湖北省荆州市八县2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省荆州市八县2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知某扇形的弧长和面积都为 1，则该扇形圆心角的弧度数为
A. 1 B. C. 2 D.
3.已知函数 在区间 上单调递减，则 a 的取值范围是
A. B.
C. D.
4.已知 ，且 ，则
A. B. C. D.
5.下列区间内存在方程 的根的是( )
A. B. C. D.
6.某人拥有一辆价值 20 万元的轿车，已知轿车以每年 的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，
才不会以低于 15 万元的价格成交 参考数据： ， ( )
A. 3 年 B. 4 年 C. 5 年 D. 6 年
7.已知函数 与 交于 和 两点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设函数 的定义域为 R，且 ，当 时， ，若对于
，都有 恒成立，则 t 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
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9.如图，全集为 U，集合 A，B 是 U 的两个子集，则阴影部分可表示为( )
A. B.
C. D.
10.设 表示不超过 x 的最大整数，如 ， ，已知函数 ，
，下列结论正确的是( )
A. 函数 是偶函数
B. 当 时，函数 的值域是
C. 若方程 只有一个实数根，则
D. 若方程 有两个不相等的实数根，则
11.设 ， ，下列命题正确的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 是第二象限角，且 ，则 .
13.若函数 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 .
14.已知函数 有三个不同的零点 ， ， ，其中 ，则
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 13 分
对下列两个式子进行化简求值.
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已知 为角 终边上一点，求 的值.
16. 本小题 15 分
已知集合 ， ，若 ，求实数 m 的取值范围.
17. 本小题 15 分
荆州鱼糕是湖北特色美食的代表之一，被誉为“荆州一绝”，深受广大消费者喜爱.某厂家欲生产荆州鱼糕，
经过市场调研发现，生产荆州鱼糕需投入年固定成本 3 万元，每生产 x 吨另需投入流动成本 万元，且
若荆州鱼糕的售价为 40 元/千克，且该厂家 2025 年生产的
吨荆州鱼糕均能售完.
求该厂家 2025 年的利润 单位：万元 的函数解析式;
求该厂家 2025 年的产量为多少吨时，该厂家所获年利润最大?最大年利润是多少?
18. 本小题 17 分
已知定义域为 的函数 对于 ， ，都满足 ，且当
时，
求 ，并用定义法判断 在区间 上的单调性;
是否存在实数 k，使得关于 x 的不等式 ， 恒成立?若存在，
求 k 的取值范围;若不存在，请说明理由
19. 本小题 17 分
定义一种新运算“ ”， ， ，
计算
判断 与 的大小关系，并给出证明;
已知关于 x 的不等式 恰有 4 个整数解，求 m 的取值范围.
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了集合的交集运算，指数不等式的求解，属于基础题.
先解不等式求得集合 B，再根据集合的交集求解即可.
【解答】
解：集合 ， ，
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查弧长公式与扇形面积公式，属于基础题.
利用弧长公式和扇形面积公式即可得解.
【解答】
解：设扇形的半径为 r，中心角为 ，
根据扇形面积公式 ，得 ，
，又扇形弧长公式 ，
故选：
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次函数的单调性，属于基础题.
根据二次函数的对称轴及符合函数的单调性，列方程，求解即可.
【解答】
解：由二次函数的对称轴及复合函数的单调性，
得 ，解得
故选：
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4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用诱导公式化简，属于中档题.
利用诱导公式化简等式，即可求解.
【解答】
解： ，
，
解得： 或 ，
， ，
故选：
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查判断函数零点所在区间，属于中档题．
构造函数 ，从而利用零点的存在性定理，即可作出判定，得到答案．
【解答】
解：令 ，验证四个选项，仅
在区间 上存在零点，即方程
在区间 上存在实数根.
故选：
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了指数函数的实际应用，属于基础题.
根据题意得到关系式 ，再进行求解即可.
【解答】
解：由题意知，
轿车价格 y 与年份 x 之间的函数关系式为 ，
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，故 ，
，
故这个人至多 3 年后卖出这辆轿车，才不会以低于 15 万的价格成交.
故选：
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，指对互化，属于基础题.
由题得到 ， ，则 ，再利用基本不等式，得答案.
【解答】
解：由题意知： ，不妨设 ，则 ， ，
，而
，
当且仅当 时取等号，
由于无法取等，
的取值范围是
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数求解析式，函数与不等式的综合运用，属于基础题．
先判断 对于函数 图象的变换，确定 x 所在的区间，求出解析式，得到 t 的最大值即可．
【解答】
解： ，
当 x 每增大 4，对应的纵坐标都变为原来的 2 倍，
而当 时， ，此时的最小值为 ，
在 上的最小值为 ，
而当 时， ，
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令 ，解得 或 ，
若 ，显然不符题意，
即
故选：
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查利用 Venn 图表示集合的运算，属于基础题．
根据集合之间的关系进行判断即可.
【解答】
解：根据图中阴影可知， 符合题意，
又 ，
也符合题意.
故选：
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，属于中档题.
结合新定义作出函数图像，数形结合进行求解.
【解答】
解：作出函数 的图像如图
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函数 的图象不关于 y 轴对称，A 错误.
当 时，函数 ， ， ，故
，即函数 的值域是 正确.
由图可知， 与 的图象必有一个交点 ，若方程 只有一个实数根，则 正
确.
若方程 有两个不相等的实数根，即 与 的图象有两个交点，结合图象可得
，D 错误.
故选：
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
借助基本不等式中的"1"，逐项分析即可.
【解答】
解： ，当且仅当 时取等号，A 正确.
，当且仅当
时取等号，B 错误.
，当且仅当
时取等号，C 正确.
，当且仅当 时取等号，D 正确.
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
由 的值及 为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出 的值，即可确定出 的值．
【解答】
解： ，且 为第二象限角，
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，
则
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查已知分段函数求参，属于基础题.
根据题意，函数 单调递减，列不等式方程组 ，求解即可.
【解答】
解：由题意可得， ，解得 ，
所以实数 a 的取值范围是
故答案为：
14.【答案】64
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点，属于中档题.
根据题意题意令 ，得到 ，再画出图象分析即可求解.
【解答】
解：令 ，由 可得 ， ，
，即 必有两个不同的根 ， ，且
故 ， 异号，设 为负， 为正，结合题意，可画出大致示意图如下：
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由图可知， 有唯一解 ， 有两个解 ， ，且 ，
故
15.【答案】解： 原式
由三角函数概念可得 ，
故
【解析】本题考查对数与对数运算，指数与指数幂的运算，同角三角函数的基本关系，属于中档题.
利用对数的运算法则和指数函数运算法则，化简即可求解；
根据题意得 ，利用同角三角函数的基本关系，化简等式，即可求解.
16.【答案】解： 集合 ，
，
又 ，
当 时， ，
解得 或
当 时，
解得
综上所述，实数 m 的取值范围是
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【解析】本题考查含参数的集合关系的问题，属于中档题.
先求出集合 B，再分 时， 时两种情况讨论即可求解.
17.【答案】解： 由题意知，1 吨荆州鱼糕售价为 4 万元，
当 时，
，
当 时，
，
故 2025 年的利润 的函数解析式为
；
当 时， ，
当 时， 取得最大值 ；
当 时，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
即当 时， 取得最大值 ，
，
当 2025 年的产量为 15 吨时，该厂家所获年利润最大，最大年利润是 55 万元.
【解析】本题考查利用基本不等式求最值，分段函数模型，属于中档题.
根据题设条件，求解分段函数的表达式即可；
利用基本不等式和二次函数求分段函数在各段的最大值，比较大小，即可求解.
18.【答案】解： 令 ，则 ，即 ，
令 ， ，且 ，则 ，
，
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又当 时， ，
，
，
故 在区间 上单调递增.
不存在，理由如下：
在区间 上单调递增，
若关于 x 的不等式 恒成立，
，
即 在区间 上恒成立.
当 时，二次函数 的对称
轴 ，
当 时， ，
又
故当 时，无满足题意的实数
当 时， 二次函数 的对称轴 ，
只需 解得
故当 时，无满足题意的实数
综上所述，不存在实数 k，使得关于 x 的不等式
恒成立.
【解析】本题考查函数单调性的定义，考查不等式的恒成立问题，属于中档题.
根据函数单调性的定义进行判断即可；
根据题意对 k 的范围进行讨论分析即可.
19.【答案】解： 由题意可得 ，
证明：由题意可得 ，
，
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；
，
，
化简得 ，
，即 ，
要想满足题意只有四个整数解，
则必有 ，则 或 ，①
令 ，
， ，
的一个零点必在 内，
不等式恰有 4 个整数解，
个整数解是 0， ， ， ，
故 另一个零点在区间 内，
，即
由①②解得 或 ，
的取值范围是 或
【解析】本题考查了函数的新定义问题，属于中档题.
根据题设对“ ”的定义，求解即可；
分别求解 与 ，即可判断两者大小；
化简得 ，即 ，根据题意，列关于 m 的不等式方
程，求解即可.
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