石嘴山市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份石嘴山市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.30°B.45°C.120°D.150°
2．设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
3．已知两直线和的交点为M,则以点M为圆心,半径长为1的圆的方程是( )
A.B.
C.D.
4．若函数是偶函数,且在上单调递增,,则不等式的解集为( ).
A.B.C.D.
5．已知点和圆,则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是( )
A.B.C.D.
6．设椭圆，的离心率分别为，.若，则( )
A.B.C.D.
7．已知曲线，从C上任意一点P向x轴作垂线，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
8．已知抛物线的焦点为F,过点F作直线l与抛物线C交于,两点,则( )
A.线段长度的最小值为4
B.当直线l斜率为时,AB中点坐标为
C.以线段AB为直径的圆与直线相切
D.存在点,使得
9．已知,下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．在平面直角坐标系xOy中,已知,,是动点.下列命题正确的是( )
A.若,则M的轨迹的长度等于2
B.若,则M的轨迹方程为
C.若,则M的轨迹与圆没有交点
D.若,则的最大值为3
11．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，的距离之积为定值.则下列说法正确的是( )（参考数据：）
A.若，则C的方程为
B.若C上的点到两定点，的距离之积为16，则点在C上
C.若，点在C上，则
D.当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则
三、填空题
12．若不等式的解集是,则的解集为________.
13．已知,抛物线的焦点为F,P是抛物线C上任意一点,则周长的最小值为________.
14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得,阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值(且)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系xOy中,,,点P满足,则的最小值为___________.
四、解答题
15．已知曲线方程.
（1）当时,求圆心和半径;
（2）若曲线C表示的圆与直线相交于M,N,且,求m的值.
16．如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
（1）以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系（如图）,求该抛物线的方程;
（2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q,求的值;
（3）若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）?
17．如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,,且.
（1）求证:平面BDEF;
（2）求直线AD与平面ABF所成角的正弦值.
18．如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的两点，且直线均不与x轴垂直。
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，求的方程；
(3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值。
19．如图,以原点O为圆心,a,为半径分别作两个同心圆,设A为大圆上任一点,连接,与小圆交于点B.过点分别作x轴、y轴的垂线,两垂线交于点M.设以为始边,为终边的角为,点M的坐标是,那么点A的横坐标为x,点B的纵坐标为y.由于点A,B均在角的终边上,由三角函数的定义有:,.当半径绕点O旋转一周时,就得到了椭圆的轨迹,因此我们把（为参数）叫做椭圆的参数方程.
（1）已知椭圆上有不同的两点E、F,试写出椭圆的参数方程,并利用椭圆的参数方程求面积的最大值;（参考公式:若、,则.）
（2）如图,已知在三棱锥中,,,,且,,试利用椭圆的参数方程求锐二面角余弦值的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由直线,则该直线的斜率,设直线的倾斜角为,则,解得.
故选:B.
2．答案：C
解析：由题意得,,解得,,
故,
故双曲线渐近线方程为.
3．答案：B
解析：,则,又半径长为1,
则圆M的方程为:.
故选:B
4．答案：B
解析：由于函数是偶函数,在区间上单调递增,且,
所以,且函数在上单调递减.
由此画出满足条件的一个函数的图象,如图所示,
由图可知,的解集是,
故选:B.
5．答案：D
解析：由题可得,则以PQ为直径的圆的圆心坐标为,半径为4,
则PQ为直径的圆的方程为:.将两圆方程相减可得公共弦方程为:.
则圆Q圆心到公共弦方程距离为2,又圆Q半径为4,则公共弦长为:.
故选:D
6．答案：A
解析：由椭圆的方程知离心率，由椭圆的方程知.
又，即，化简得，，，.故选A.
7．答案：A
解析：设，则，因为点P在曲线C上，所以，即，所以线段的中点M的轨迹方程为，故选A.
8．答案：BCD
解析：,F为,通径最短,故最短长度为,A错误;
此时直线l为,
法一.与联立得,
,故中点为,
法二.设中点坐标为,,两式相减有,
故,,故,B正确;
设AB中点为D,过点A,B,D作准线的垂线,垂足分别为,,,
由抛物线定义知,,
,
故以线段AB为直径的圆与直线相切,C正确;
设直线l为,与联立得,,,
,
故,D正确
9．答案：AD
解析：因为,
对于选项A,由,,得到,所以选项A正确,
对于选项B,由,得到,所以选项B错误,
对于选项C,因为,又,
当时,,当时,,当,,所以选项C错误,
对于选项D,由,得到,所以选项D正确.
故选:AD.
10．答案：ACD
解析：选项A:因为,所以M的轨迹为线段,
从而M的轨迹的长度等于2,故A正确;
选项B:因为,由双曲线的定义知,M的轨迹是以,为焦点的双曲线的右支,
而结论的方程中未限制范围,故B错误;（由,得M的轨迹方程为）
选项C:解法一:由,得,
化简得,,联立,得,
这与矛盾,所以方程组无解,故M的轨迹与圆没有交点,故C正确;
解法二:若有交点,则,
又,矛盾,
所以M的轨迹与圆没有交点,故C正确;
选项D:
解法一:由得,,
化简得,
所以M的轨迹是以为圆心,半径为的圆,
等于在x轴上的投影的长度,
由图知其最大值为3,故D正确;
解法二:同法一得M的轨迹是以为圆心,半径为的圆,
,由圆的方程知x可取到最大值3,故D正确;
解法三:由得,,
当M在的反向延长线上时取等号,
①;
②当在的反向延长线上,且时,
满足条件,此时,
所以的最大值为3,故D正确;
故选:ACD.
11．答案：ACD
解析：设上的点为，可得，
整理可得，即C的轨迹方程为.
对于选项A：若，即，
所以C的轨迹方程为，故A正确；
对于选项B：因为若C上的点到两定点，的距离之积为16，
即，，，可得，
对于点，显然，所以点不在C上，故B错误；
对于选项C：若，则C的轨迹方程为，
代入点可得，整理可得，
令，可得，
令，可知t为在内的零点，
因为的图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递增，
且，，
可知在内存在唯一零点，且，即，故C正确；
对于选项D：若，则，
且点P在第一象限内，则，
又因为的面积为，
可得，且，则，
可得，
则，即，
，即，
所以，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：
解析：不等式的解集是,
则是方程的两根,
所以,所以,
由,得,
即,解得,
所以的解集为.
故答案为:.
13．答案：
解析：抛物线的准线,,过点P作垂直于准线,
由题可知,的周长为,
又,
易知当A,P,H三点共线时,的周长最小,且最小值为.
故答案为:
14．答案：
解析：设点,由可得,整理可得,
化为标准方程可得,
因为O为AB的中点,
所以,
,
记圆心为,当点P为线段OM与圆的交点时,
取最小值,此时,,
所以,.
故答案为:.
15．答案：（1）圆心坐标为,半径为;
（2）.
解析：（1）当时,方程,可化为,
圆心坐标为,半径为;
（2）,
圆心到直线的距离,
又圆的半径,,
,得.
16．答案：（1）
（2）
（3）4.0米
解析：（1）如图所示.
依题意,设该抛物线的方程为,
因为点在抛物线上,所以,,
所以该抛物线的方程为;
（2）,焦点,,设,,则,
由解得,,,
所以,,
则;
（3）设车辆高为h,则,故,
代入抛物线方程,得,解得,
所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）设AC与BD相交于点O,连接FO,
四边形ABCD为菱形,,
且O为AC中点,,,
又,,平面BDEF,平面BDEF.
（2）连接DF,四边形BDEF为菱形,且,
为等边三角形,
O为BD中点,,又,,平面ABCD,
平面ABCD.故OA,OB,OF两两垂直,
建立空间直角坐标系,如图所示,
设,四边形ABCD为菱形,,,.
为等边三角形,.
,,,,
,,,
设平面ABF的法向量为,则
令,解得,
设AD与平面ABF所成角为,
则AD与平面ABF所成角的正弦值为:.
18．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)由题意得
解得，
故椭圆C的方程为.
(2)设直线l的方程为，
由
得，
由，得，
则.
，
解得或
当时，直线经过点，不符合题意，舍去；
当时，直线l的方程为.
(3)直线，均不与x轴垂直，
所以，则且，
所以
为定值。
19．答案：（1）椭圆的参数方程为（为参数）,面积的最大值为
（2）
解析：（1）因为椭圆方程为,则椭圆的参数方程为（为参数）,
设,,其中,,
则,
因为,所以,所以,故面积的最大值为.
（2）如图1,作于H,连接,
因为,,又,,面,所以面,
又面,所以,则为二面角的平面角,
因为,所以点P在以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆上,
以直线为x轴,线段的中垂直线为y轴,则椭圆方程为,图象如图2,
易知椭圆的参数方程为（为参数）,
由椭圆的对称性,可设,其中,则,
又因为,所以点C的轨迹在以A,B为焦点的双曲线的一支上,又,
以直线为x轴,线段的中垂直线为y轴,则双曲线方程为,点C的轨迹如图3,且,
所以,
所以,
所以,令,
所以,
当且仅当时,等号成立
所以当且仅当,时,,
故锐二面角余弦值的最小值为.