山东省泰安市岱岳区2024-2025学年上学期九年级数学期中考试卷（解析版）-A4

这是一份山东省泰安市岱岳区2024-2025学年上学期九年级数学期中考试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，每小题4分，共40分．，解答题，8个小题，共86分．等内容，欢迎下载使用。
1. 下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（ ）
A. 读一本书，已读的页数与未读的页数
B. 长方形的周长一定，长方形的长与宽
C. 圆的面积和半径
D. 平行四边的面积一定，它的底和高
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例的意义，掌握“两个相关联的量对应的乘积一定，则这两个量成反比例关系”知识点是解题的关键．根据成反比例的意义，对选项逐一分析判定即可．
【详解】解：读一本书，已读的页数未读的页数总页数（一定），和一定，不满足成反比例的关系，故A选项错误；
长方形的周长一定，则长方形的长与宽之和一定，不满足成反比例的关系，故B选项错误；
圆的面积和半径满足公式，显然不满足成反比例的关系，故C选项错误；
平行四边的面积一定，则它的底和高的乘积一定，满足成反比例的关系，故D选项正确．
故选：D．
2. 已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，掌握函数与不等式的关系是解答关键．
根据图象确定出它们的交点，利用交点坐标来确定出不等式的解集．
【详解】解：由图象可知，一次函数与反比例函数的交点是和，
所以当或时，．
故选：C．
3. 下列函数中y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
根据一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：A、∵，则在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
B、，对称轴为y轴，在y轴左侧，y的值随x值的增大而减小，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、，，∴y的值随x值的增大而减小，故本选项符合题意；
D、，，∴y的值随x值的增大而增大，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 最接近下列哪个数值（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．先得到，，据此即可估算得到的值．
【详解】解：∵，，
观察四个选项，最接近，
故选：C．
5. 已知点，则下列各点与点A在同一反比例函数图像上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数k，把各个点代入检验即可．
【详解】解：∵，，，，
∴只有A选项和点在同一反比例函数图像上．
故选：A．
6. 抛物线图像关于坐标原点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质和关于原点对称的抛物线的解析式的确定，解题的关键是确定旋转后的a的值和顶点坐标．
先确定旋转后的a的值和顶点坐标，再根据顶点式写出即可．
【详解】解：∵抛物线的，顶点是，
∴关于坐标原点成中心对称的抛物线的，顶点是．
∴得到的抛物线是：．
故选：D．
7. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的图象．应该识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．根据、的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】解：A、二次函数的图象开口向下，
；
又该二次函数与轴交于负半轴，
；
一次函数的图象应该经过第二、三、四象限，与原图不符；
故本选项错误；
B、二次函数的图象开口向下，
；
又该二次函数与轴交于正半轴，
；
一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，与原图相符；
故本选项正确；
C、二次函数的图象开口向上，
；
又该二次函数与轴交于负半轴，
；
一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，与原图不符；
故本选项错误；
D、二次函数的图象开口向上，
；
又该二次函数与轴交于正半轴，
；
一次函数的图象应该经过第一、二、三象限与原图不符；；
故本选项错误．
故选：B
8. 如图，二次函数经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，，则．其中，正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，
①根据图象与轴有两个交点，即可判断；
②根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；
③根据抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为，可得抛物线与x轴的一个交点为，然后根据增减性得出当时对应的函数值，即可判断；
④根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断；
掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
【详解】解：①∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，
∴，
∵抛物线与y轴交点在轴下方，
∴，
∴，故结论②正确；
③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，
又∵当时，，
∴当时，，
即，故结论③错误；
④∵，
∴，
∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，
∴，
∴，故结论④正确；
综上所述，①②④正确，正确的结论有个．
故选：C．
9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键．连接网格中适当的格点，构造出直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，设每个小正方形的边长为1，
根据勾股定理得：，，，
，
，
在中，
，
故选：C．
10. 已知二次函数，当时，，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【详解】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3（a＞0），
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，该函数取得最小值﹣a+3，
∵当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，当y＝3时，x＝2或x＝0，
∴1≤m≤2，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题，每小题4分，共24分．
11. ______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值计算，代入特殊角度的三角函数值计算即可，熟记特殊角度的三角函数值是关键．
【详解】解：原式，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是．设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，，．根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值．
【详解】解：连接，
设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是．
则，，．
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，即，
∴，
则．
故答案是：．
13. 二次函数的顶点坐标是（ ）．
【答案】
【解析】
【分析】先把一般式配成顶点式得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，能把一般式配成顶点式是解题的关键．
14. 如图，一块三角形的玻璃，已知与的夹角为，，，这块三角形玻璃的面积是___________（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角函数的应用：
过点作，交的延长线于点，根据解直角三角形的方法即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
15. 一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要查了二次函数的实际应用．令，即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，
∴球弹起后又回到地面所经过的时间是秒．
故答案为：3
16. 如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是______．

【答案】8或18
【解析】
【分析】先利用待定系数法求出正比例函数和反比例函数的表达式，然后将分别代入两个表达式中，即可求出x的值．
本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数和反比例函数的表达式，以及已知因变量的值求相应的自变量的值，熟练掌握待定系数法及数形结合法是解题的关键．
【详解】解：设时，正比例函数的表达式为，
则，
解得，
∴正比例函数的表达式为．
设时，反比例函数的表达式为，
则，
解得，
∴反比例函数的表达式为．
当时，把代入得，
，
解得．
当时，把代入得，
，
解得．
综上，当时，x的值是8 或18．
故答案为：8或18．
三、解答题，8个小题，共86分．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
直接根据特殊角的三角函数计算即可．
【详解】解：
．
18. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．
（1）求关于的函数解析式；
（2）当时，求的值；
（3）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围．
【答案】（1）
（2）0.15A （3）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式；
（2）将代入解析式，求出I的值即可；
（3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果．
【小问1详解】
解：设，由图象可知，
当时，，
，
；
【小问2详解】
解：当时，；
【小问3详解】
解：当，，
当，，
该台灯的电阻的取值范围为．
19. 如图，在中，，．
（1）求的值；
（2）延长至点，使得，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查三角函数求值，等腰三角形性质，勾股定理．
（1）过点作的垂线，垂足为，利用等腰三角形性质得到，然后根据勾股定理求出，然后利用正弦的概念求解即可；
（2）根据题意利用即可求出本题答案．
【小问1详解】
解：过点作的垂线，垂足为，
，，
．
在中，，
∴．
【小问2详解】
解：中，，即，
，
．
20. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
（1）根据上表填空：
①抛物线经过点（， ），对称轴为___________；
②方程的解是___________，当时，取值范围是___________；
（2）求该抛物线的解析式．
【答案】（1）①8，直线；②，1，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等；
（1）①抛物线与x轴的交点坐标是和，可得抛物线的对称轴为，由函数的对称性可得及时的函数值相等，故由对应的函数值可得出所对应的函数值，从而得出正确答案；
②由抛物线与x轴的交点坐标即可得到方程的解；由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，从而求解；
（2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标和，与y轴的交点坐标代入即可求出．
【小问1详解】
解：由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标是和，
∴对称轴直线；
∵抛物线经过点，点和关于直线轴对称，
∴抛物线经过点，
故答案为：8，直线；
②由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标是和，
∴方程解是或1；
∵对称轴为直线，
由表格可得：在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴抛物线开口向上，
由①得：抛物线与x轴的交点坐标是和，
∴当时，；
故答案为：，1，；
【小问2详解】
解：由表格可得：抛物线与x轴的交点坐标是和，与y轴的交点坐标是，
代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：．
21. 反比例函数（部分）与一次函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B是反比例函数图像上的一点，过点B作x轴的平行线，交y轴于点D，交一次函数图像于点C．当时，求线段的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出反比例函数解析式．
（1）先把代入，求出m的值，然后再将点A代入求出反比例函数解析式即可；
（2）先根据题意求出，，然后再求出的值即可．
【小问1详解】
解：反比例函数与一次函数的图象交于点，
，
，
即，
反比例函数为；
【小问2详解】
解：根据题意得：轴，
∴轴于点，
，
、的纵坐标为1，
把代入，得，把代入，得，
，，
．
22. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告：
（1）求无人机从点到点处的飞行距离；
（2）求慈氏塔的高度．
【答案】（1）
（2）慈氏塔的高度为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定与性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于常考题型．
（1）先根据题意可求出，，再根据中，即可解答；
（2）过点D作，交延长线于点H，设，则，解直角三角形求出x的值，证明四边形是矩形，得到，由即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意得：，，
在中，，
；
【小问2详解】
解：过点D作，交延长线于点H，
，
，
，
设，则，
在中，
，
，
解得：，
，
，
四边形是矩形，
，
，
答：慈氏塔的高度为．
23.
【答案】（1）；（2）门高为；（3）此时的长为．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线的解析式为，又抛物线过，求出即可得解；
（2）依据题意，设，又在抛物线，求出后即可得解；
（3）依据题意，由，，可得直线为，再结合，可设为，进而可得，根据直线与抛物线相切△，求出后即可得直线，最后可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为，
可设抛物线的解析式为．
又抛物线过，
．
．
抛物线的解析式为；
（2）由题意，设，
．
又在抛物线，
．
或（舍去）．
；
答：门高为；
（3）由题意，，，
直线为．
又∵，
可设为．
．
．
△．
．
直线为．
令，
．即，
答：此时的长为．
24. 已知函数（a是常数）．
（1）若该函数的图象与x轴只有1个公共点，求a的值；
（2）当时，设该函数图象的顶点为M，与y轴交点为C，平面直角坐标系原点为O，若点C关于的对称点恰好在x轴上，直接写出a的值．
【答案】（1）或
（2）当或时，点C关于的对称点恰好在x轴上．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数系数与函数图象的关系．
（1）需考虑为0和不为0的情况，当时图象为一直线；当时图象是一抛物线，由判别式判断；
（2）先求得抛物线的顶点为，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点C关于的对称点的坐标为2,0或，根据两对称点的中点在直线上，求解即可．
【小问1详解】
解：当时，函数为，它的图象显然与轴只有一个交点；
当时，依题意得方程有两相等实数根，
∴，
∴，
∴当或时函数图象与轴只有一个交点；
【小问2详解】
解：∵，
∴顶点，
令，则，
∴，
∵点C关于的对称点恰好在x轴上，
∴这个对称点的坐标为2,0或，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
和2,0的中点坐标为，在直线上，
∴，
解得；
和的中点坐标为−1,1，在直线上，
∴，
解得；
0
1
2
0
0
8
课题
测量慈氏塔的高度
测量工具
测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程
如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为
说明
点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据：
草莓种植大棚的设计
生活背景
草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型
（1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．
解决问题
（2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值．
（3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长．