2025年新高考数学精析考点考点01集合(4种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(原卷版+解析)

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1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
【知识点】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.
(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常见数集的记法
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是________________的子集，是________________________的真子集．
3．集合的基本运算
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
【核心题型】
题型一 集合的含义与表示
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【例1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式1】已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（ ）
A．2B．3C．5D．8
【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则集合的非空子集个数为（ ）
A．4B．3C．8D．7
题型二 集合间的基本关系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【例2】在集合的子集中，含有3个元素的子集的个数为 .
【变式1】（2024·海南·模拟预测）已知集合，若，则 .
【变式2】集合，，且，则实数 ．
【变式3】若集合，则实数a的值的集合为 ．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
【例3】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合，集合，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式1】（2024·云南红河·二模）设集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知则（ ）
A．B． C．D．
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【例4】（2024·四川凉山·二模）已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】．已知集合，或，．
(1)求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
题型四 集合的新定义问题
解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
【例5】（23-24高三下·上海·阶段练习）对于全集R的子集A，定义函数为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（ ）
A．若，则B．
C．D．
【变式1】（2024·河南·模拟预测）定义，若集合，则A中元素的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（ ）个．
A．16B．15C．14D．13
【变式3】已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A．1B．C．D．与的取值有关
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．1与表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为或
C．方程的所有解的集合可表示为
D．集合可以用列举法表示
2．（2024·福建厦门·二模）设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．60B．100C．120D．130
3．集合的子集的个数是（ ）
A．16B．8C．7D．4
4．（2024·浙江·模拟预测）已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（ ）
A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当
B．数阵中第列的数全是1，当且仅当
C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素
D．数阵中所有的个数字之和不超过
6．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．，是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
三、填空题
7．已知集合，且，则 ．
四、解答题
8．已知集合，，全集，且，
(1)求集合；
(2)求.
9．已知集合，.
(1)求及；
(2)求.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（ ）
A．6B．3C．2D．0
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．设全集，集合．集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
8．已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．若全集，，，则集合等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知集合满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则中的元素的个数为1
B．若，则中的元素的个数为15
C．若，则中的元素的个数为45
D．若，则中的元素的个数为78
三、填空题
12．已知集合，，若，则的最大值为 ．
13．（2024·广东湛江·一模）已知全集为实数集，集合，，则 ．
14．（2024·辽宁·一模）已知集合，，则 ， .
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．
16．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.
(1)求集合M；
(2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求实数a的取值范围．
17．已知为实数，设集合．
(1)设集合，若，求实数的取值范围．
(2)若集合，求实数的取值范围；
18．对于集合，定义函数．对于两个集合，定义集合．已知集合．
(1)求与的值；
(2)用列举法写出集合；
(3)用表示有限集合所包含元素的个数．已知集合是正整数集的子集，求的最小值，并说明理由.
19．对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．
(1)设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若，且集合具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且，q为常数且，求证：．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·上海宝山·一模）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题， ②是真命题；B．①是真命题， ②是假命题
C．①是假命题， ②是真命题；D．①是假命题， ②是假命题.
2．已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·上海·期中）设且，n为正整数，集合．有以下两个命题：①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则，那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题D．①、②都是真命题
二、多选题
6．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
A．B．
C．D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．已知集合，，则
B．终边落在轴上的角的集合可表示为
C．若，则
D．在中，若，则为等腰三角形
三、填空题
8．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 .
9．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ．
10．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合，则称为集合的“元素和”，记为.若集合，集合的所有非空子集分别为，，…，，则 .
四、解答题
11．设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数
(1)已知集合，集合，分别求解．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．
12．（23-24高三下·北京·阶段练习）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．
(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．
(2)若．证明：A不可能具有性质．
(3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．
13．（2024·北京·模拟预测）已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.
(1)若，直接写出所有满足条件的集合；
(2)若，且对任意，都有，求的最大值；
(3)若且对任意，都有，求的最大值.
集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N*(或N＋)
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
交集
补集