为等比数列，并求出 ；
②若第 题只选择 B，C 两个选项，设 表示第 题的得分，证明： .
【答案】（1）分布列见解析，期望为 ；
（2）①证明见解析， ；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）首先分析各个得分的样本点，再计算相关分布列和期望即可；
（2）①构造得 ，再求出首项即可证明并求出 ；
②分析得 的取值为 0，4，6，再求出其分布列和期望值，最后作差判断其单调性即可.
【小问 1 详解】
该考生可能的选项有：A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，共 14 个样
本点，
故考生得 0 分包含的样本点有 D，AD，BD，CD，ABD，ACD，BCD，共 7 个；
得 2 分包含的样本点有 A，B，C，共 3 个；
得 4 分包含的样本点有 AB，AC，BC 共 3 个；
得 6 分包含的样本点有 ABC，
所以 ，
故 的分布列为
所以 ．
【小问 2 详解】
①由题意知 ，
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所以 ，
又 ，所以 ，
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列．
所以 ，所以 ．
②由①知 ，
由题意知 的取值为 0，4，6，
所以 ，
，
，
所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，
所以数列 单调递增，
所以 ，所以 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问的关键是构造出 即可.
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