2024-2025学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数列−4，7，−10，13，…的一个通项公式为( )
A. an=(−1)n(3n+4)B. an=(−1)n(3n+1)
C. an=(−1)n+1(3n+4)D. an=(−1)n+1(3n+1)
2.抛物线x2=−4y的焦点到准线的距离为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.过点(1,−3)且与直线x−2y+1=0垂直的直线方程是( )
A. 2x+y+1=0B. x+2y+5=0C. x−2y−7=0D. 2x−y−5=0
4.已知向量a=(2,1,3)，b=(1,2,4)，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. 1314aB. 1621aC. 87aD. 137a
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S14S7=7，则S21S14=( )
A. 187B. 32C. 117D. 116
6.已知F1，F2是椭圆Γ：x24+y2=1的左、右焦点，P为Γ上一点，则1|PF1|+1|PF2|的最小值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 4
7.《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度(蒲与莞原先的长度忽略不计)，需要经过的时间最少为( )
A. 3天B. 4天C. 5天D. 6天
8.已知直线l：x−y+2=0与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，点P(1,4)是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为( )
A. 43B. 2C. 52D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 2+1，x, 2−1成等比数列，则x的值可以是( )
A. 0B. 1C. 2D. −1
10.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为直线l，直线PQ与C交于P，Q两点.则下列说法正确的是( )
A. 点F到直线l的距离是4
B. 若PQ的方程是2x−y−4=0，则△FPQ的面积为3
C. 若PQ的中点G到直线l的距离为3，则|FP|+|FQ|=8
D. 若点(4,0)在直线PQ上，则OP⊥OQ
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为棱BB1，DD1上的点，且BE=13BB1,DF=13DD1，平面AEF与棱CC1交于点G，若点P为正方体内部(含边界)的点，满足AP=λAE+μAF,λ,μ∈[0,1]，则( )
A. 点P的轨迹为四边形AEGF及其内部
B. 当λ=1时，点P的轨迹长度为 10
C. 当λ=0,μ=12时，AF⊥A1P
D. 当μ=12时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为 2211
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若方程y24−x2=1表示双曲线，则此双曲线的虚轴长为______．
13.已知点M，N在直线l：2x−y−2=0上运动，且|MN|=2 5，点P在圆C：(x+4)2+y2=5上，则△PMN的面积的最大值为______．
14.已知斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的第n个数记为Fn(n∈N∗)，则F1=F2=1，Fn+Fn+1=Fn+2，已知F2023=m，F2024=n，则i=42024Fi2= ______.(用含m，n的代数式表示)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C的圆心在直线x+2y−7=0上，且经过点A(1,2)，B(3,0)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求经过点P(1,6)且与圆C相切的直线方程．
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}满足a3>a2，a1+a3=10，a1，a2−1，a3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=an3n，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，BB1=BC，D为BC的中点．
(1)求证：直线A1C//平面AB1D；
(2)求直线B1D与平面A1BC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，且过点(2,1)，直线l与E交于A，B两点．
(1)求E的方程；
(2)若线段AB的中点为M(−1,−1)，求直线l的方程；
(3)若直线l的斜率不为0且经过E的左焦点，点P是y轴上的一点，且PA⊥PB，|PA|=|PB|，求直线l的斜率．
19.(本小题17分)
设Sn是数列{an}的前n项和，定义等斜率数列{an}：∀m,n∈N∗且m≠n，等式Sm+nm+n=Sm−Snm−n恒成立．
(1)若{an}是首项为1，公比为3的等比数列，请判断{an}是否为等斜率数列，并说明理由；
(2)已知{an}是等斜率数列，证明：{an}是等差数列．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.C
5.A
6.A
7.A
8.D
9.BD
10.BD
11.ABD
12.2
13.15
14.n2+mn−6
15.解：(1)因为A(1,2)，B(3,0)，所以线段AB的中点为M(2,1)，
直线AB的斜率为kAB=0−23−1=−1，
所以线段AB的垂直平分线方程为y−1=x−2，即x−y−1=0，
由x−y−1=0x+2y−7=0，解得x=3y=2，
所以圆C的圆心为C(3,2)，半径为r= (3−1)2+(2−2)2=2，
所以圆C的标准方程为(x−3)2+(y−2)2=4；
(2)点C(3,2)到直线x=1的距离为2，即直线x=1与圆C相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为y−6=k(x−1)，即kx−y+6−k=0，
由|3k−2+6−k| k2+1=2，解得k=−34，因此方程为3x+4y−27=0，
所以经过点P(1,6)且与圆C相切的直线方程为x=1或3x+4y−27=0．
16.解：(1)等差数列{an}满足a3>a2，a1+a3=10，a1，a2−1，a3成等比数列，
因为数列{an}为等差数列，则a1+a3=2a2=10，即a2=5，
又因为a1，a2−1，a3成等比数列，则a1a3=(a2−1)2=16，
联立方程a1+a3=10a1a3=16，解得a1=2a3=8或a1=8a3=2，
且a3>a2>a1，
则a1=2a3=8，可知公差d=a3−a12=3，
所以an=2+3(n−1)=3n−1．
(2)由bn=an3n=3n−13n=14[6n+13n−1−6(n+1)+13n]，
所以Tn=14[7−133+133−199+……+6n+13n−1−6(n+1)+13n]=14(7−6n+73n)．
17.(1)证明：设A1B∩AB1=E，连接DE，则E是A1B的中点，
因为D为BC的中点，所以DE/​/A1C，
又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
所以直线A1C/​/平面AB1D.
(2)解：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
又AB⊥AC，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB⊥AC，AB=AC=2，
所以BB1=BC=2 2，
所以B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,2 2)，B1(2,0,2 2)，
所以BC=(−2,2,0),BA1=(−2,0,2 2)，
设平面A1BC的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅BC=−2x+2y=0m⋅BA1=−2x+2 2z=0，
令z=1，得x= 2,y= 2，所以m=( 2, 2,1)，
而B1D=(−1,1,−2 2)，
设直线B1D与平面A1BC所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|B1D⋅m||B1D|⋅|m|=|− 2+ 2−2 2| 1+1+8× 2+2+1=25，
故直线B1D与平面A1BC所成角的正弦值为25．
18.解：(1)因为椭圆的离心率为 32，且过点(2,1)，
所以ca= 3222a2+12b2=1c2=a2−b2，
解得a=2 2，b= 2，c= 6，
则椭圆E的方程为x28+y22=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为线段AB的中点为M(−1,−1)，
所以x1+x22=−1y1+y22=−1，
即x1+x2=−2y1+y2=−2，
因为A，B两点均在椭圆上，
所以x128+y122=1x228+y222=1，
两式相减得x12−x228+y12−y222=0，
所以y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−−24×(−2)=−14，
即直线l的斜率为−14，
所以直线l的方程为y−(−1)=−14[x−(−1)]，
即x+4y+5=0；
(3)易知椭圆E的左焦点F(− 6,0)，直线l的斜率不为0，
设直线AB：x=my− 6，
联立x=my− 6x28+y22=1，消去x并整理得(m2+4)y2−2 6my−2=0，
此时Δ=24m2+8(m2+4)>0，
由韦达定理得y1+y2=2 6mm2+4，y1y2=−2m2+4，
所以x1+x2=m(y1+y2)−2 6=2 6m2m2+4−2 6=−8 6m2+4，
设AB的中点为C，
此时C(−4 6m2+4, 6mm2+4)，
因为点P在y轴上，且PA⊥PB，|PA|=|PB|，
所以PC垂直平分AB，且|AB|=2|PC|，
所以AB：x=my− 6的中垂线方程为y− 6mm2+4=−m(x+4 6m2+4)，
令x=0，
解得y=−3 6mm2+4，
即P(0,−3 6mm2+4)，
所以|PC|= 96(m2+4)2+96m2(m2+4)2=4 6(m2+1)m2+4，
又|AB|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2
= 1+m2 24m2(m2+4)2+8m2+4=4 2(m2+1)m2+4，
所以4 2(m2+1)m2+4=2×4 6(m2+1)m2+4，
解得m=± 11．
故直线l的斜率为± 1111．
19.(1)解：若{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则{an}不为等斜率数列，理由如下：
证明：等比数列{an}的首项为1，公比q=3，可得Sn=1×(1−3n)1−3=12(3n−1)，
当m=1，n=2时，Sm+nm+n=12(33−1)3=133，Sm−Snm−n=−(S1−S2)=a2=3，
此时Sm+nm+n≠Sm−Snm−n，故{an}不为等斜率数列．
(2)证明：若{an}是等斜率数列，Sn为数列{an}的前n项和，
取m=1时，且n≥2，n≥2，Sn+1n+1=Sn−S1n−1，整理得(n−1)Sn+1=(n+1)(Sn−S1)，即2Sn=(n−1)an+1+(n+1)a1，
当n≥3时，2Sn−1=(n−2)an+na1，两式相减，得2an=(n−1)an+1−(n−2)an+a1，即nan=(n−1)an+1+a1(n≥3)，
所以(n−1)an−1=(n−2)an+a1(n≥4)，即nan−(n−1)an−1=(n−1)an+1−(n−2)an(n≥4)，整理得2an=an−1+an+1(n≥4)．
当n=2时，由2Sn=(n−1)an+1+(n+1)a1得2S2=a3+3a1，所以2a2=a3+a1；
当n=3时，由2Sn=(n−1)an+1+(n+1)a1，得2S3=2a4+4a1，所以2a3=2a4+2a1−2a2=2a4+2a1−(a3+a1)，
则3a3=2a4+a1，所以3a3=2a4+2a2−a3，即2a3=a2+a4．
综上所述，对于任意正整数n，都有2an=an−1+an+1(n≥2)，所以{an}是等差数列．