2025年中考数学几何专项复习专题03平行模型巩固练习(提优)(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何专项复习专题03平行模型巩固练习(提优)(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了已知EM∥BN，问题情境，已知，如图1，已知等内容，欢迎下载使用。

2．如图，AB∥CD，∠A＝38°，∠C＝80°，求∠M．
3．如图所示，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
（1）若∠AEF＝50°，求∠EFG的度数．
（2）判断EG与FG的位置关系，并说明理由．
4．如图，已知AB∥CD，DA平分∠BDC，∠A＝∠C．
（1）试说明：CE∥AD；
（2）若∠C＝30°，求∠B的度数．
5．已知EM∥BN．
（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．
（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．
①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，则∠EFD＝ ．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度数．
6．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 °
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
7．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结果）
8．问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于 （用含α的式子表示）．
9．已知：如图1，AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上一点．
（1）在AB，CD之间有一点M（点M不在线段EF上），连接ME，MF，试探究∠AEM，∠EMF，∠MFC之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在AB，CD之间有两点M，N，连接ME，MN，NF，请选择一个图形写出∠AEM，∠EMN，∠MNF，∠NFC 存在的数量关系（不需证明）．
10．如图1，已知：AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，且OE⊥OF．
（1）求∠1+∠2的度数；
（2）如图2，分别在OE、CD上取点G、H，使FO平分∠CFG，OE平分∠AEH，试说明FG∥EH．
11．（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠M＝90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
12．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为 秒．
13．【问题情境】：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
【问题迁移】：
如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
【问题应用】：
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
14．探究题
已知：如图1，AB∥CD，CD∥EF．
求证：∠B+∠BDF+∠F＝360°．
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小额用到的平行线性质可能是 ．
（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB、EF，然后在平行线间画了一点D，连接BD，DF后，用鼠标拖动点D，分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的∠B、∠BDF与∠F之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图①中∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明：
②补全图③，直接写出∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系： ．
（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图2所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝ ．
平行模型巩固练习（提优）
1．如果AB∥CF，DE∥CF，∠DCB＝40°，∠D＝30°，求∠B的度数．
【解答】110°
【解析】∵DE∥CF，∠D＝30°，
∴∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠BCF＝∠DCF+∠BCD＝30°+40°＝70°，
又∵AB∥CF，
∴∠B+∠BCF＝180°，
∴∠B＝180°﹣70°＝110°．
2．如图，AB∥CD，∠A＝38°，∠C＝80°，求∠M．
【解答】42°
【解析】∵AB∥CD，∠C＝80°，
∴∠MEB＝∠C＝80°．
又∵∠A＝38°，
∴∠M＝∠MEB﹣∠A＝80°﹣38°＝42°．
3．如图所示，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
（1）若∠AEF＝50°，求∠EFG的度数．
（2）判断EG与FG的位置关系，并说明理由．
【解答】（1）25°；（2）EG⊥FG
【解析】（1）∵AB∥CD
∴∠EFD＝∠AEF＝50°，
∵FG平分∠DFE，
∵∠EFG＝∠DFE＝×50°＝25°；
（2）EG⊥FG．
理由：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE，
∴∠GEF+∠GFE＝∠BEF+∠DFE，
＝（∠BEF+∠DFE）
＝×180°
＝90°，
∴∠G＝180°﹣（∠BEF+∠DFE）＝90°
∴EG⊥FG．
4．如图，已知AB∥CD，DA平分∠BDC，∠A＝∠C．
（1）试说明：CE∥AD；
（2）若∠C＝30°，求∠B的度数．
【解答】（1）见解析；（2）120°
【解析】（1）∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵∠A＝∠C，
∴∠ADC＝∠C，
∴CE∥AD；
（2）由（1）可得∠ADC＝∠C＝30°．
∵DA平分∠BDC，∠ADC＝∠ADB，
∴∠CDB＝2∠ADC＝60°．
∵AB∥DC，
∴∠B+∠CDB＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠CDB＝120°．
5．已知EM∥BN．
（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．
（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．
①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，则∠EFD＝ ．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度数．
【解答】（1）∠E+∠EAB+∠B＝360°；（2）①60°；②∠A＝2∠EFD；（3）∠EFB的度数为54°．
【解析】（1）过A作AQ∥EM，
∴∠E+∠EAQ＝180°，
∵EM∥BN，
∴AQ∥BN，
∴∠QAB+∠B＝180°，
∵∠EAB＝∠EAQ+∠QAB，
∴∠E+∠EAB+∠B＝360°；
（2）①由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，
∵∠A＝120°，∠AEM＝140°，
∴∠ABN＝100°，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，
∵EM∥BN，
∴∠EDF＝∠FBC＝50°，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
故答案为60°；
②由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，
∴∠ABN＝360°﹣∠AEM﹣∠A，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF＝∠AEM，∠FBC＝∠ABN，
∵EM∥BN，
∴∠EDF＝∠FBC＝∠ABN，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣∠AEM﹣∠ABN＝180°﹣（360°﹣∠A）＝∠A，
即∠A＝2∠EFD；
（3）设∠EFD＝x，则∠A＝2x，
由题意得4•2x＝3（90+x），
解得x＝54°，
答：∠EFB的度数为54°．
6．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 60° °
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【解答】（1）60°；（2）①∠B＝75°；②当BG上的动点P为∠CDG的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k＝2n．
【解析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x＝360，
解得，x＝60，
∠H的4系补周角的度数为60°，
故答案为60；
（2）①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D＝60°，
∴∠D＝∠DEF＝60°，
∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°＝∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED＝360°﹣3∠B，
∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，
∴∠B＝75°；
②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k＝2n．
7．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结果）
【解答】（1）90°；（2）120°；（3）52°
【解析】（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝40°，
∴∠MGK＝∠BMG＝40°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝40°，
∴∠BMP＝80°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝80°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝40°+α+80°﹣α＝120°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝102°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝102°，
∴x＝26°，
∴∠AME＝2x＝52°．
8．问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于 （用含α的式子表示）．
【解答】（1）40°；（2）∠AEF+∠GFC＝90°（3）60°﹣α
【解析】（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD，
又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，
∴∠1＝40°；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，
又∵∠FEG+∠EGF＝90°，
∴∠AEF+∠GFC＝90°；
（3）如图3，∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，
又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，
∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α．
9．已知：如图1，AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上一点．
（1）在AB，CD之间有一点M（点M不在线段EF上），连接ME，MF，试探究∠AEM，∠EMF，∠MFC之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在AB，CD之间有两点M，N，连接ME，MN，NF，请选择一个图形写出∠AEM，∠EMN，∠MNF，∠NFC 存在的数量关系（不需证明）．
【解答】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）∠EMF＝∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC＝360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，
∴MP∥CD．
∴∠4＝∠3．
∵MP∥AB，
∴∠1＝∠2．
∵∠EMF＝∠2+∠3，
∴∠EMF＝∠1+∠4．
∴∠EMF＝∠AEM+∠MFC；
证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD．
∴∠CFM+∠1＝180°；
∵MQ∥AB，
∴∠AEM+∠2＝180°．
∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2＝360°．
∵∠EMF＝∠1+∠2，
∴∠AEM+∠EMF+∠MFC＝360°；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF﹣∠AEM﹣∠NF C＝180°；
如图2第二个图：∠EMN﹣∠MNF+∠AEM+∠NFC＝180°．
10．如图1，已知：AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，且OE⊥OF．
（1）求∠1+∠2的度数；
（2）如图2，分别在OE、CD上取点G、H，使FO平分∠CFG，OE平分∠AEH，试说明FG∥EH．
【解答】（1）90°；（2）见解析
【解析】证明：（1）过点O作OM∥AB，
则∠1＝∠EOM，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2＝∠FOM，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
即∠EOM+∠FOM＝90°，
∴∠1+∠2＝90°；
（2）∵AB∥CD
∴∠AEH+∠CHE＝180°，
∵FO平分∠CFG，EO平分∠AEH
∴∠CFG＝2∠2，∠AEH＝2∠1，
∵∠1+∠2＝90°
∴∠CFG+∠AEH＝2∠1+2∠2＝180°，
∴∠CFG＝∠CHE，
∴FG∥EH．
11．（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠M＝90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
【解答】（1）AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD＝90°；（3）见解析
【解析】（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠ACD＝2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAM+∠MCD＝90°；
理由：如图2，过M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM＝∠AMF，∠FMC＝∠DCM，
∵∠M＝90°，
∴∠BAM+∠MCD＝90°；
（3）过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD
∴GP∥CD，
∴∠BAC＝∠PGC，∠CHG＝∠PGH，
∴∠PGC＝∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC＝∠CHG+∠CGH．
12．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为 秒．
【解答】（1）60；（2）当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）140或100
【解析】（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°×＝60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠CBP＝t，
又∵∠ACB＝120°
∴∠ACB＝∠CAN+∠CBP＝120°＝180°﹣2t+t，
解得：t＝60，此时AC与BC共线，不符合题意，
或120＝2t﹣180+t，
解得t＝100，
如图4中，当∠ACB＝120°时，
∵∠ACB＝∠MAC+∠QBC，
∴120°＝360°﹣2t+180°﹣t，
∴t＝140，
综上所述，满足条件的t的值为140或100．
故答案为：140或100．
13．【问题情境】：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
【问题迁移】：
如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
【问题应用】：
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【解答】（1）110°；（2）∠APC＝∠α+∠β；（3）∠CPA＝∠α﹣∠β
【解析】（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝∠α﹣∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝∠β﹣∠α．
14．探究题
已知：如图1，AB∥CD，CD∥EF．
求证：∠B+∠BDF+∠F＝360°．
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小额用到的平行线性质可能是 ．
（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB、EF，然后在平行线间画了一点D，连接BD，DF后，用鼠标拖动点D，分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的∠B、∠BDF与∠F之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图①中∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明：
②补全图③，直接写出∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系： ．
（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图2所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝ ．
【解答】（1）两直线平行同旁内角互补；（2）①∠BDF＝∠B+∠F；②∠F＝∠D+∠B．（答案不唯一）；（3）120°
【解析】（1）证明：如图1中，
∵AB∥EF，CD∥EF，
∴CD∥EF，
∴∠B+∠CDB＝180°，∠F+∠CDF＝180°（两直线平行同旁内角互补），
∴∠B+∠CDB+∠CDF+∠F＝360°，
∴∠B+∠BDF+∠F＝360°，
故答案为：两直线平行同旁内角互补．
（2）①结论：∠BDF＝∠B+∠F．
理由：如图①中，作DK∥AB．
∵AB∥DK，AB∥EF，
∴DK∥EF，
∴∠B＝∠BDK，∠F＝∠FDK，
∴∠BDF＝∠BDK+∠FDK＝∠B+∠F．
②如图③中，结论：∠F＝∠D+∠B．（答案不唯一）．
理由：∵AB∥EF，
∴∠1＝∠F，
∵∠1＝∠B+∠D，
∴∠F＝∠D+∠B．
故答案为∠F＝∠D+∠F．
（3）如图2中，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∵∠ABC+∠BAE+∠BCD＝360°，∠BCD＝150°，
∴∠ABC＝360°﹣240°＝120°，
故答案为120°．