北京市中关村中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 -

这是一份北京市中关村中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 -，共36页。
A．3B．2C．1D．﹣1
2．（2分）2024年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）把二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+1B．y＝2（x+3）2﹣1
C．y＝2（x﹣3）2+1D．y＝2（x﹣3）2﹣1
4．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．BC＝CEB．∠D＝∠AC．CE＝AED．AB⊥DE
5．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝48°，∠B＝32°，则∠APD的大小为（ ）
A．100°B．80°C．40°D．16°
6．（2分）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是x＝0，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0
7．（2分）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．130°
8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（3，2），D（5，﹣1），y是关于x的二次函数，抛物线y经过点A，B，C．抛物线y2经过点B，C，D，抛物线y3经过点A、B，D，抛物线y4经过点A，C，D．下列判断其中正确的是（ ）
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；
④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
二.填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ ＝0有两个不相等的实数根．
10．（2分）在圆形展厅的边缘点A处安装了一台监视器，它的监控角度是63°，为了监控整个展厅，小聪建议在圆形边缘上最少共安装 台这样的监视器．
11．（2分）如图，学校计划在一块长50m，宽20m的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，若两个矩形绿地面积共520m2，那么人行通道的宽度是多少米．设人行通道的宽度是x米，可列方程为 ．
12．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有A(-12，y1)，B（1，y2），C（5，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
13．（2分）工人师傅对残破的圆形古画进行修复，将直角尺的三个顶点A，C，B落在圆上，测得AC＝6cm，BC＝8cm，则这幅圆形古画的半径是 cm．
14．（2分）如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出下面五条信息：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确的是 ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，4），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，则PE2+PF2的值是 ．
16．（2分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最大值是 ．
三.解答题（共68分，第17题6分，18题-20题，每题5分，第21题4分，22题6分，23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2+6x﹣2＝0．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）如果此方程有一个根小于1，求m的取值范围．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的点坐标分别是A（1，1），B（2，3），C（4，2），
（1）以点A为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，则∠CAB1＝ ；
（2）画出△ABC关于点O（0，0）的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若△ABC上有一点P（m，n），则△A2B2C2上对应点P2的坐标 ．
20．（5分）已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如表，
（1）求二次函数解析式；
（2）判断点P（4，﹣10） 该函数的图象上（填“在”或“不在”）．
21．（4分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD=12∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；
③连接BP交AC于点D．
线段BD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB=12∠BAC （填推理的依据）．
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝ ．
∴∠CBD=12∠BAC
22．（6分）已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）将函数解析式化为 y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）补全表格，用描点法画出该函数的图象；
（3）结合图象回答下列问题
①函数y＞0时，x的取值范围 ；
②当﹣1＜x＜2时，y的取值范围 ；
③方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3有实根，则m最大值是 ．
23．（5分）如图，学校搭建一款拱门示意图，其中拱门最下端AB＝2米，点C为AB的中点，点D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝3米，求拱门所在圆的半径．
24．（6分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2+4|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：
其中m＝ ．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．
（3）根据函数图象，回答下列问题：
①函数图象与x轴有 个交点，则对应的方程﹣x2+4|x|﹣3＝0有 个实数根；
②当﹣2≤x＜2时，则y的取值范围为 ；
③直线y＝kx+b经过点（﹣2，1），若关于x的方程﹣x2+4|x|﹣3＝kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围 ．
25．（6分）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分．爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：cm）与水平距离x（单位：cm）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
（1）根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）
（2）小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：cm）与水平距离x（单位：cm）近似满足函数关系式y＝﹣0.005（x﹣70）2+36（a＜0），请你判断小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌 超出球桌边缘（填“是”，“否”）．
26．（6分）已知抛物线y＝mx2﹣2m2x（m＞0）
（1）抛物线过点（1，﹣1），则m＝ ；
（2）抛物线经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若对于1＜x1＜3，且x2＝m+2都有y1＞y2，求m的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，点E在射线AB上（不与点A，B重合），将线段CE绕点E顺时针旋转120°得到线段ED，连接AD，取AD中点F，连接FE．
（1）如图1，若点E是AB中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段EF和BE的数量关系，并证明；
（2）当点E在射线AB上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明．
28．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P′，使得MP'＝2MP，则称点P为⊙M的“内半点”．
（1）当⊙O的半径为4时．
①在点P1(3，2)，P2（﹣2，0），P3(-1，5)中是⊙O的“内半点”的是 ；
②已知一次函数y＝kx﹣4k，若一次函数在第一象限的图象上的所有点都是⊙O的“内半点”，求k的取值范围；
（2）已知点M（m，0），B（0，﹣2），C（2，﹣2），⊙M的半径为6，若线段BC上存在⊙M的“内半点”．直接写出m的取值范围．
2024-2025学年北京市海淀区中关村中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共24分，每小题2分）
1．（2分）一元二次方程2x2﹣x+3＝0一次项系数是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
【答案】D
【解答】解：一元二次方程2x2﹣x+3＝0一次项系数是﹣1，
故选：D．
2．（2分）2024年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．（2分）把二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+1B．y＝2（x+3）2﹣1
C．y＝2（x﹣3）2+1D．y＝2（x﹣3）2﹣1
【答案】D
【解答】解：把二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是y＝2（x﹣3）2﹣1，
故答案为：D．
4．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．BC＝CEB．∠D＝∠AC．CE＝AED．AB⊥DE
【答案】C
【解答】解：如图，延长DE交AB于H，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴BC＝CE，∠A＝∠D，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B+∠D＝90°，
∴∠BHD＝90°，
∴DE⊥AB，
故选：C．
5．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝48°，∠B＝32°，则∠APD的大小为（ ）
A．100°B．80°C．40°D．16°
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝32°，
∴∠B＝∠C＝32°，
∵∠APD是△ACP的一个外角，
∴∠APD＝∠A+∠C＝48°+32°＝80°，
故选：B．
6．（2分）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是x＝0，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是x＝0，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a+1≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝1，
故选：A．
7．（2分）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．130°
【答案】B
【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝130°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：B．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（3，2），D（5，﹣1），y是关于x的二次函数，抛物线y经过点A，B，C．抛物线y2经过点B，C，D，抛物线y3经过点A、B，D，抛物线y4经过点A，C，D．下列判断其中正确的是（ ）
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；
④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
【答案】C
【解答】解：由抛物线y1经过点A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（3，2）可得y1=-34x2+94x+2，
同理可得y2=-310x2+910x+2，y3=-35x2+125x+2，y4=-38x2+32x+78，
∵-34＜0，-310＜0，-35＜0，-38＜0，
∴四条抛物线的开口方向均向下，故①正确；
∵四条抛物线表达式中二次项系数与一次项系数都异号，
∴四条抛物线的对称轴都在y轴右侧，
∴当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大，故②正确；
∵y1=-34x2+94x+2=-34（x-32）2+5916，y2=-310x2+910x+2=-310（x-32）2+10740，
∴抛物线y1的顶点（32，5916）在抛物线y2顶点（32，10740）的上方，故③正确；
在y4=-38x2+32x+78中，令x＝0得y=78，
∴抛物线y4与y轴交点（0，78）在点B（0，2）的下方，故④错误；
故选：C．
二.填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ 0（答案不唯一） ＝0有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
10．（2分）在圆形展厅的边缘点A处安装了一台监视器，它的监控角度是63°，为了监控整个展厅，小聪建议在圆形边缘上最少共安装 3 台这样的监视器．
【答案】3．
【解答】解：如图：连接OB，OC，
∵∠BAC＝63°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝126°，
∵360÷126°≈3，
∴为了监控整个展厅，小聪建议在圆形边缘上最少共安装3台这样的监视器，
故答案为：3．
11．（2分）如图，学校计划在一块长50m，宽20m的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，若两个矩形绿地面积共520m2，那么人行通道的宽度是多少米．设人行通道的宽度是x米，可列方程为 （50﹣3x）（20﹣2x）＝520 ．
【答案】（50﹣3x）（20﹣2x）＝520．
【解答】解：∵矩形空地长50m，宽20m，且人行通道的宽度是x米，
∴两块矩形绿地可合成长为（50﹣3x）m，宽为（20﹣2x）m．
根据题意得：（50﹣3x）（20﹣2x）＝520．
故答案为：（50﹣3x）（20﹣2x）＝520．
12．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有A(-12，y1)，B（1，y2），C（5，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y3＜y1＜y2 （用“＜”连接）．
【答案】y3＜y1＜y2．
【解答】解：当x=-12时，y1＝﹣（-12-2）2=-254；
当x＝1时，y1＝﹣（1﹣2）2＝﹣1；
当x＝5时，y1＝﹣（5﹣2）2＝﹣9．
∵﹣9＜-254＜-1，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
13．（2分）工人师傅对残破的圆形古画进行修复，将直角尺的三个顶点A，C，B落在圆上，测得AC＝6cm，BC＝8cm，则这幅圆形古画的半径是 5 cm．
【答案】5．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆的直径，
在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10（cm），
∴这幅圆形古画的半径是5cm，
故答案为：5．
14．（2分）如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出下面五条信息：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确的是 ①⑤ ．
【答案】①⑤．
【解答】解：∵对称轴为x＝1，
∴x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a．
∴2a+b＝0，
由题意，∵a＜0，
∴b＞0．
又与y轴交点在y轴正半轴上，
∴c＞0．
∴abc＜0，故①正确，②错误．
如图所示，抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故③错误；
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故④错误．
∵对称轴为x＝1，且取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c．（m≠1）
∴a+b＞m（am+b），故⑤正确．
综上所述，正确的结论有：①⑤．
故答案为：①⑤．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，4），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，则PE2+PF2的值是 25 ．
【答案】25．
【解答】解：连接PC，
∵P的坐标是（3，0），C的坐标是（0，4），
∴OP＝3，OC＝4，
∴PC2＝PO2+OC2＝25，
∵PF⊥BQ，
∴BF＝FQ，
∵AB是圆的直径，
∴∠Q＝90°，
∵PE⊥AQ，
∴四边形PEQF是矩形，
∴PE＝FQ，
∴PE＝BF，
∵PF2+BF2＝PB2＝PC2＝25，
∴PF2+PE2＝25．
故答案为：25．
16．（2分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最大值是 5+1 ．
【答案】5+1．
【解答】解：连接AP，AC，设AC的延长线交⊙C于E，如图所示：
对于抛物线y＝x2﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝﹣2，或x＝2，
∴点A（﹣2，0），点B（2，0），点C（0，﹣4），
∴OA＝OB＝2，OC＝4，
∵点Q是BP的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
∴OQ=12AP，
∴当AP为最大时，PQ为最大，
根据点与圆的位置关系可知：点A到⊙C上各点的距离中，AE为最大，
∴当点P与点E重合时，OQ为最大，最大值为12AE，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC=OA2+OC2=25，
∵⊙C的半径为2，
∴AE＝AC+CE=25+2，
∴12AE=5+1，
∴OQ的最大值为5+1．
故答案为：5+1．
三.解答题（共68分，第17题6分，18题-20题，每题5分，第21题4分，22题6分，23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2+6x﹣2＝0．
【答案】（1）x1＝0，x2＝3；
（2）x1＝﹣3+11，x2＝﹣3-11．
【解答】解：（1）x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3；
（2）x2+6x﹣2＝0，
x2+6x＝2，
x2+6x+9＝2+9，
（x+3）2＝11，
x+3＝±11，
x1＝﹣3+11，x2＝﹣3-11．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）如果此方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【答案】（1）证明见解答；
（2）m≤0
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝2m﹣2，
∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4（2m﹣2）＝m2+2m+1﹣8m+8＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2，
∵无论m为何值，总有（m﹣3）2≥0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：原方程可化为（x+2）（x+m﹣1）＝0
解得：x1＝﹣m+1，x2＝﹣2，
∵方程有一个根小于1，且﹣2＜1，
∴﹣m+1≥1，
∴m≤0．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的点坐标分别是A（1，1），B（2，3），C（4，2），
（1）以点A为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，则∠CAB1＝ 45° ；
（2）画出△ABC关于点O（0，0）的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若△ABC上有一点P（m，n），则△A2B2C2上对应点P2的坐标 （﹣m，﹣n） ．
【答案】（1）画图见解答；45°．
（2）见解答．
（3）（﹣m，﹣n）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由勾股定理得，AC=32+12=10，AB1=22+12=5，CB1=22+12=5，
∴AB12+CB12=AC2，AB1＝CB1，
∴∠AB1C＝90°，
∴△CAB1为等腰直角三角形，
∴∠CAB1＝45°．
故答案为：45°．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）由题意得，点P2的坐标为（﹣m，﹣n）．
故答案为：（﹣m，﹣n）．
20．（5分）已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如表，
（1）求二次函数解析式；
（2）判断点P（4，﹣10） 不在 该函数的图象上（填“在”或“不在”）．
【答案】不在．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把（﹣1，4），（0，3），（1，0）分别代入得a-b+c=4c=3a+b+c=0，
解得a=-1b=-2c=3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵当x＝4时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣16﹣8+3＝﹣21≠﹣10，
∴P（4，﹣10）不在该函数的图象上．
故答案为：不在．
21．（4分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD=12∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；
③连接BP交AC于点D．
线段BD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB=12∠BAC （圆周角定理） （填推理的依据）．
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝ ∠CPB ．
∴∠CBD=12∠BAC
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，BD为所作；
（2）证明：连接PC，如图，
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB=12∠BAC（圆周角定理），
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝∠CPB，
∴∠CBD=12∠BAC．
故答案为：圆周角定理；∠CPB．
22．（6分）已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）将函数解析式化为 y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）补全表格，用描点法画出该函数的图象；
（3）结合图象回答下列问题
①函数y＞0时，x的取值范围 ﹣1＜x＜3 ；
②当﹣1＜x＜2时，y的取值范围 0＜y≤4 ；
③方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3有实根，则m最大值是 4 ．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）0，3，4，3，0；
（3）①﹣1＜x＜3；
②0＜y≤4；
③4．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0；
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3；
当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4；
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3；
当x＝3时，y＝﹣x2+2x+3＝0；
故答案为：0，3，4，3，0；
如图，
（3）①当y＞0，x的取值范围为﹣1＜x＜3；
故答案为：﹣1＜x＜3；
②当x＝﹣1时，y＝0；
当x＝2时，y＝3，
当x＝1时，y有最大值4，
当﹣1＜x＜2时，y的取值范围为0＜y≤4；
故答案为：0＜y≤4；
③方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3变形为方程﹣x2+2x+3＝m，
当抛物线y＝﹣x2+2x+3与直线y＝m有交点时，方程方程﹣x2+2x﹣m＝﹣3有实根，
而抛物线的顶点的纵坐标为4，
所以m≤4，
即m的最大值为4．
23．（5分）如图，学校搭建一款拱门示意图，其中拱门最下端AB＝2米，点C为AB的中点，点D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝3米，求拱门所在圆的半径．
【答案】53米．
【解答】解：如图，连接OA，
∵CD过圆心，C为AB的中点，AB＝2米，
∴CD⊥AB，AC＝BC=12AB＝1米，
设拱门所在圆的半径为x米，则OA＝OD＝x米，OC＝CD﹣OD＝（3﹣x）米，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC2+OC2＝OA2，
即12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x=53，
答：拱门所在圆的半径为53米．
24．（6分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2+4|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：
其中m＝ 0 ．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．
（3）根据函数图象，回答下列问题：
①函数图象与x轴有 4 个交点，则对应的方程﹣x2+4|x|﹣3＝0有 4 个实数根；
②当﹣2≤x＜2时，则y的取值范围为 ﹣3≤y＜1 ；
③直线y＝kx+b经过点（﹣2，1），若关于x的方程﹣x2+4|x|﹣3＝kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围 ﹣3＜b≤-13 ．
【答案】（1）0；
（2）见解答；
（3）①4，4；②﹣3≤y＜1；③﹣3＜b≤-13．
【解答】解：（1）当x＝3时，y＝﹣x2+4|x|﹣3＝﹣9+4×3﹣3＝0＝m，
故答案为：0；
（2）根据表格数据描点连线绘制函数图象如下：
（3）①从函数图象看，函数图象与x轴有4个交点，即对应的方程﹣x2+4|x|﹣3＝0有4个实数根；
②当﹣2≤x＜2时，从函数图象看，y的取值范围为﹣3≤y＜1；
③从函数图象看若关于x的方程﹣x2+4|x|﹣3＝kx+b有4个互不相等的实数根，则直线处于m、n之间的位置，
对于直线m：直线m过点（2，﹣1）、（﹣1，0），
则函数m表达式为：y＝k（x+1），
将（2，﹣1）代入上式得：﹣1＝3k，则k=-13，
则直线m的表达式为：y=-13（x+1），
则b=-13，
对于直线m：直线m过点（2，﹣1）、（0，﹣3），
则b＝﹣3，
故b的取值范围为：﹣3＜b≤-13．
故答案为：①4，4；②﹣3≤y＜1；③﹣3＜b≤-13．
25．（6分）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分．爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：cm）与水平距离x（单位：cm）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
（1）根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）
（2）小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：cm）与水平距离x（单位：cm）近似满足函数关系式y＝﹣0.005（x﹣70）2+36（a＜0），请你判断小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌 不 超出球桌边缘（填“是”，“否”）．
【答案】（1）小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值为40；y=-1320（x﹣80）2+40；（2）不．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（40，35），（120，35），
∴抛物线的对称轴为：直线x=40+1202=80，
∴当x＝80时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值为40．
∴可设抛物线为y＝a（x﹣80）2+40，
∵抛物线经过（0，20），
∴20＝a（0﹣80）2+40，
∴a=-1320，
∴函数关系式为：y=-1320（x﹣80）2+40；
（2）由题意，令y=-1320（x﹣80）2+40＝0，
∴x＝80+802或x＝80﹣802（舍去）．
又令y＝﹣0.005（x﹣70）2+36＝0，
∴x＝70+602或x＝70﹣602（舍去）．
∵70+602＜80+802，
∴小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌不超出球桌边缘．
故答案为：不．
26．（6分）已知抛物线y＝mx2﹣2m2x（m＞0）
（1）抛物线过点（1，﹣1），则m＝ 1 ；
（2）抛物线经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若对于1＜x1＜3，且x2＝m+2都有y1＞y2，求m的取值范围．
【答案】（1）1；（2）1≤m≤3．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线过点（1，﹣1），
∴﹣1＝m×12﹣2m2．
∴m＝1或m=-12．
∵m＞0，
∴m＝1．
故答案为：1．
（2）由题意，∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴（m+2，y2）点一定位于对称轴的右侧，它的对称点为（m﹣2，y2），
又∵对于1＜x1＜3，x2＝m+2时，都有y1＜y2，
∴（m+2，y2）点在A（x1，y1）右侧，且它的对称点为（m﹣2，y2）在A（x1，y1）的左侧．
∴m+2≥3m-2≤1．
∴m≥1m≤3．
∴1≤m≤3．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，点E在射线AB上（不与点A，B重合），将线段CE绕点E顺时针旋转120°得到线段ED，连接AD，取AD中点F，连接FE．
（1）如图1，若点E是AB中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段EF和BE的数量关系，并证明；
（2）当点E在射线AB上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明．
【答案】（1）BE＝2EF；
（2）结论仍然成立．
【解答】解：（1）∵AB＝BC，∠ABC是等边三角形，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵点E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵线段CE绕点E顺时针旋转120°得到线段ED，
∴∠CED＝120°，
∴∠BED＝∠CED﹣∠BEC＝30°，
∵点D，B，C恰好在一条直线上，
∴∠BDE＝∠ABC﹣∠BED＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BE＝BD，
∵点F是AD的中点，点E是AB的中点，
∴BD＝2EF，
∴BE＝2EF；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图，当点E在AB上时，
延长DE至G，使EG＝DE，连接CG，AG，
∵F是AD的中点，
∴AF＝DF，
∴AG＝2EF，
∵线段CE绕点E顺时针旋转120°得到线段ED，
∴DE＝CE，∠DEC＝120°，
∴EG＝CE，∠CEG＝180°﹣∠DEC＝60°，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠ECG＝60°，
由（1）知，
△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠ECG，
∴∠ACG＝∠BCE，
∴△ACG≌△BCE（SAS），
∴BE＝AG，
∴BE＝2EF，
如图2，当点E在AB的延长线上时，
延长DE至G，使EG＝DE，连接CG，AG，
同理可得，
△ACG≌△BCE，
∴BE＝AG，
∴BE＝2EF．
28．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P′，使得MP'＝2MP，则称点P为⊙M的“内半点”．
（1）当⊙O的半径为4时．
①在点P1(3，2)，P2（﹣2，0），P3(-1，5)中是⊙O的“内半点”的是 P1，P2 ；
②已知一次函数y＝kx﹣4k，若一次函数在第一象限的图象上的所有点都是⊙O的“内半点”，求k的取值范围；
（2）已知点M（m，0），B（0，﹣2），C（2，﹣2），⊙M的半径为6，若线段BC上存在⊙M的“内半点”．直接写出m的取值范围．
【答案】（1）P1，P2；
（2）﹣1≤k＜-33；
（3）﹣42＜m＜2-5或5＜m＜42+2．
【解答】解：（1）根据“内半点”定义可知，⊙M的“内半点”P满足12r＜MP＜r（r为⊙M的半径）；
∵P1(3，2)，P2（﹣2，0），P3(-1，5)，
∴OP1=5，OP2＝2，OP3=6，
∵⊙O的半径为4，
∴⊙O的“内半点”的是P1，P2；
故答案为：P1，P2；
（2）设直线y＝kx﹣4k交x轴于A，交y轴于B，过O作OH⊥直线AB于H，如图：
在y＝kx﹣4k中，令x＝0得y＝﹣4k，令y＝0得x＝4，
∴A（4，0），B（0，﹣4k），
∴AB=42+(-4k)2=4k2+1，
∴OH=OA⋅OBAB=4×(-4k)4k2+1=-4kk2+1k2+1，
∵一次函数在第一象限的图象上的所有点都是⊙O的“内半点”，
∴2＜OB≤4且OH＞2，
∴2＜-4k≤4-4kk2+1k2+1＞2，
解得﹣1≤k＜-33；
（3）①当M在B左侧，MB＝6时，如图：
此时m2+4=6，
解得m＝﹣42（正值已舍去）；
当M在C左侧，MC＝3时，如图：
此时(m-2)2+4=3，
解得m＝2-5（2+5已舍去），
∴﹣42＜m＜2-5；
②当M在B右侧，MB＝3时，如图：
此时m2+4=3，
解得m=5（-5舍去）；
当M在C右侧，MC＝6时，如图：
此时(m-2)2+4=6，
解得m＝42+2（﹣42+2已舍去）；
∴5＜m＜42+2；
综上所述，线段BC上存在⊙M的“内半点“，m的取值范围是﹣42＜m＜2-5或5＜m＜42+2.x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
﹣5
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…





…
x
…
﹣3.7
﹣3.3
﹣2.0
﹣1.0
0.0
0.7
2.0
3.0
3.7
…
y
…
﹣1.89
﹣0.77
1.0
0.0
﹣3
﹣0.77
1.0
m
﹣1.89
…
水平距离x/cm
0
40
80
120
160
竖直距离y/cm
20
35
40
35
20
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
﹣5
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
x
…
﹣3.7
﹣3.3
﹣2.0
﹣1.0
0.0
0.7
2.0
3.0
3.7
…
y
…
﹣1.89
﹣0.77
1.0
0.0
﹣3
﹣0.77
1.0
m
﹣1.89
…
水平距离x/cm
0
40
80
120
160
竖直距离y/cm
20
35
40
35
20