辽宁省大连市名校2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省大连市名校2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，三象限D.第二，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
2．用配方法解方程，配方正确的是( )
A.B.C.D.
3．若关于x的一元二次方程有实数根,则k的取值范围是( )
A.B.C.,且D.,且
4．抛物线的顶点坐标是( )
A.B.C.D.
5．关于函数,下列描述错误的是( )
A.开口向下B.对称轴是直线
C.函数最大值是D.当时,y随x的增大而增大
6．反比例函数的图象位于( )
A.第一、三象限B.第一、四象限
C.第二、三象限D.第二、四象限
7．如图,点P是反比例函数(,)图象上一点,过点P作轴于点A,点B是点A关于x轴的对称点,连接,若的面积为18,则k的值为( )
A.18B.36C.D.
8．将含有角的直角三角尺按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中,在x轴上,若,将三角尺绕原点O顺时针旋转,则点A的对应点的坐标为( )
A.B.C.D.
9．如图,D是边上一点,连接,则添加下列条件后,仍不能判定的是( )
A.B.
C.D.
10．如图,正方形,点F在边上,且,,垂足为M,与交于点N,延长至G,使,有如下结论：①；②；③；④.上述结论中,正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
11．已知函数是反比例函数,则______.
12．已知点关于原点的对称点在第四象限,则a的取值范围是______.
13．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是平方步,其中长与宽和为步,问长与宽各多少步？若设长为x步,则可列方程是______(方程化为一般形式).
14．已知二次函数中,函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则当时,x的取值范围是______.
15．如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连接,点N在y轴负半轴上,点A绕点N顺时针旋转,恰好落在第四象限的抛物线上点M处,且,则点M的坐标是____________.
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2).
17．我国快递行业迅速发展,经调查,某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件,4月份投递快递总件数33.8万件,假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同.
(1)求该公司投递快递总件数的月增长率；
(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变,那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？
18．小明要把一篇文章录入电脑,完成录入的时间y(分)与录入文字的速度x(字/分)之间的函数关系如图.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)小明在19:20开始录入,要求完成录入时不超过19:35,小明每分钟至少应录入多少个字？
19．如图,在平行四边形ABCD中,过点A作,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且.
(1)求证：；
(2)若,,,求AE的长.
20．如图,一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与反比例函数()的图象交于点,.
(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)连接,求的面积.
21．如图①,桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分,在某一时刻,桥拱内的水面宽,桥拱顶点B到水面的距离是.
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系,求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来,当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时,桥下水位刚好在OA处,有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾,他的头顶是否会触碰到桥拱,请说明理由(假设船底与水面齐平).
22．综合与实践
问题情境：
数学活动课上,老师发给每位同学一个直角三角形纸片,,,.
问题发现
奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合,然后展开铺平,得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到.点E,C的对应点分别是点F,G,直线与边交于点M(点M不与点A重合),与边交于点N.
如图1小明发现,折痕的长很容易求出,并且和的数量关系也能证明.
如图2小红发现,在绕点D旋转的过程中,当直线经过点B时或直线时,的长都可求…….
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现,讨论后提出问题1和问题2,请你解答.
问题1：如图1,按照如上操作
(1)折痕的长为______；
(2)在绕点D旋转的过程中,试判断与的数量关系；并证明你的结论；
问题2：在绕点D旋转的过程中,探究下列问题：
①如图2,当直线经过点B时,的长为______；
②如图3,当直线时,求的长；
拓展延伸：
小刚受到探究过程的启发,在绕点D旋转的过程中,尝试画图,并提出问题3,请你解答.
问题3：在绕点D旋转的过程中,连接,当取最小值时,请直接写出的面积.
23．【定义】若连接抛物线与坐标轴的三个交点形成线段,若其中一段线段与坐标轴夹角为45度,则图象称为美感抛物线.如图,抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.
(1)请判断抛物线是否为美感抛物线；
(2)如图,抛物线上存在一动点D横坐标是,过点D作直线轴于点E,与直线交于点F.当D,E,F形成的线段中,某两段线段长度相等时,求线段的长；
(3)若点N、点M、点P分别为在坐标平面内、在抛物线对称轴上、在抛物线上(不与顶点重合)的动点,是否可以形成邻边之比为的矩形,请直接写出点P的横坐标.
参考答案
1．答案：B
解析：A、不是中心对称图形,不符合题意；
B、是中心对称图形,符合题意；
C、不是中心对称图形,不符合题意；
D、不是中心对称图形,不符合题意；
故选：B.
2．答案：A
解析：方程即为，
在方程的两边都加上，得，
即.
故选：A.
3．答案：D
解析：关于x的一元二次方程有实数根,
,,
解得：,且
故选：D.
4．答案：C
解析：抛物线的顶点坐标是,
故选C.
5．答案：D
解析：函数为,
则,开口向下,A正确,不符合题意；
对称轴为,B正确,不符合题意；
顶点坐标为,
又∵开口向下
∴函数有最大值为,C正确,不符合题意；
∵,开口向下,对称轴为
∴当时,y随x的增大而减小,D错误,符合题意；
故选：D
6．答案：D
解析：∵,,
∴函数图象过二、四象限.
故选：D.
7．答案：C
解析：连接,
点B是点A关于x轴的对称点,
,
,
的面积为18,
,
.
又反比例函数的图象在第二象限,
.
故选：C.
8．答案：C
解析：如图,过作于C,
由旋转的性质可知,,,
∴,,
∴,
由勾股定理得,,
解得,,
∴,
故选：C.
9．答案：C
解析：A.当时,再由,可得出,故此选项不符合题意；
B.当时,再由,可得出,故此选项不符合题意；
C.当时,再由,无法判定,故此选项符合题意；
D.当,即时,再由,可得出,故此选项不符合题意.
故选C.
10．答案：C
解析：∵四边形是正方形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,故①正确；
∵四边形是正方形,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,故②正确；
作于H,如图：
设,,则,,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,故③正确；
设的面积为m,
∵,
∴,
∴的面积为,的面积为,
∴的面积的面积,
∴,故④错误；
综上①②③正确,共2个,
故选：C.
11．答案：
解析：∵函数是反比例函数,
∴,且,
解得,
故答案为：.
12．答案：
解析：∵点关于原点的对称点在第四象限,
∴点P在第二象限,
∴,
解得：.
故答案为：.
13．答案：
解析：设长为x步,则宽为步,根据题意,可列方程为,
整理得：
故答案为：.
14．答案：/
解析：由表格可知,和时的函数值相同,
∴对称轴为直线,
∵当时的函数值小于时的函数值,
∴二次函数开口向上,
∴在对称轴由此y随x增大而增大,在对称轴左侧,y随x增大而减小,
∵时,,
∴时,,
∴当时,x的取值范围是,
故答案为：.
15．答案：
解析：如图,过点N作的延长线于点E,过点N作于点F,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,,
∴,
∴,
∴.
设与x轴交于点D.
∵,,
∴,
∴.
∵抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,
∴点A的坐标为,点C的坐标为,
∴,
∴点D的坐标为,
设直线的解析式为,
代入和得,
解得：,
∴直线的解析式为.
联立,
解得(舍去)或,
∴点M的坐标为.
故答案为：
16．答案：(1),
(2),
解析：(1)∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴,
解得,；
(2)∵,
∴,,,
∴,
∴,
解得,.
17．答案：(1)该公司投递快递总件数的月增长率为
(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变,那么5月份投递快递总件数不能达到45万件
解析：(1)设该公司投递快递总件数的月增长率为x,
依题意得：,
或
,(不符合题意,舍去)
即增长率为,
答：该公司投递快递总件数的月增长率为
(2)4月份投递快递总件数33.8万件,月增长率为,则5月份投递快递总件数为：
,
因为,即5月份投递快递总件数不能达到45万件,
答：若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变,那么5月份投递快递总件数不能达到45万件.
18．答案：(1)
(2)小明每分钟至少录入100个字
解析：(1)设,把代入得,,解得,
∴y与x的函数表达式为.
(2)∵当时,,
∵,在第一象限内,y随x的增大而减小,
∴小明录入文字的速度至少为100字/分.
答：小明每分钟至少录入100个字.
19．答案：(1)见解析
(2)6
解析：(1)证明：四边形是平行四边形,
,,
,.
,,
.
在与中,
.
(2)四边形是平行四边形,
.
由(1)知,
,
.
,,
,
,
在中,由勾股定理得：.
20．答案：(1),
(2)3
解析：(1)∵双曲线()过点和,
∴,解得,.
∴反比例函数的解析式为.
∵直线过点和,
∴,解得,.
∴一次函数的解析式为.
(2)当时,,即.
∴.
如图所示,过点D作轴于点E.
∵,
∴.
∴.
21．答案：(1)
(2)不会碰到头,理由见解析
解析：(1)如图②,由题意得：水面宽OA是8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m,
结合函数图象可知,顶点,点,
设二次函数的表达式为,
将点代入函数表达式,
解得：,
∴二次函数的表达式为,
即；
(2)工人不会碰到头,理由如下：
∵小船距O点0.4m,小船宽1.2m,工人直立在小船中间,
由题意得：工人距O点距离为,
∴将代入,
解得：,
∵,
∴此时工人不会碰到头.
22．答案：问题1：(1)
(2),证明见解析
问题2：①；②
问题3：
解析：问题1：(1)∵折叠三角形纸片使点C与点A重合,然后展开铺平,得到折痕,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴为的中位线,
∴.
故答案为：
(2)如图,连接,
∵将绕点D顺时针方向旋转得到,
∴,,
在和中,,
∴,
∴.
问题2：①∵将绕点D顺时针方向旋转得到,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
设,
在中,,
∴,
解得：,即,
∴.
故答案为：.
②过点A作于H,交于K,
∵,
∴,
∵,
∴四边形是矩形,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
解得：,
∴,
∵
∴,
∴,,
解得：.
问题3：如图,连接、,
∵,
∴A、F、D三点共线时,,此时的值最小,最小,
∵,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,即,
解得：,
∴.
23．答案：(1)抛物线是美感抛物线
(2)或2
(3)或或
解析：(1)∵抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.
∴令,则
解得,,
则结合图象,得,,
令,则；
∴点,
∴,
∵
∴
∴抛物线是美感抛物线；
(2)设直线的表达式为,
由点、的坐标得,
解得
∴直线的表达式为：,
由题意得,点,点,则点,
则,
当点E在之间时,存在点F是的中点,
则,
解得：(舍去)或,
则；
当点E在之间时,
同理可得：,
解得：(舍去)或1,
则,
综上,或2；
(3)设点,点,
当四边形是矩形时,则为直角,
当点P在对称轴的左侧时,如下左侧图,
过点M作y轴的垂线交y轴于点G,交过点P和y轴的平行线于点H,
为直角,
则,
,
,
∵四边形是矩形邻边之比为,
即或,
即和的相似比为或,
即,
由题意得：,,,,
即或,
解得：(舍去)或；
当点P在对称轴右侧时,
同理可得：或,
解得：或,
综上,或或.
∴点P的横坐标为或或.
x
…
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…