（人教版）数学八年级下册期末提升练习专题一7 第十九章 一次函数 重难点检测卷（2份，原卷版+解析版）

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选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·陕西西安·西安市庆华中学校考一模）对于正比例函数，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，则k的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】当自变量为时，函数值为，代入解析式化简计算即可．
【详解】∵正比例函数，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质及其解析式的确定，熟练掌握性质是解题的关键．
2．（2021春·重庆江北·八年级重庆十八中校考期中）下列关于一次函数的图象的说法中，错误的是（ ）．
A．函数图象经过第一、二、四象限B．y的值随着x值的增大而减小
C．当时，D．函数图象与x轴的交点坐标为
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、∵，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，说法正确，不符合题意；
D、∵，
∴y的值随着x值的增大而减小，说法正确，不符合题意；
C、当时，，说法正确，不符合题意；
B、∵时，，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
3．（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期末）已知点，关于x轴对称，则一次函数的图象大致是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点求出m、n的值，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：∵点，关于x轴对称，
∴，，
∴，，
∴一次函数的解析式为，
∵，，
∴函数图象经过一二四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
4．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期末）如图（1），在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图（2）所示，则边的长是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】由图象可知，，当时，，从而可得到的长度，再根据勾股定理计算出的长即可．
【详解】解：由图象可知：，
如图：
当时，，此时，
在Rt中，，
，
在Rt 中，，
故选：C．
【点睛】本题以动点的函数图象为背景，考查了数形结合思想，解答时，注意利用勾股定理计算相关数据．
5．（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知一次函数，当时，，则m的值为（ ）
A．2B．C．2或D．m的值不存在
【答案】B
【分析】结合一次函数的性质，对m分类讨论，当时，一次函数y随x增大而增大，此时，且，；当时，一次函数y随x增大而减小，此时，且，；最后利用待定系数法求解即可．
【详解】当时，一次函数y随x增大而增大，
∴当时，且当时，，
把，代入，解得，
把，代入，解得，
∴此时m的值不存在，
当时，一次函数y随x增大而减小，
∴，且，，
把，代入，解得，
把，代入，解得，
∴符合题意，
∴故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键．
6．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（ ）
A．，
B．关于x的方程的解为
C．关于x的不等式的解集为
D．直线上有两点，，若时，则
【答案】C
【分析】A、C、D根据函数图像直接作出判断即可；B、交点P的横坐标就是关于x的方程的解．
【详解】解：A、∵直线经过一二四象限，
∴，，故正确，不符合题意；
B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3，
∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意；
C、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故错误，符合题意；
D、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大．
∵直线上有两点，，，
∴．故正确，不符合题意；
综上所述，错误的结论是：C．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式．解题时，要数形结合，使问题变得更直观化．
7．（2022·北京·九年级专题练习）为了缅怀先烈．继承遗志，某中学初二年级同学于4月初进行“清明雁栖湖，忆先烈功垂不朽”的定向越野活动．每个小组需要在点A出发，跑步到点B打卡（每小组打卡时间为1分钟），然后跑步到C点，……，最后到达终点（假设点A，点B，点C在一条直线上，且在行进过程中，每个小组跑步速度是不变的），“函数组”最先出发．过了一段时间后，“方程组”开始出发，两个小组恰好同时到达点C．若“方程组”出发的时间为x（单位：分钟），在点A与点C之间的行进过程中，“函数组”和“方程组”之间的距离为y（单位：米），它们的函数图像如图所示，则下面判断不正确的有（ ）个．
（1）当时，“函数组”恰好到达B点；
（2）“函数组”的速度为150米/分钟，“方程组”的速度为200米/分钟；
（3）两个小组从A点出发的时间间隔为1分钟；
（4）图中M点表示“方程组”在B点打卡结束，开始向C点出发；
（5）出发点A到打卡点B的距离是600米，打卡点B到点C的距离是800米；
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据函数图像和已知条件逐个进行分析和探讨其是否正确．
【详解】（1）由图像可看出，以后的一分钟，两组距离在逐渐减小，说明“函数组”在开始停下来进行一分钟打卡，所以当时，“函数组”恰好到达B点，故（1）正确，不符合题意；
（2）在第2分钟到第3分钟这一分钟内，“函数组”打卡，“方程组”一分钟走了200米，所以“方程组”的速度为200米/分钟，在第3分钟到第4分钟这一分钟内，“方程组”打卡，“函数组”一分钟走了150米，所以“函数组”的速度为150米/分钟，故（2）正确，不符合题意；
（3）、由图可看出，“方程组”开始出发时，相隔了300米，所以“函数组”走了300米，“方程组”才出发，所以间隔2分钟，故（3）不正确，符合题意；
（4）、M点开始，距离在慢慢减小，说明“方程组”打卡结束，去追“函数组”，所以（4）正确，不符合题意；
（5） “方程组”从开始出发，经过了3分钟到达了B点，所以AB距离为：（米），“方程组”打开结束从M点开始到达C，也用了3分钟，所以BC距离为600米，故（5）不正确，符合题意．
故只有（3）（5）不正确，所以有两个．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和意义，行程问题，结合题意理解函数图像的意义，以及理解图像上转折点的实际意义是解题的关键．
8．（2022秋·八年级单元测试）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（ ）
A．90个B．92个C．104个D．106个
【答案】D
【分析】求出A、B的坐标，分别求出横坐标是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的纵坐标，即可得出横坐标是1、2、3、4…时点的个数，再加上在两坐标轴上的点，即可得到答案．
【详解】解：当x＝0时，y＝﹣15，
∴B（0，﹣15），
当y＝0时，0x﹣15，
∴x＝12，
∴A（12，0），
x＝0时，y＝﹣15，共有16个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝1时，y1﹣15＝﹣13，共有14个纵坐标、横坐标都是整数的点，
同理x＝2时，y＝﹣12，共有13个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝3时，y＝﹣11，共有12个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝4时，y＝﹣10，共有11个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝5时，y＝﹣8，有9个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝6时，y＝﹣7，有8个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝7时，y＝﹣6，有7个纵坐标、横坐标都是整数的点
x＝8时，y＝﹣5，共有6个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝9时，y＝﹣3，共有4个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝10时，y＝﹣2，共有3个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝11时，y＝﹣1，共有2个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝12时，y＝0，共有1个即A点，纵坐标、横坐标都是整数的点．在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点有16+14+13+12+11+9+8+7+6+4+3+2+1＝106个．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用，通过做此题培养学生的理解能力和计算能力，本题题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
9．（2021春·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期末）如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．
【详解】解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，交于点，作ES⊥x轴于S，
∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，
∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，
∴AD＝OB，OA＝BC，
∴AD＋OA＝OB＋BC，
∵AE＝AD，
∴AE＋OA＝OB＋BC，
即OE＝OB＋BC，
∴OB＋CB的最小值为OE，
由，
当时，，
解得：，
，
，
当时，，
，
，
，
取的中点，过作轴的垂线交于，
，
当时，，
，
，
，
为的中点，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
∴FD＝3，∠FDG＝60°，
∴DG＝DF＝，
∴DE＝2DG＝3，
∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，
∴OS＝，
∴OE＝＝，
∴OB＋CB的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．
10．（2021春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴于、两点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴于点，交于点，连接．则下列说法中正确的是（ ）
A．点的坐标为B．
C．点的坐标为D．的周长为
【答案】C
【分析】根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出BD的解析式，可得点E的坐标，可得出AF≠EF，则∠EAF≠45°，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF利用全等转换为CF即可求出△AEF的周长．
【详解】解：∵一次函数的图象交x轴、y轴与A、B两点，
∴当x=0，则y=12，故B（0，12），
当y=0，则x=5，故A（5，0），
∴AO=5，BO=12，
在Rt△AOB中，AB==13，
故AB的长为13；
过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=DA=BC=CD，
∴∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠HAD=90°，
∴∠OBA=∠HAD，
在△OBA和△HAD中，
，
∴△OBA≌△HAD（AAS），
∴DH=AO=5，AH=BO=12，
∴OH=OA+AH=17，
∴点D的坐标为（17，5），A错误，不符合题意；
∵∠CBN+∠NCB=∠CBN+∠ABO=90°，
∴∠NCB=∠ABO，
在△CNB和△BOA中，
，
∴△CNB≌△BOA（AAS），
∴BN=AO=5，CN=BO=12，
又∵CF⊥x轴，
∴CF=BO+BN=12+5=17，
∴C的坐标为（12，17），C正确，符合题意；
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
∴直线BD的解析式为，
∵OF=CN=12，
∴AF=12-5=7，E点的坐标为（12，），
∴EF=≠AF，
∵CF⊥x轴，
∴∠EAF≠45°，B错误，不符合题意；
在△CDE和△ADE中，
，
∴△CDE≌△ADE（SAS），
∴AE=CE，
∴AE+EF=CF=17，AF=OF-AO=12-5=7，
∴C△AEF=AE+EF+AF=CF+AF=17+7=24，D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2021秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知点在一次函数的图像上，则的值是___________．
【答案】6
【分析】直接把点代入一次函数，求出的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：点在一次函数的图象上，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）我国自年月日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于元的部分不收税；月收入超过元，但低于元的部分收的所得税，如某人的月收入为元，则他应缴纳个人工资、薪金所得税为：元，如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税元．那么此人本月工资、薪金收入是____元．
【答案】
【分析】先根据题意列出薪金所得税关于工资的函数关系式，然后将薪金所得税元代入函数关系式求解即可．
【详解】解：设应缴所得税为元，月收入为元，
由题意可得：，即；
把代入，得：，
解得，
此人本月工资、薪金收入是元．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数关系的应用，根据题意列出函数关系式，并正确代入解方程是解题关键．
13．（2022秋·贵州·八年级统考期中）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，且，点B的坐标为，过点A的直线与y轴交于点，将直线AC向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为___________．
【答案】1
【分析】根据，点B的坐标为，，得出=2，，再由直线的平移得出平移后的直线为且经过点，代入确定，，即可求解．
【详解】解：∵，点B的坐标为，，
∴=2，，
则直线向上平移2个单位长度后的新直线经过原点，
，
且经过点，

，，

故答案为：1．
【点睛】本题考查坐标与图形与一次函数的平移问题，根据平移条件求出新直线的解析式是关键．
14．（2021秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一次函数的图象如图所示，则下列说法：①，；②是方程的解；③若点，、，是这个函数的图象上的点，且，则；④当，函数的值，则．其中正确的序号为___________．
【答案】①②③④
【分析】图象过第一，二，四象限，可得，，可判定①；根据增减性，可判断③④，由图象与轴的交点可判定②．
【详解】解：图象过第一，二，四象限，
，；故①正确
由图象知，该直线与轴的交点坐标是，则是方程的解，
故②正确；
随增大而减小，
，
，
，
；故③正确
当时，，
当时，；时，，
代入得，
解得；故④正确
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象的性质，关键是灵活运用一次函数图象的性质．
15．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知点N的坐标为，M点在坐标轴上，点M绕着点N逆时针旋转90°后正好落在直线上，则M点坐标为_______．
【答案】或
【分析】根据题意分点M在x轴上和点M在y轴上两种情况讨论，然后设出点M的坐标，表示出点M旋转后的坐标，然后代入求解即可．
【详解】当点M在x轴上时，设点M的坐标为，
∵点N的坐标为，
∴点M绕着点N逆时针旋转90°后的坐标为
∵点M绕着点N逆时针旋转90°后正好落在直线上，
∴，解得，
∴点M的坐标为，
当点M在y轴上时，设点M的坐标为，
如图所示，设点M绕着点N逆时针旋转90°后得到点B，过点B作轴交x轴于点A，
∵，
∴
∴在和中
∴
∴，
∴
∴点B的坐标为
∵点M绕着点N逆时针旋转90°后正好落在直线上，
∴，解得，
∴点M的坐标为．
综上所述，点M点坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往地，同时乙步行从地出发前往A地．如图的折线和线段分别表示甲、乙两人与A地的距离与时间之间的函数关系，且与相交于点．下列说法：
①与的函数关系是；
②点表示甲、乙同时出发0.5小时相遇；
③甲骑自行车的速度是18千米/小时；
④经过或小时，甲、乙两人相距5千米．
其中正确的有___________（填序号）
【答案】②③
【分析】利用待定系数法求出直线的解析式判断①；根据图象判断②；求出直线的解析式判断③；利用函数解析式作差法计算即可判断④．
【详解】解：设直线的解析式为，将点代入，得
，解得，
∴直线的解析式，故①错误；
由图象可知：点M表示甲、乙同时出发0.5小时相遇，故②正确；
∵乙的速度为km/h，km，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，将点M坐标代入，得，
∴直线的解析式，
∴甲骑自行车的速度是18千米/小时，故③正确；
当时，解得；
当时，，
当时，解得（舍去）；
当时，解得，
∴经过或小时，甲、乙两人相距5千米．故④不正确；
故答案为：②③．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象交点的计算，解一元一次方程，能读懂函数图象并得到相关信息是解题的关键．
17．（2022·山东德州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为一边作正方形，使得点在y轴正半轴上，延长交直线l于点，按同样方法依次作正方形、正方形…、正方形，使得点均在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是__________．
【答案】
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…的坐标，进而得到B2、B3、B4、B5、…的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：当y=0时，有x-1=0，
解得：x=1，
∴点A1的坐标为（1，0）．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为（1，1）．
同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…，
∴B2的横坐标为2，B3的横坐标为4，B4的横坐标为8，B5的横坐标为16，…，
∴Bn的横坐标为2n-1（n为正整数），
∴点B2022的横坐标是22021．
故答案为：22021．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律Bn的横坐标为2n-1（n为正整数）是解题的关键．
18．（2022春·陕西西安·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（0，1），点C和D都在x轴上（C在D左侧），且线段CD＝1，连接AB，BC，AD，当四边形ABCD周长最小时，点C的坐标为________．
【答案】（，0）##
【分析】作点B关于x轴的对称点，连接，以、CD为邻边作，则==BC，=CD=1，（1，-1）所以BC+AD=+AD≥，即当A、D、在同一直线上时，BC+AD的最小值为，据此解答即可．
【详解】解：∵A的坐标为（4，4），点B的坐标为（0，1），
∴AB==5，
∵CD=1，
∴四边形ABCD周长：AB+BC+CD+AD=5+1+BC+AD=6+BC+AD，
∴要求四边形ABCD周长最小，即求BC+AD的最小值，
作点B关于x轴的对称点，连接，以、CD为邻边作，
∴==BC，=CD=1，（1，-1），
∴BC+AD=+AD≥，
即当A、D、在同一直线上时，BC+AD的最小值为，
∵A的坐标为（4，4），点的坐标为（1，-1），
设直线的解析式为y=kx+b，则
，
解得：，
∴直线的解析式：y=x−，
令y=0，则x=，
即D（，0），
又∵CD=1，
∴C（，0），
故答案为：（，0）．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是正确运用对称的性质、平行四边形的性质、一次函数的性质．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）已知一次函数（为常数，且）．
(1)若一次函数的图象经过原点，求的值；
(2)若，直接写出一次函数的图象经过的象限．
【答案】(1)
(2)该一次函数的图象经过第二、三、四象限
【分析】（1）由题意可把代入一次函数解析式进行求解即可；
（2）把代入一次函数解析式得，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意可把代入一次函数解析式得：
，
∴；
（2）解：把代入一次函数解析式得：，
∴，
∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
20．（2023春·江苏·八年级开学考试）若直线与直线的交点在轴上，且与直线平行，求此直线对应的函数关系式．
【答案】
【分析】根据两个一次函数的图象平行，则一次项系数一定相等即可求出一次函数的解析式．
【详解】解：直线与直线平行，
根据两个一次函数的图象平行，则一次项系数一定相等
，
又与直线的交点在轴上，，解得交点坐标为，
直线过点，代入即：，则．
函数的解析式为：
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质及两直线平行一次项系数相等，难度一般，正确理解题意是解题的关键．
21．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
(1)表格中：_________，_________．
(2)在直角坐标系中画出该函数图像．
(3)观察图象：
①根据函数图象可得，该函数的最小值是_________；
②观察函数的图像，写出该图像的两条性质．
【答案】(1)，
(2)作图见详解
(3)①；②关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）
【分析】（1）观察表格可知，当，，时，函数值的变化规律，由此即可求解；
（2）利用描点，连线的方法即可求解函数图像；
（3）①从（2）中图像可求解；②根据图像，对称性，即可求解．
【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，，
∴函数关系的图像关于对称，
∴的函数值与的函数值相等，的函数值与的函数值相等，
∴，
故答案为：，．
（2）（2）根据表格数轴，运用描点，连线方法画函数图像，如图所示，
∴图示即为所求函数的图像．
（3）解：根据函数图像可得，函数的最小值是；
故答案为：；
②观察函数的图像，该图像的性质有：关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）．
【点睛】本题是函数以绝对值的综合运用，掌握绝对值的性质，观察列表中的数，并找出规律，用描点，连线的方法画函数图像是解题的关键．
22．（2022秋·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）在新冠病毒防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
(1)求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)公司决定酒精消毒液以每件元出售，测温枪以每件元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的倍，求该公司销售完上述件商品获得的最大利润．
【答案】(1)酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元
(2)最大利润元
【分析】（1）根据表格信息，设酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元，列方程即可求解；
（2）两种商品共件，设测温枪有件，则酒精消毒液有件，根据（1）中的进价，设利润为，由此可列出方程求解．
【详解】（1）解：设酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元，
∴，解方程组得，，
∴酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元．
（2）解：两种商品共件，设测温枪有件，则酒精消毒液有件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的倍，
∴，即，
利润为，
∵，随的值增大而增大，且有，
∴当时，有最大值，最大值为：元，
∴该公司销售完上述件商品获得的最大利润元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组解实际问，一次函数解最大利润问题，理解题目意思，找出数量关系立方程是解题的关键．
23．（2023秋·江苏·八年级统考期末）高度为120厘米的圆柱形容器注满了水（即容器的水位高度为120厘米），上端有一关闭状态的注水口，底端有一关闭状态的放水口，如图1所示．现先打开放水口，放水速度为12厘米/分钟（即：仅打开放水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降12厘米），放水口打开一段时间后，再打开注水口，同时保持放水口开放状态，继续经过一段时间后关闭放水口，同时注水口仍保持开放状态，直至容器注满水时立即关闭注水口．圆柱形容器的水位高度记为（厘米），从打开放水口时开始计时，至容器注满水时停止计时，时间记为（分钟），已知关于的函数图象如图2所示．根据图中所给信息，解决下列问题：
(1)的值为______；
(2)求注水速度（注水速度即：仅打开注水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度上升的高度）；
(3)求图2中线段所在直线的解析式；
(4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中，当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)注水速度为16厘米/分钟
(3)
(4)
【分析】（1）根据关于的函数图象给出的信息结合放水速度求解即可；
（2）根据关于的函数图象信息结合值，先求出段的进水速度（段的进水速度注水速度放水速度），再求段的注水速度，列方程求解即可；
（3）设所在直线的解析式为，将点和点的坐标代入求解即可；
（4）计算出时对应的两个时间，取两者之间即可．
【详解】（1）（厘米），（分钟），
∴的值为，
故答案为：；
（2）段的进水速度为：（厘米/分钟），
段的注水速度为：（厘米/分钟），
∴，
解得，
∴，，
∴注水速度为16厘米/分钟；
（3）设所在直线的解析式为，
由（2）可知，
∴，，
将点，代入，
得，解得，
所在直线的解析式为；
（4）∵，
∴结合图象可知，在线段和线段上，
当在线段上时，（分钟），
在线段上时，（分钟），
∴当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合来解决问题．
24．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，．
(1)求所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入和的值，使得到射线，其中．当时，会从处弹出一个光点．并沿飞行；当时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点弹出，试推算，应满足的数量关系；
②当有光点弹出，并击中线段上的整点（横、纵坐标都是整数）且时，线段就会发光，求满足条件的整数的值．
【答案】(1)
(2)①；②或．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①根据题意得，把点代入，即可求解；
②设线段上的整点数为，，依题意，，根据，且为整数，也为整数，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，设直线的解析式为，
∴，
解得：
∴直线的解析式为，
（2）①依题意，代入
∴，
②设线段上的整点数为，
依题意，，
∵即；
∴
∴
∵，且为整数，也为整数，
∴或，
当时，，
当时，，
综上所述或．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图像和性质，解题的关键是理解题意．
25．（2023秋·山西太原·八年级山西大附中校考期末）综合与探究：
如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．
(1)求点C的坐标及直线的表达式；
(2)点P在直线上，若的面积为10，求点P的坐标；
(3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或
【分析】（1）将点的坐标代入直线可得出的值，即得点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可；
（2）设点的坐标为，根据的面积为列方程求解第一个位置，再利用三角形的中线的性质求解第二个位置的坐标即可；
（3）分三种情况：当时，过点作轴于，过点作轴于，当时，过点作轴于，延长交直线于，当时，过点作直线于，过点作直线于，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论．
【详解】（1）解：点在直线上，
，
解得，
，
将，代入直线，得：
，
解得，
直线的解析式为：；
（2）如图，设点的坐标为，
直线的解析式为：，
当，则，
，而，
，
∴，
解得：，
∴，
当为的中点时，，设，
∴，解得：，
∴，即的另一个位置，
点的坐标为或；
（3）存在，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当时，过点作轴于，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
∴，，
，，，
；
②当时，过点作轴于，延长交直线于，
同理：≌，
，，
，，
；
③当时，过点作直线于，过点作直线于，
同理：≌，
，，
设，
，，
，，，，，
，解得
；
综上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，Q的坐标为或或．
【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．
26．（2022秋·四川成都·九年级石室中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线交直线于点．
(1)求直线的解析式及点的坐标；
(2)如图，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求最小值；
(3)如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，当过点时，在平面内是否存在点，在第一象限内是否存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为，点的坐标是
(2)最小值为
(3)存在，理由见解析，点的坐标是或或
【分析】（1）先求出点和点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，联立直线和的解析式，即可求得点的坐标；
（2）先求出的面积，证明点在点的上方，设点的坐标为，其中，由，求得，得到点的坐标，作四边形是平行四边形，则，证得的最小值为，由勾股定理求出答案即可；
（3）分两种情况：是正方形的边和为对角线，分别进行求解即可．
【详解】（1）解：，
点的坐标是，
，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入可得，，
解得，
直线的解析式为，
联立直线和直线的解析式得，，
解得，
点的坐标是；
（2），，
，
，
，，
直线：交直线于点．
，
，
，
点在点的上方，
为直线上一动点且在第一象限内，
设点的坐标为，其中，
点到轴的距离为，
，
，
解得，
，
点的坐标是，
如图，过点向左作轴，且，则的坐标为，再作点关于轴的对称点，则的坐标为，则连接交轴于点，在轴上截取，连接，
由作图过程知四边形是平行四边形，则，
的最小值为，
作于点，则的坐标为，则，，
的最小值为
．
即最小值为；
（3）存在，理由如下：
第一种情况，是正方形的边，由勾股定理得，
由点的坐标是，点沿移动到点，由于平移规律相同，可得点平移到点，点平移到点，
如图，以为边作正方形，过点作轴于点，
，
，
，，
，
，，
，
点的坐标为，
同理可得点的坐标为，
点的坐标是，点沿移动到点，
由于平移规律相同，可知点，点，平移后的坐标即点的坐标分别为，；
为对角线时，如图，设两对角线的交点为K，
由题意可得，
在中，，
，
，
由点，，可知点的坐标为，
设的表达式为，
，，
，
，
把点的坐标代入得，
，
解得，
的表达式为，
设点的坐标为，
由两点间距离公式得，，
，
解得舍去，，
，
，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标是或或
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图形和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，正确作出图形和分类讨论是解题的关键．
…
…
…
…
项目
购进数量（件）
购进所需费用（元）
酒精消毒液
测温枪
第一次
第二次