山东省曹县第一中学2025届高三上学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份山东省曹县第一中学2025届高三上学期第二次月考数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，，则( )
A.B.C.3D.4
3．命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
4．已知为奇函数，当时，，当时，，则( )
A.B.
C.D.
5．已知关于x的不等式的解集为，则下列结论错误的是( )
A.B.的最大值为
C.的最小值为4D.的最小值为
6．如图所示，梯形中，，点E为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设M、N分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．若关于x的不等式在上恒成立,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A.B.C.D.
9．已知数列满足，记数列的前n项和为，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
10．如图，点A，B，C是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，，则( )
A.
B.
C.函数在上单调递减
D.若将函数的图象沿x轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
11．已知复数，满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是( )
A.B.
C.的最小值为3D.的最小值为3
12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，有下列判断，其中正确的是( )
A.平面平面
B.平面
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.三棱锥的体积不变
13．已知数列满足,,,为数列的前n项和,则下列说法正确的有( )
A.B.
C.D.的最大值为
三、填空题
14．已知函数，若函数有7个零点，则实数b的取值范围是_________.
15．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是______.
四、双空题
16．已知函数的极大值点为0，则实数m的值为_________；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________.
五、解答题
17．如图，在棱长为1的正方体中，O是正方形的中心.
（1）求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积；
（2）求证：平面.
18．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求证：；
（2）若A的角平分线交于D，且，求面积的取值范围.
19．如图，在三棱锥中，，，O为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若点M在棱上，且二面角为30°，求与平面所成角的正弦值.
20．设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和.证明：.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
22．已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数；二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立），已知函数.
（1）试判断在为凹函数还是凸函数？
（2）设，且，求的最大值；
（3）已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为集合，,所以,所以,所以,故选D.
2．答案：B
解析：因为，，
所以.
所以.
故选B
3．答案：D
解析：命题“，”为真命题,则对恒成立,所以,故,
所以命题“,”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可,由于是的真子集,故符合,
故选：D.
4．答案：A
解析：当时，，则在上单调递增，在上单调递减；当时，，则在上单调递减，在上单调递增.又，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又为奇函数，所以的图像如图所示.
因为，，
则，所以.故选A.
5．答案：C
解析：因为关于x的不等式
的解集为,
所以,
所以，,
所以，A正确；
因为，,所以,当且仅当时取等号，
解得，B正确;
,当且仅当时取等号,C错误;
,当且仅当且,即，时取等号，D正确.
故选:C.
6．答案：D
解析：，，
梯形为直角梯形，
，
，即，
由，同理可得，
又向量在向量上的投影向量的模为4，所以，
以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，
，
，
所以，
由且可得，
令，则由对勾函数单调性知，
当时单调递减，时单调递增，
故，由，知，，
故，
故选：D.
7．答案：B
解析：由题设,显然,由,
即,即,
设,,则,
而,则函数在R上单调递减,所以,
即在上恒成立,即在上恒成立,
设,,则,
令,得;令,得,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
则,即,
又,所以a的取值范围是.
故选：B.
8．答案：C
解析：四棱锥的底面与球面的交线是圆，所以四棱锥的底面是圆内接四边形。要四棱锥的体积最大，需四棱锥的底面面积最大，此时四棱锥的底面是正方形，设其边长为a.
记底面四个点分别为A、B、C、D,四棱锥的体积最大时平面于E,则E是正方形的中心.
设,由勾股定理,,
,R为球的半径,且
,
四棱锥的体积
令,即.
故选：C.
9．答案：A
解析：因为，,所以，,
所以,,
,故
由累加法可得当时，
又因为当时,也成立,所以
所以,
,故，
由累乘法可得当时,
所以
另设，,可得在递增,接下来运用待定系数法估计的上下界，设，则探索也满足上界的条件.
在此条件下,有
注意到,取，,从而,此时可得.
故选:A.
10．答案：ACD
解析：令,
可得或,
由图可知:,
,
,
所以,,
所以,
所以,故A正确;
可得,由得
所以,所以,
所以
可得,故B错误；
当时,,
因为在为减函数,故在上单调递减，故C正确；
将函数的图象沿x轴平移个单位得，(时向右平移,时向左平移)，
为偶函数得,所以,则的最小值为,故D正确.
故选:ACD.
11．答案：ABD
解析：为纯虚数,可设,,
选项A正确;
对B:设,,则,即,则所对应点的轨迹是以为圆心,以2为半径的圆,,.选项B正确;
对C：为纯虚数,对应点在y轴上（除去原点）,所对应点的轨迹是以为圆心,以2为半径的圆,的取值范围为,无最小值,选项C错误；
对D：,
表示点到以为圆心,以2为半径的圆上的点的距离，
为纯虚数或0，在y轴上（除去点）,
当时取得最小值3.选项D正确.
故选:ABD.
12．答案：ABD
解析：对于A，连接，如图，
因为在正方体中，平面，
又平面，所以，
因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
因为与为平面内两条相交直线，可得平面，
又平面，从而平面平面，故A正确；
.
对于B，连接，，如图，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故B正确；
对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，
因为，所以为等边三角形，
当P与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；
当P与线段的中点重合时，与所成角取得最大值；
所以与所成角的范围是，故C错误；
对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，
即点P到面平面的距离不变，不妨设为h，则，
所以三棱锥的体积不变，故D正确.
故选：ABD.
13．答案：ACD
解析：对于A,当n为奇数时,,又,
,则,A正确;
对于B,当n为偶数时,,又,;
由A知：当n为奇数时,;
则当n为偶数时,;
当n为奇数时,;
,B错误;
对于C,,C正确;
对于D,当时,,
当k为偶数时,;当k为奇数时,;
当时,,
当k为偶数时,;当k为奇数时,;
综上所述：,D正确.
故选：ACD.
14．答案：1；
解析：函数的图象如图所示,令,函数可化为,函数有7个零点,等价于方程有7个不相等的实根,当时,可有三个不相等的实根,当时,可有四个不相等的实根,
当时,可有三个不相等的实根，
设的两根为,,且,
若,,方程无零根,不符合题意,
若,,,由题意可知:
,
若,,则有,此时,这时,显然不满足,综上所述实数b的取值范围是.
15．答案：
解析：以圆心为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，，，，
设，于是
因为，所以，
故的取值范围是.
16．答案：1；
解析：，
易知函数在单调递增,在单调递减，
函数的极大值点为,则,解得；
令，,则等价于,即,
依题意，实数，满足且不等式恒成立，
由前面分析不妨设，
下证恒成立,即证,又在上单调递减,
只需证,即证,
设,
则
在上单调递增,则,即,即得证.
若,则,又在上单调递增,则,
设,
则，
在上单调递增,则,即,矛盾.
综上，恒成立，故.
故答案为:1；.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为正方体的棱长为1，所以，，是直角三角形，所以绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为，
高为1的圆锥，其体积为；
（2）连接，如图.在正方体中，易知，
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面.
又平面，所以，
同理可证平面，所以.
因为，平面，所以平面.
法二：以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
则，，
所以，，又，平面，
所以平面.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理得
又，
所以
因为为锐角三角形，所以，，，
又在上单调递增，所以，即；
（2）由（1）可知，，所以在中，，
由正弦定理得：，所以，
所以.
又因为为锐角三角形，所以，，，
解得，所以，即面积的取值范围为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）因为，O为的中点，
所以，且.
连结.因为，所以为等腰直角三角形，
且,，由知.
由,知，平面.
（2）如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得，，，，，，
取平面的法向量.
设，则.设平面的法向量为.
由，得，
可取
所以，由已知得.
所以解得.解得（舍去），.
所以，又，所以.
所以与平面所成角的正弦值为.
20．答案：（1），；
（2）证明见解析.
解析：（1）因为是首项为1的等比数列且,,成等差数列，
所以，所以，即，解得，
所以，所以
（2）由（1）可得，
，①
，②
①-②得，
所以，
所以，所以.
21．答案：（1）答案见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）因为，定义域为R，所以，
当时，由于，则，故恒成立，所以在R上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
22．答案：（1）凸函数；
（2）；
（3）
解析：（1），所以，，
因为，所以，所以在为凸函数。
（2）由（1）知在内为凸函数，
又，且，
所以.
所以.
（3）令，则在上恒成立，
则，且，
当，，不合题意舍去；
当，则，故，
令，
则
，
令，则，
所以在上递增，所以，
所以，即在上递增，
又，则，所以在上递增，
又，即，符合题意；
当，令，则，
所以，
不合题意舍去，综上，正整数a的取值集合为.