2024~2025学年吉林省长春市德惠市九年级上学期12月期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年吉林省长春市德惠市九年级上学期12月期末模拟数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列事件是随机事件的是( )
A. 瓜熟蒂落B. 石沉大海
C. 一箭双雕D. 海底捞月
【答案】C
【解析】A．瓜熟蒂落，这是必然事件，故A不符合题意；
B．石沉大海，这是必然事件，故B不符合题意；
C．一箭双雕，这是随机事件，故C符合题意；
D．海底捞月，这是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
2. 一元二次方程的根的判别式的值是（ ）
A. 4B. 2C. 0D. 8
【答案】D
【解析】∵，
∴，，
∴，
∴根的判别式的值：，
故选：D．
3. 已知，则下列比例式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、，则，故该选项说法正确，符合题意；
B、，则，故该选项说法错误，不符合题意；
C、，则，故该选项说法错误，不符合题意；
D、，则，故该选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
4. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区200名九年级男生，他们的身高统计如下：
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ）
A. B.
C. D. 与m，n的取值有关
【答案】A
【解析】样本中身高不低于180cm的频率，
∴估计他的身高不低于180cm的概率是．
故选A．
5. 若函数的图象上有两点、，则（ ）
A. B.
C. D. 、的大小不确定
【答案】A
【解析】函数的对称轴为直线，
∵二次项系数，
∴函数的图象开口向上，
∴时，随的增大而减小，
∵，
∴，
故选：A．
6. 如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 9
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，
∴．
故选：C．
7. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，若栏杆的旋转角，则栏杆端点升高的高度为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】B
【解析】栏杆端升高的高度（米），
故选：B．
8. 如图，一条抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动，若、的坐标分别为-2,3，，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】B
【解析】∵、的坐标分别为-2,3，，∴，
∵当点P和点A重合时，点的横坐标的最小值为，
∴当点P和点B重合时，点的横坐标的最大值为．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 计算的结果为__________．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
10. 若是关于的一元二次方程的一个根，则______．
【答案】2
【解析】∵b是关于x的一元二次方程的根，
∴，
∴，
故答案为：2．
11. 为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是_________．
【答案】
【解析】设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为，
根据题意，得，
解得（不符合题意，舍去），
答：该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为．
故答案为：．
12. 如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是__________．（填序号）
①；②；③点、、在同一条直线上；④．
【答案】②③④
【解析】∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，且相似比为，点，，三点在同一条直线上，故③正确；
∴，，，故①错误；②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：②③④．
13. 如图，在中，、分别是、的中点，是线段上一点，连结、，若，，，则的长为__________．
【答案】
【解析】，点是AB的中点，，
，，
、分别是AB，的中点，，
故答案为：．
14. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
【答案】
【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米.
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：．
解：
．
16. 解方程：．
解：，∴，
∴或，
解得：，．
17. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（1）求袋子中白球的个数；
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得：，解得：，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
18. 如图，在长为、宽为矩形的四个角上截去四个余等的小正方形，使留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形而积的，求所截去小正方形的边长．
解：设所截去小正方形的边长为，
由题意得，
（舍去），
答：所截去小正方形的边长．
19. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
（1）的面积为__________．
（2）在图①中，在的边上找一点，连接，使的面积为2．
（3）在图②中，在的边上找一点，连接，使的面积为．
解：（1）的面积为
故答案为：．
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示，即为所求.
理由如下，
∵
∴
∴
∴
∴
20. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，求连接杆的长度．
(参考数据：，，)
解：如图，过点作于点．
在中，，，
，，
，，
，
∴
答：连接杆的长度为．
21. 如图、已知，，，，，．
（1）求的长．
（2）求证：．
（1）解：在中，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
22. 我们知道，三角形三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多性质，如关于线段比、面积比等等一些结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请完成如下问题：
（1）若是的一条中线（如图①），点在上，且满足，则点__________的重心（填“是”或“不是”）；
（2）若点是的重心（如图②），连结并延长交于．证明：；
（3）在（2）成立的条件下（如图③），点在上，且，连结，若的面积是，则的面积是__________．（用含的代数式表示）
（1）解：点O是的重心，
理由如下：如图①，作中线，与交于点Q，则点Q为的重心．
∵是中线，是中线，
∴点E是的中点．点D是的中点，
∴是中位线，
∴，且．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴点Q与点O重合（是同一个点），
∴点O是的重心，
故答案为：是；
（2）证明：如图②，连接并延长，交于点E．
∵点O是的重心，
∴是中线，点E是的中点．
∴是中位线，
∴，且．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图③，连接，
∵点是的重心，
∴是的中线，
∴
∵
∴
又∵点在AB上，且，
∴的面积是．
23. 如图，中，，．动点、分别从点、同时出发，点以每1个单位长度的速度沿向终点运动，点沿折线向终点运动，在CB上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒3个单位长度，连结．设点的运动时间为．
（1）用含的代数式表示的长．
（2）求点到边的距离．
（3）________．
（4）当时，以为对角线作矩形，且点在边上，当时，求的值．
解：（1）当时，；
当时，；
（2）过点作于点，
，且，
∴，
在中，由勾股定理得：
；
（3）在中，，，
∴；
（4）①当时，在矩形中，
∴，
在中，，
∵，∴，∴，
当时，，
∴，
∴，
∴；
②当时，若，则，
∴，
∵，
∴，
∴,
即，
∴．
24. 已知二次函数的最大值为4，且抛物线过点，点是轴上的动点，抛物线与轴交点为，顶点为．
（1）求该二次函数的解析式、及顶点的坐标：
（2）求的最大值；
（3）当取最大值时，对应的点的坐标是__________；
（4）设是轴上的动点．若线段与函数的图象只有一个公共点，直接写出的取值范围．
解：（1）∵二次函数的最大值为4，且抛物线过点，
∴对称轴为：，
∴将代入得：，即：，
∴将代入得：，即：，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式：，
∴顶点的坐标：；
（2）∵抛物线与轴交点为，二次函数解析式为，
∴令，即，
∴，
∵，
∴由构成三角形三边关系可知：，
∴当三点共线时有最大值，；
（3）∵，，
∴设直线解析式为，，解得：，∴，
∵点是轴上的动点，
∴将代入，∴；
（4）∵，∴，
设线段所在直线解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴，
∴①当线段过点时，即点与点重合时，线段与函数有一个公共点，此时，
当线段过点时，即点与重合时，，此时线段与函数有两个公共点，
∴当时，线段与函数有一个公共点；
②线段与有一个公共点时，则
，整理得：，
∴，解得：，
∴当时，线段与也有一个公共点；
③当线段过点时，即点与重合时，线段只与有一个公共点，此时，
∴当时，线段与也有一个公共点，
综上所述：的取值范围是或或．组别
人数
10
m
n
42