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    2024-2025学年山东省聊城市莘县九年级(上)11月期中数学试卷(解析版)

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    2024-2025学年山东省聊城市莘县九年级(上)11月期中数学试卷(解析版)

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    这是一份2024-2025学年山东省聊城市莘县九年级(上)11月期中数学试卷(解析版),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题:(本题共10小题,每题3分,共30分.每小题只有一个选项符合题目要求.)
    1. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框,其中不一定是相似图形的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】A、两图形形状相同,是相似图形,不符合题意;
    B、两图形形状不同,不是相似图形,符合题意;
    C、两图形形状相同,是相似图形,不符合题意;
    D、两图形形状相同,相似图形,不符合题意;
    故选:B.
    2. 如图,已知,,,那么的长等于( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】∵,
    ∴,即,
    ∴,
    ∴.
    故选:B
    3. 如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,那么的值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】如图所示,
    在Rt△ACD中,AD=4,CD=3,
    ∴AC== =5
    ∴== .
    故选D.
    4. 如图,AB是圆O的直径,D是BA延长线上一点,DC与圆O相切于点C,连接BC,∠ABC=20°,则∠BDC的度数为( )
    A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°
    【答案】A
    【解析】连接OC,如图:
    ∵DC与圆O相切于点C,
    ∴∠OCD=90°,
    ∵∠ABC=20°,
    ∴∠COD=2∠ABC=40°,
    ∴∠BDC=90°﹣40°=50°,
    故选:A.
    5. 西周时期,丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器,称为圭表,如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表,其中,立柱高为,已知,冬至时北京的正午日光入射角约为,则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即的长)约为( )

    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】由题意可得,立柱根部与圭表的冬至线的距离为,故选:D.
    6. 如图,是的直径,点C,D,E在上.若,则的度数是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】连接,
    ∵是的直径,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    故选:C.
    7. 如图,A,B,C,D分别是龙城公园四个景点,B在A的正东方向,D在A的正北方向,且在C的北偏西60°方向,C在A的北偏东30°方向,且在B的北偏西方向,千米,千米.则的长度为( )千米.
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】如图所示,过点B作于E,
    由题意得,,
    ∴,,
    在中,千米,
    ∴千米,
    ∴千米,
    在中,,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴千米,
    ∴千米.
    故选:A.
    8. 如图,已知四边形是平行四边形,点是AD的中点,连接,相交于点,过作AD的平行线交AB于点,若,则的值是( )
    A. 6B. 5C. 8D. 4
    【答案】A
    【解析】∵是AD的中点,
    ∴,
    ∵四边形是平行四边形,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,,
    ∴,
    解得,
    故选:.
    9. 如图,是锐角三角形的外接圆,,垂足分别为,连接.若的周长为21,则的长为( )

    A. 8B. 4C. 3.5D. 3
    【答案】B
    【解析】∵是锐角三角形的外接圆,,
    ∴点D、E、F分别是的中点,
    ∴,
    ∵的周长为21,
    ∴即,
    ∴,故选:B.
    10. 如图,在中,,以为直径的与,分别交于点D,E,连接,,若,,则阴影部分的面积为( )
    A. B. C. D. π
    【答案】A
    【解析】连接,,
    ∵为的直径,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    即点E是的中点,
    ∵点O是的中点,
    ∴是的中位线,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故选:A.
    二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)
    11. 若锐角A满足,则________.
    【答案】
    【解析】∵,∴
    ∴∠A-15°=60°,
    ∴∠A=75°.
    12. 如图,的内切圆与、、分别相切于点、、,且,的周长为14,则的长为______.

    【答案】5
    【解析】与AB,,分别相切于点,,,
    ,,,
    的周长为14,



    故答案为:5
    13. 如图,已知⊙O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是________.
    【答案】60°或120°
    【解析】如图,∵OA=OB,ODAB,OA=10,OD=5,
    ∴∠1=∠2,cs∠1==,∴∠AOB=2∠1=120,
    ∴∠C=60,∠D=18060=120.
    即弦AB所对的圆周角的度数是60或120.故答案为60或120.
    14. 如图,将矩形沿折叠,点B的对应点恰好落在的中点上,若,,则与的面积比为________.
    【答案】
    【解析】∵将矩形纸片沿折叠,点B的对应点恰好落在的中点上
    ∴,
    ∴在中,设,则,

    ∴,
    解得:,

    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴ ,
    又∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴与的面积比为.
    故答案为:.
    15. 如图,是圆O的弦,且,点C是弧中点,点D是优弧上的一点,,则圆心O到弦的距离等于_____.
    【答案】
    【解析】连接,交于点E,
    ∵,
    ∴,
    ∵点C是弧中点,,
    ∴,
    ∴,则,
    根据勾股定理可得:,
    即,
    解得:(负值舍去),
    ∴圆心O到弦的距离等于,
    故答案为:.
    16. 如图,在正方形中,是等边三角形,、的延长线分别交于点、,连接、,与相交于点.给出下列结论:①;②;③;④;其中正确的是______.

    【答案】①②③④
    【解析】∵四边形是正方形,是等边三角形,
    ∴,,,,,
    ∴,,,
    ∴,,
    ∴结论①正确;
    ∴,
    ∵是正方形的对角线,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴结论②正确;
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴结论③正确;
    ∵°,,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴结论④正确;
    ∴正确的是①②③④.
    故答案为:①②③④.
    三、解答题(本题共8小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17. (1)计算:;
    (2)计算:.
    解:(1)原式

    (2)原式

    18. 如图,在平面直角坐标系中,已知三个顶点的坐标分别是,,.、
    (1)以点为位似中心,将缩小为原来的得到,请在轴下方画出;点为内的一点,则点在内部的对应点的坐标为_______.
    (2)外接圆的圆心坐标为_______,外接圆的半径是_______.
    解:(1)如图
    根据位似变换的性质,
    故答案为
    (2)如图,点即为所求,点坐标为
    半径
    故答案为,
    19. 如图,在中,,,,求边的长.
    解:过点作,交的延长线于点,



    ,,
    即,,
    ,,



    20. 已知,如图,在四边形ABCD中,∠ADB=∠ACB,延长AD、BC相交于点E.求证:
    (1)△ACE∽△BDE;
    (2)BE•DC=AB•DE.
    证明:(1)∵∠ADB=∠ACB,
    ∴∠BDE=∠ACE,
    又∵∠E=∠E,
    ∴△ACE∽△BDE;
    (2)∵△ACE∽△BDE
    ∴,
    ∵∠E=∠E,
    ∴△ECD∽△EAB,
    ∴,
    ∴BE•DC=AB•DE.
    21. 如图,在中,,以点为圆心,为半径的圆交于点,交于点.
    (1)若,求的度数;
    (2)若,求的长.
    解:(1)连接,
    ,,





    的度数为;
    (2)作,如图,则,
    在中,,
    ∴,


    在中,,

    22. 某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度,如图所示,塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内,在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为,沿斜坡走13米到达斜坡D处,测得塔顶B的仰角为,且斜坡的坡度,其中点A,C,G,F在同一条水平直线上.求:
    (1)点D到地面的距离;
    (2)塔的高.(精确到0.1米)(参考数据:,,,,,)
    解:(1)∵斜坡的坡度,设,,
    ∵,
    ∴,
    解得,
    答:点D到地面的距离为米;
    (2)如图,过点作,垂足为,
    由题意得:米,,,
    斜坡坡度,米,
    设米,
    米,
    在中,,
    米,
    在中,,
    米,

    ,解得:,
    米,
    塔高约为米.
    23. 如图,是的直径,射线交于点D,E是劣弧上一点,且平分,过点E作于点F,延长,交延长线于点G.
    (1)求证:是的切线;
    (2)若,,求的长.
    解:(1)如图,连接,
    平分,,
    ,,
    ,,
    ,,
    点E在上,是的切线;
    (2)过点O作于点M,

    ,,
    ,,
    四边形是矩形,




    ,.
    24.(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE.求证:BD=CE.
    (2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,CE.请直接写出的值.
    (3)【拓展提升】如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且==.连接BD,CE.
    ①求的值;
    ②延长CE交BD于点F,交AB于点G.求sin∠BFC值.
    解:(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
    ∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°,
    ∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE,
    ∴∠BAD=∠CAE,
    ∴△BAD≌△CAE(SAS),
    ∴BD=CE;
    (2)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
    ,∠DAE=∠BAC=45°,
    ∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE,
    ∴∠BAD=∠CAE,
    ∴△BAD∽△CAE,

    (3)①,∠ABC=∠ADE=90°,
    ∴△ABC∽△ADE,
    ∴∠BAC=∠DAE,,
    ∴∠CAE=∠BAD,
    ∴△CAE∽△BAD,

    ②由①得:△CAE∽△BAD,
    ∴∠ACE=∠ABD,
    ∵∠AGC=∠BGF,
    ∴∠BFC=∠BAC,
    ∴sin∠BFC.

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