


2024-2025学年山东省聊城市莘县九年级(上)11月期中数学试卷(解析版)
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这是一份2024-2025学年山东省聊城市莘县九年级(上)11月期中数学试卷(解析版),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题:(本题共10小题,每题3分,共30分.每小题只有一个选项符合题目要求.)
1. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框,其中不一定是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、两图形形状相同,是相似图形,不符合题意;
B、两图形形状不同,不是相似图形,符合题意;
C、两图形形状相同,是相似图形,不符合题意;
D、两图形形状相同,相似图形,不符合题意;
故选:B.
2. 如图,已知,,,那么的长等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,
∴,即,
∴,
∴.
故选:B
3. 如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,那么的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示,
在Rt△ACD中,AD=4,CD=3,
∴AC== =5
∴== .
故选D.
4. 如图,AB是圆O的直径,D是BA延长线上一点,DC与圆O相切于点C,连接BC,∠ABC=20°,则∠BDC的度数为( )
A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°
【答案】A
【解析】连接OC,如图:
∵DC与圆O相切于点C,
∴∠OCD=90°,
∵∠ABC=20°,
∴∠COD=2∠ABC=40°,
∴∠BDC=90°﹣40°=50°,
故选:A.
5. 西周时期,丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器,称为圭表,如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表,其中,立柱高为,已知,冬至时北京的正午日光入射角约为,则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即的长)约为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得,立柱根部与圭表的冬至线的距离为,故选:D.
6. 如图,是的直径,点C,D,E在上.若,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接,
∵是的直径,
∴,
∵,
∴,
∴.
故选:C.
7. 如图,A,B,C,D分别是龙城公园四个景点,B在A的正东方向,D在A的正北方向,且在C的北偏西60°方向,C在A的北偏东30°方向,且在B的北偏西方向,千米,千米.则的长度为( )千米.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示,过点B作于E,
由题意得,,
∴,,
在中,千米,
∴千米,
∴千米,
在中,,
∴是等腰直角三角形,
∴千米,
∴千米.
故选:A.
8. 如图,已知四边形是平行四边形,点是AD的中点,连接,相交于点,过作AD的平行线交AB于点,若,则的值是( )
A. 6B. 5C. 8D. 4
【答案】A
【解析】∵是AD的中点,
∴,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∴,,
∴,
解得,
故选:.
9. 如图,是锐角三角形的外接圆,,垂足分别为,连接.若的周长为21,则的长为( )
A. 8B. 4C. 3.5D. 3
【答案】B
【解析】∵是锐角三角形的外接圆,,
∴点D、E、F分别是的中点,
∴,
∵的周长为21,
∴即,
∴,故选:B.
10. 如图,在中,,以为直径的与,分别交于点D,E,连接,,若,,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D. π
【答案】A
【解析】连接,,
∵为的直径,
∴,
∵,
∴,
即点E是的中点,
∵点O是的中点,
∴是的中位线,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
故选:A.
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 若锐角A满足,则________.
【答案】
【解析】∵,∴
∴∠A-15°=60°,
∴∠A=75°.
12. 如图,的内切圆与、、分别相切于点、、,且,的周长为14,则的长为______.
【答案】5
【解析】与AB,,分别相切于点,,,
,,,
的周长为14,
,
,
.
故答案为:5
13. 如图,已知⊙O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是________.
【答案】60°或120°
【解析】如图,∵OA=OB,ODAB,OA=10,OD=5,
∴∠1=∠2,cs∠1==,∴∠AOB=2∠1=120,
∴∠C=60,∠D=18060=120.
即弦AB所对的圆周角的度数是60或120.故答案为60或120.
14. 如图,将矩形沿折叠,点B的对应点恰好落在的中点上,若,,则与的面积比为________.
【答案】
【解析】∵将矩形纸片沿折叠,点B的对应点恰好落在的中点上
∴,
∴在中,设,则,
,
∴,
解得:,
∴
∵,
∴,
∵,
∴ ,
又∵,
∴,
∵,
∴,
∴与的面积比为.
故答案为:.
15. 如图,是圆O的弦,且,点C是弧中点,点D是优弧上的一点,,则圆心O到弦的距离等于_____.
【答案】
【解析】连接,交于点E,
∵,
∴,
∵点C是弧中点,,
∴,
∴,则,
根据勾股定理可得:,
即,
解得:(负值舍去),
∴圆心O到弦的距离等于,
故答案为:.
16. 如图,在正方形中,是等边三角形,、的延长线分别交于点、,连接、,与相交于点.给出下列结论:①;②;③;④;其中正确的是______.
【答案】①②③④
【解析】∵四边形是正方形,是等边三角形,
∴,,,,,
∴,,,
∴,,
∴结论①正确;
∴,
∵是正方形的对角线,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴结论②正确;
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴结论③正确;
∵°,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴结论④正确;
∴正确的是①②③④.
故答案为:①②③④.
三、解答题(本题共8小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (1)计算:;
(2)计算:.
解:(1)原式
;
(2)原式
.
18. 如图,在平面直角坐标系中,已知三个顶点的坐标分别是,,.、
(1)以点为位似中心,将缩小为原来的得到,请在轴下方画出;点为内的一点,则点在内部的对应点的坐标为_______.
(2)外接圆的圆心坐标为_______,外接圆的半径是_______.
解:(1)如图
根据位似变换的性质,
故答案为
(2)如图,点即为所求,点坐标为
半径
故答案为,
19. 如图,在中,,,,求边的长.
解:过点作,交的延长线于点,
,
,
,
,,
即,,
,,
,
,
.
20. 已知,如图,在四边形ABCD中,∠ADB=∠ACB,延长AD、BC相交于点E.求证:
(1)△ACE∽△BDE;
(2)BE•DC=AB•DE.
证明:(1)∵∠ADB=∠ACB,
∴∠BDE=∠ACE,
又∵∠E=∠E,
∴△ACE∽△BDE;
(2)∵△ACE∽△BDE
∴,
∵∠E=∠E,
∴△ECD∽△EAB,
∴,
∴BE•DC=AB•DE.
21. 如图,在中,,以点为圆心,为半径的圆交于点,交于点.
(1)若,求的度数;
(2)若,求的长.
解:(1)连接,
,,
,
,
,
,
,
的度数为;
(2)作,如图,则,
在中,,
∴,
,
,
在中,,
.
22. 某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度,如图所示,塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内,在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为,沿斜坡走13米到达斜坡D处,测得塔顶B的仰角为,且斜坡的坡度,其中点A,C,G,F在同一条水平直线上.求:
(1)点D到地面的距离;
(2)塔的高.(精确到0.1米)(参考数据:,,,,,)
解:(1)∵斜坡的坡度,设,,
∵,
∴,
解得,
答:点D到地面的距离为米;
(2)如图,过点作,垂足为,
由题意得:米,,,
斜坡坡度,米,
设米,
米,
在中,,
米,
在中,,
米,
,
,解得:,
米,
塔高约为米.
23. 如图,是的直径,射线交于点D,E是劣弧上一点,且平分,过点E作于点F,延长,交延长线于点G.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的长.
解:(1)如图,连接,
平分,,
,,
,,
,,
点E在上,是的切线;
(2)过点O作于点M,
,
,,
,,
四边形是矩形,
,
,
,
,
,.
24.(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE.求证:BD=CE.
(2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,CE.请直接写出的值.
(3)【拓展提升】如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且==.连接BD,CE.
①求的值;
②延长CE交BD于点F,交AB于点G.求sin∠BFC值.
解:(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°,
∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE;
(2)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
,∠DAE=∠BAC=45°,
∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD∽△CAE,
;
(3)①,∠ABC=∠ADE=90°,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,,
∴∠CAE=∠BAD,
∴△CAE∽△BAD,
;
②由①得:△CAE∽△BAD,
∴∠ACE=∠ABD,
∵∠AGC=∠BGF,
∴∠BFC=∠BAC,
∴sin∠BFC.
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