2024-2025学年山东省聊城市莘县九年级(上)11月期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省聊城市莘县九年级(上)11月期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．）
1. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，相似图形，不符合题意；
故选：B．
2. 如图，已知，，，那么的长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，即，
∴，
∴．
故选：B
3. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，
在Rt△ACD中，AD=4,CD=3,
∴AC== =5
∴== .
故选D.
4. 如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，DC与圆O相切于点C，连接BC，∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°
【答案】A
【解析】连接OC，如图：
∵DC与圆O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠COD＝2∠ABC＝40°，
∴∠BDC＝90°﹣40°＝50°，
故选：A．
5. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为，故选：D．
6. 如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
7. 如图，A，B，C，D分别是龙城公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西方向，千米，千米．则的长度为（ ）千米．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，过点B作于E，
由题意得，，
∴，，
在中，千米，
∴千米，
∴千米，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴千米，
∴千米．
故选：A．
8. 如图，已知四边形是平行四边形，点是AD的中点，连接，相交于点，过作AD的平行线交AB于点，若，则的值是（ ）
A. 6B. 5C. 8D. 4
【答案】A
【解析】∵是AD的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
解得，
故选：．
9. 如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）

A. 8B. 4C. 3.5D. 3
【答案】B
【解析】∵是锐角三角形的外接圆，，
∴点D、E、F分别是的中点，
∴，
∵的周长为21，
∴即，
∴，故选：B．
10. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D. π
【答案】A
【解析】连接，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点E是的中点，
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若锐角A满足，则________.
【答案】
【解析】∵，∴
∴∠A-15°=60°，
∴∠A=75°．
12. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为______．

【答案】5
【解析】与AB，，分别相切于点，，，
，，，
的周长为14，
，
，
．
故答案为：5
13. 如图，已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
【答案】60°或120°
【解析】如图，∵OA=OB，ODAB，OA=10，OD=5，
∴∠1=∠2，cs∠1==,∴∠AOB=2∠1=120，
∴∠C=60，∠D=18060=120.
即弦AB所对的圆周角的度数是60或120.故答案为60或120.
14. 如图，将矩形沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上，若，，则与的面积比为________．
【答案】
【解析】∵将矩形纸片沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上
∴，
∴在中，设，则，
，
∴，
解得：，
∴
∵，
∴，
∵，
∴ ，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴与的面积比为．
故答案为：．
15. 如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于_____．
【答案】
【解析】连接，交于点E，
∵，
∴，
∵点C是弧中点，，
∴，
∴，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：（负值舍去），
∴圆心O到弦的距离等于，
故答案为：．
16. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．

【答案】①②③④
【解析】∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，，，，
∴，，，
∴，，
∴结论①正确；
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴结论②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴结论③正确；
∵°，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴结论④正确；
∴正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）计算：．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．、
（1）以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴下方画出；点为内的一点，则点在内部的对应点的坐标为_______．
（2）外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______．
解：（1）如图
根据位似变换的性质，
故答案为
（2）如图，点即为所求，点坐标为
半径
故答案为，
19. 如图，在中，，，，求边的长．
解：过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，，
即，，
，，
，
，
．
20. 已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE•DC=AB•DE．
证明：（1）∵∠ADB=∠ACB，
∴∠BDE=∠ACE，
又∵∠E=∠E，
∴△ACE∽△BDE；
（2）∵△ACE∽△BDE
∴，
∵∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAB，
∴，
∴BE•DC=AB•DE．
21. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
解：（1）连接，
，，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）作，如图，则，
在中，，
∴，
，
，
在中，，
．
22. 某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求：
（1）点D到地面的距离；
（2）塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，）
解：（1）∵斜坡的坡度，设，，
∵，
∴，
解得，
答：点D到地面的距离为米；
（2）如图，过点作，垂足为，
由题意得：米，，，
斜坡坡度，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，解得：，
米，
塔高约为米．
23. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长，交延长线于点G．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
解：（1）如图，连接，
平分，，
，，
，，
，，
点E在上，是的切线；
（2）过点O作于点M，
，
，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，．
24.（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC值．
解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．