2025年中考数学一轮复习 第19讲 直角三角形 课件+练习+讲义

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4大中考命题点+18大题型探究
理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理;
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
【考情分析】该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择，填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸. 结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向.
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
直角三角形两个锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
1）两个内角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形
(其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以（b-a）为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 4SΔ+S正方形EFGH =S正方形ABCD ，∴4×12ab+(b-a)²=c²，化简可证
A．12B．13 C．14D．15
1）这三个数均是正整数；2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.
1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.
1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；
1．（2024·江苏扬州·三模）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．3，4，5 B．9，15，17 C．25，7，24 D．8，6，10
构成一个直角三角形三边的一组正整数
1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题；2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题；3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题；4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题.
1）从实际问题中抽象出几何图形；2）确定与问题相关的直角三角形；3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；4）求得符合题意的结果.
A．8B．10C．12D．13
A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
【例1】 （2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
正方形网格中的每一个角都是直角，在正方形网格中的长度计算都可以归结为求任意两个点之间的距离，一般情况下都是运用勾股定理来进行计算，关键是确定每一条边所在的直角三角形.
解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理列方程使问题得以解决.
(2)【深入研究】如图2，试探索（1）中的结论在一般情况下是否仍然成立；
【例1】 （2023·北京大兴·一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明．
【例1】 （2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　）
1.（2023·广东·中考真题）综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：
2．（2022·四川广元·中考真题）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cs∠APC的值为（　　）
解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
解：如图，作PC⊥AB于点C
1.（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）