沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第10讲命题与证明举例(2大考点)(原卷版+解析)

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第10讲 命题与证明举例（2大考点）考点考向1.命题：判断一件事情的句子；正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题；一个命题是由题设和结论两部分组成.2.公理和定理：从长期的实践中总结出来的真命题叫公理；从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.证明真命题的步骤：①根据题意作出图形，并在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设和结论，结合图形写出已知和求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程.4.平行线的判定与性质平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等．那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等。5.全等三角形：全等三角形的判定：S.A.S； A.S.A； A.A.S； S.S.S； 全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等。6.等腰三角形的判定与性质性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一）判定1：（定义法）有两条边相等的三角形；判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。(简称：等角对等边)7.证明常见题型证明两直线平行、两直线垂直、两条线段相等、两个角相等、线段或角的和差倍半简单的问题；考点精讲【考点1】命题一、单选题1．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若﹣1＜m＜0，则＜m；②若m＞1，＜m；③若＜m，则m＞0；④若＞m，则0＜m＜1，其中是真命题的是（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．②④2．（2021·上海·八年级期中）下列语句中，不是命题的是（     ）A．如果，那么、互为相反数B．同旁内角互补C．作等腰三角形底边上的高D．在同一平面内，若，则3．（2021·上海·八年级专题练习）下列说法正确的是（   ）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题4．（2020·上海市西南位育中学八年级期中）下列命题中，真命题是（    ）A．三角形的一个外角大于这个三角形的内角B．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等C．一对邻补角的角平分线互相垂直D．面积相等的两个三角形全等5．（2021·上海市第四中学八年级阶段练习）下列命题中是真命题的（　　）A．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行C．互补的两个角不是锐角就是钝角D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴二、填空题6．（2020·上海市实验学校八年级期中）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_________________________________．7．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）请写出“两直线平行，同位角相等”的结论：_____．8．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：已知：_______________________________求证：_______________ ．【考点2】举例证明1．已知：、相交于，、分别平分、．求证：．2．已知：如图，，、分别平分、，、交于点．求证：．3．如图，平分，且，求证：为等腰三角形.4．证明命题“全等三角形对应边上的高相等”是真命题．解：已知：如图，△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高．求证：AD＝EH.5．如图，是等腰锐角三角形，，是腰上的高．求证：.6．已知：如图，在和中，，，是上的中线，是上的中线，且，求证：≌．    7．（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．（2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．（3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长．巩固提升一．选择题（共8小题）1．（2021秋•浦东新区期末）下列命题中，逆命题不正确的是（　　）A．两直线平行，同旁内角互补 B．对顶角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方2．（2021秋•徐汇区期末）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（　　）（1）全等三角形的对应角相等；（2）对顶角相等；（3）等角对等边；（4）两直线平行，同位角相等；（5）全等三角形的面积相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2021秋•越秀区校级期中）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　）A．30° B．45° C．60° D．75°4．（2020秋•静安区校级期中）如图，D为△ABC边上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（　　）A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AC＝BC（等腰三角形三线合一） B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一） C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AD＝BD（等腰三角形三线合一） D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）5．（2022秋•上海月考）下列命题中，真命题是（　　）A．有一个角为30°的两个等腰三角形相似 B．邻边之比都等于2的两个平行四边形相似 C．底角为40°的两个等腰梯形相似 D．有一个角为120°的两个等腰三角形相似6．（2021秋•松江区期末）下列命题中，假命题是（　　）A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等 C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等7．（2021秋•普陀区期末）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）A．对顶角相等 B．等边三角形是轴对称图形 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的对应边相等8．（2021秋•崇明区校级期末）下列命题的逆命题中，真命题有（　　）①全等三角形的对应角相等；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③关于某一条直线对称的两个三角形全等；④等腰三角形的两个底角相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共7小题）9．（2021秋•静安区校级期末）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是　 　．10．（2021秋•普陀区校级期中）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝　 　．11．（2021秋•虹口区校级期末）“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是　 　．12．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE＝　 　度．13．（2021秋•普陀区期末）如图，已知∠ABC与∠DCB互补，AC⊥BD，如果∠A＝40°，那么∠D的度数是 　 　．14．（2021秋•徐汇区校级期末）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 　 　．15．（2021秋•松江区期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC＝5，AD＝2，那么AB的长是 　 　．三．解答题（共4小题）16．（2021秋•崇明区校级期末）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC．17．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，且ED⊥AB于点F，且AB＝DE，CD交AB于点M．（1）求证：BD＝2EC；（2）求△ACM与△BCM的面积之比．18．（2020秋•杨浦区校级期中）如图，AD是△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝25，求AB的长．19．（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证：（1）DG＝DE；（2）∠DEG＝∠DEC．第10讲 命题与证明举例（2大考点）考点考向1.命题：判断一件事情的句子；正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题；一个命题是由题设和结论两部分组成.2.公理和定理：从长期的实践中总结出来的真命题叫公理；从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.证明真命题的步骤：①根据题意作出图形，并在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设和结论，结合图形写出已知和求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程.4.平行线的判定与性质平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等．那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等。5.全等三角形：全等三角形的判定：S.A.S； A.S.A； A.A.S； S.S.S； 全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等。6.等腰三角形的判定与性质性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一）判定1：（定义法）有两条边相等的三角形；判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。(简称：等角对等边)7.证明常见题型证明两直线平行、两直线垂直、两条线段相等、两个角相等、线段或角的和差倍半简单的问题；考点精讲【考点1】命题一、单选题1．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若﹣1＜m＜0，则＜m；②若m＞1，＜m；③若＜m，则m＞0；④若＞m，则0＜m＜1，其中是真命题的是（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】A【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可．【详解】解：①若﹣1＜m＜0，则＜m，是真命题；②若m＞1，＜m，是真命题；③若＜m，当 时， ，而 ，则原命题是假命题；④若＞m，当 时， ，而 ，则原命题是假命题；则真命题有①②．故选：A【点睛】本题主要考查了命题的真假，熟练掌握一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可是解题的关键．2．（2021·上海·八年级期中）下列语句中，不是命题的是（     ）A．如果，那么、互为相反数B．同旁内角互补C．作等腰三角形底边上的高D．在同一平面内，若，则【答案】C【分析】根据命题的概念对每个选项一一判断正误即可．【详解】A、如果，那么、互为相反数，这句话是命题；B、同旁内角互补，这句话是命题；C、作等腰三角形底边上的高，这句话不是命题；D、在同一平面内，若，则，这句话是命题．故选：C．【点睛】本题主要考查命题的概念，熟记命题的概念是解题关键．3．（2021·上海·八年级专题练习）下列说法正确的是（   ）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．4．（2020·上海市西南位育中学八年级期中）下列命题中，真命题是（    ）A．三角形的一个外角大于这个三角形的内角B．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等C．一对邻补角的角平分线互相垂直D．面积相等的两个三角形全等【答案】C【分析】根据三角形的外角性质、平行线的性质、邻补角的概念、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、三角形的一个外角大于这个三角形与它不相邻的内角，本选项说法是假命题，不符合题意；B、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，本选项说法是假命题，不符合题意；C、一对邻补角的角平分线互相垂直，本选项说法是真命题，符合题意；D、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2021·上海市第四中学八年级阶段练习）下列命题中是真命题的（　　）A．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行C．互补的两个角不是锐角就是钝角D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴【答案】B【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补对A进行判断；根据平行线的判断方法对B进行判断；据两个直角互补，不是锐角也不是钝角对C判断；根据对称轴的定义对B进行判断；【详解】A、一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；所以A选项为假命题；B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行，所以B选项真命题；C、据两个直角互补，不是锐角也不是钝角；所以C选项为假命题；D、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，所以D选项为假命题．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．二、填空题6．（2020·上海市实验学校八年级期中）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_________________________________．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题的特点，解题的关键是“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．7．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）请写出“两直线平行，同位角相等”的结论：_____．【答案】同位角相等【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，将这个命题改写成“如果那么”的形式即可得出答案．【详解】解：将命题改写成“如果那么”的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等，则此命题的结论为：同位角相等，故答案为：同位角相等．【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的概念是解题关键．8．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：已知：_______________________________求证：_______________ ．【答案】     已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线     求证：AD平分∠BAC.【分析】结合几何图形写出已知条件和结论．【详解】已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；求证：AD平分∠BAC．故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC．【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【考点2】举例证明1．已知：、相交于，、分别平分、．求证：．【答案】证明见解析【分析】首先根据角平分线的性质，得出，，然后根据平角的性质列出等式，即可得证.【详解】∵平分，∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．【点睛】此题主要考查角平分线的性质应用,熟练掌握,即可解题.2．已知：如图，，、分别平分、，、交于点．求证：．【答案】证明见解析【分析】首先根据两直线平行，同旁内角互补得出，然后根据角平分线的性质，得出，进而得出，，即可得证.【详解】∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）．∵、分别是平分、，∴．∴．∴．∴．【点睛】此题主要考查平行线以及角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.3．如图，平分，且，求证：为等腰三角形.【答案】证明见解析【分析】首先根据角平分线的性质得出，然后根据平行的性质，得出，，进而得出，即可得证.【详解】∵平分，∴，∵∴，．∴．∴为等腰三角形．【点睛】此题主要考查平行线和角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.4．证明命题“全等三角形对应边上的高相等”是真命题．解：已知：如图，△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高．求证：AD＝EH.【答案】见解析【详解】试题分析：根据△ABC≌△EFG，可得AB＝EF，∠B＝∠F，再根据∠ADB＝∠EHF＝90°，利用AAS证明△ABD≌△EFH即可得.试题解析：∵△ABC≌△EFG，∴AB＝EF，∠B＝∠F，∵AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高，∴∠ADB＝∠EHF＝90°，在△ABD和△EFH中，，∴△ABD≌△EFH(AAS)，∴AD＝EH.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．5．如图，是等腰锐角三角形，，是腰上的高．求证：.【答案】证明见解析【分析】首先过点作于点，得出，又由得出，进而得出，又由，，得出，进而得出.【详解】过点作于点，∴．∵，∴．∴．∵，，∴．∴．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题.6．已知：如图，在和中，，，是上的中线，是上的中线，且，求证：≌．    【答案】证明见解析【分析】首先根据中线的性质，得出BN=CN，EM=FM，然后根据BC=EF，得出，即可判定≌（SSS），进而得出，即可得证.【详解】∵是上的中线，是上的中线，∴BN=CN，EM=FM又∵BC=EF∴．在和中，，∴≌（SSS）．∴，在和中，，∴≌（SAS）．【点睛】此题主要考查中线的性质和三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题.7．（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．（2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．（3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长．【答案】证明见解析【分析】（1）首先过点作，垂足为点；连接，根据列出等式，，然后根据，即可得证；（2）首先过点作，垂足为点；连接，根据，得出，然后根据，即可得证；（3）根据，得出关系式，然后根据为等边三角形，得出，即可得证.【详解】（1）过点作，垂足为点；连接．∵，∴．又∵，∴，为定长．即等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长．（2）过点作，垂足为点；联结．∵，∴．又∵，∴，为定长．即等腰三角形底边的延长线上的任意一点，到两腰的距高之差等于定长．（3）∵，∴．又∵为等边三角形，∴．∴，为定长．即等边三角形内一点到三边距离之和为定长．【点睛】此题主要考查利用面积构建等式，结合等腰三角形和等边三角形的性质，即可解题.巩固提升一．选择题（共8小题）1．（2021秋•浦东新区期末）下列命题中，逆命题不正确的是（　　）A．两直线平行，同旁内角互补 B．对顶角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【解答】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确，故本选项错误；B、逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故本选项正确；C、逆命题是：若一个三角形两锐角互余，则为直角三角形，正确，故本选项错误；D、逆命题是：若一个三角形两条边的平方和等于第三边的平方则为直角三角形，正确，故本选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论，难度适中．2．（2021秋•徐汇区期末）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（　　）（1）全等三角形的对应角相等；（2）对顶角相等；（3）等角对等边；（4）两直线平行，同位角相等；（5）全等三角形的面积相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．【解答】解：（1）逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误；（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；（3）逆命题是等边对等角，正确；（4）逆命题是同位角相等，两条直线平行，正确；（5）逆命题是面积相等，两三角形全等，错误．故选：B．【点评】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．3．（2021秋•越秀区校级期中）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等，∴∠1＝45°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∴∠α＝∠1+30°＝75°．故选：D．【点评】本题利用了两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．4．（2020秋•静安区校级期中）如图，D为△ABC边上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（　　）A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AC＝BC（等腰三角形三线合一） B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一） C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AD＝BD（等腰三角形三线合一） D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）【分析】根据等腰三角形的三线合一定理逐一判断即可得到答案．【解答】解：A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AC＝BC（等腰三角形三线合一），条件没有等腰三角形，故因果关系与所填依据不符；B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AD＝BD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；故选：A．【点评】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理，熟记定理是解决问题的关键．5．（2022秋•上海月考）下列命题中，真命题是（　　）A．有一个角为30°的两个等腰三角形相似 B．邻边之比都等于2的两个平行四边形相似 C．底角为40°的两个等腰梯形相似 D．有一个角为120°的两个等腰三角形相似【分析】两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似．根据此判定定理选择正确答案．【解答】解：30°可以是顶角也可以是底角，不能确定两个等腰三角形相似，故A是假命题，不符合题意；邻边的比都等于2的两个平行四边形，但是夹角没有说明相等，所以不一定相似，故B是假命题，不符合题意；底角为40°的两个等腰梯形，角度相等，但是对应边不一定对应成比例，故C是假命题，不符合题意；120°只能是顶角，所以三个角对应相等，根据三角形的相似判定定理，一定相似，故D是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握多边形相似的判定：两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似．6．（2021秋•松江区期末）下列命题中，假命题是（　　）A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等 C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等【分析】根据线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，本选项说法是真命题，不符合题意；B、三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，本选项说法是真命题，不符合题意；C、两腰对应相等的两个等腰三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．（2021秋•普陀区期末）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）A．对顶角相等 B．等边三角形是轴对称图形 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的对应边相等【分析】先交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后根据对顶角的定义、等边三角形的判定方法和全等三角形的判定方法对四个逆命题的真假进行判断．【解答】解：A．对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，此逆命题为假命题；B．等边三角形是轴对称图形的逆命题为轴对称图形为等边三角形，此逆命题为假命题；C．全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，此逆命题为假命题；D．全等三角形的对应边相等的逆命题为对应边相等的三角形全等，此逆命题为真命题．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．（2021秋•崇明区校级期末）下列命题的逆命题中，真命题有（　　）①全等三角形的对应角相等；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③关于某一条直线对称的两个三角形全等；④等腰三角形的两个底角相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【解答】解：①全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，正确，是真命题，符合题意；③关于某一条直线对称的两个三角形全等的逆命题为全等的两个三角形关于某条直线对称，错误，是假命题，不符合题意；④等腰三角形的两个底角相等的逆命题为两角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意．真命题有2个，故选：B．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出原命题的逆命题，难度不大．二．填空题（共7小题）9．（2021秋•静安区校级期末）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是　有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形　．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【解答】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．10．（2021秋•普陀区校级期中）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝　25°　．【分析】由∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，可求得∠ACE的度数，又由三角形外角的性质，可得∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F，继而求得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵∠EDF＝90°，∠E＝30°，∴∠F＝90°﹣∠E＝60°，∵∠ACE＝∠CDF+∠F，∠BCE＝40°，∴∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F＝45°+40°﹣60°＝25°．故答案为：25°．【点评】本题考查三角形外角的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11．（2021秋•虹口区校级期末）“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是　如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形　．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【解答】解：命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“两腰上的高相等”．将条件和结论互换得逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE＝　50　度．【分析】根据直角三角形中线的性质及互为余角的性质计算．【解答】解：∠A＝20°，CD为AB边上的高，∴∠ACD＝70°，∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝20°，∴∠DCE的度数为70°﹣20°＝50°．故答案为：50．【点评】此题主要考查了直角三角形中线的性质及互为余角的性质．13．（2021秋•普陀区期末）如图，已知∠ABC与∠DCB互补，AC⊥BD，如果∠A＝40°，那么∠D的度数是 　50°　．【分析】由平行线的判定与性质可求得∠ACD＝40°，结合垂线的定义可求解．【解答】解：∵∠ABC与∠DCB互补，∴AB∥CD，∵∠A＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠D＝90°，∴∠D＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50°．【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，垂线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．14．（2021秋•徐汇区校级期末）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 　三个内角对应相等的两个三角形全等　．【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题．【解答】解：命题“全等三角形对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是三个内角对应相等的两个三角形全等，故答案为：三个内角对应相等的两个三角形全等．【点评】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．15．（2021秋•松江区期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC＝5，AD＝2，那么AB的长是 　3　．【分析】过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，利用AAS证明△ABD≌△ECD，得AB＝EC，AD＝ED＝2，再利用勾股定理即可得出答案．【解答】解：如图，过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD＝∠ECD，∴∠E＝90°，在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC，AD＝ED＝2，∴AE＝2AD＝4，在Rt△AEC中，CE＝＝＝3，∴AB＝CE＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．三．解答题（共4小题）16．（2021秋•崇明区校级期末）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC．【分析】根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论．【解答】证明：在Rt△ABD与Rt△AED中，，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴∠BAD＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴∠EAD＝∠ADC，∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，∴∠AFC＝2∠ADC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．17．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，且ED⊥AB于点F，且AB＝DE，CD交AB于点M．（1）求证：BD＝2EC；（2）求△ACM与△BCM的面积之比．【分析】（1）由E是BC的中点得出BC＝2EC，证明△ABC≌△EDB，得出DB＝BC，即可得出BD＝2EC；（2）由（1）可知DB＝2AC得出，由△ACM∽△BDM得出，即可得出△ACM与△BCM的面积之比．【解答】（1）证明：∵E是BC的中点，∴BC＝2EC，∵∠ACB＝∠DBC＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵ED⊥AB，∴∠ABC+∠DEB＝90°，∴∠A＝∠DEB，在△ABC和△EDB中，∴△ABC≌△EDB（AAS），∴DB＝BC，∴DB＝2EC；（2）解：∵△ABC≌△EDB，∴BE＝AC，∵E是BC的中点，∴AC＝CE＝BC，∵DB＝2EC，∴DB＝2AC，∴，∵∠ACB＝∠DBC＝90°，∴AC∥DB，∴∠A＝∠DBM，∠ACM＝∠BDM，∴△ACM∽△BDM，∴，∴△ACM与△BCM的面积之比为1：2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形的全等和相似是解决问题的关键．18．（2020秋•杨浦区校级期中）如图，AD是△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝25，求AB的长．【分析】在线段DC上截取DE＝BD，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，求得∠B＝∠AEB，根据三角形外角的性质得到∠AEB＝∠CAE+∠C，求得AE＝CE，于是得到结论．【解答】解：如图：在线段DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C，∵∠AEB＝∠CAE+∠C，∴∠C＝∠CAE，∴AE＝CE，∵BD＝5，BC＝25，∴DE＝BD＝5，∴AB＝AE＝CE＝BC﹣BD﹣DE＝15．【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，作出辅助线正确构建出等腰三角形是解答此题的关键．19．（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证：（1）DG＝DE；（2）∠DEG＝∠DEC．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△BDF≌△ACD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG＝BF，进而可以解决问题；（2）由（1）得∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，然后证明△BDG≌△ADE，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．【解答】证明：（1）AD⊥BD，∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BFD＝∠ACD，在△BDF和△ACD中，，∴△BDF≌△ACD（AAS），∴BF＝AC，∵G为BF的中点．∴DG＝BF，∵AB＝CB，BE⊥AC，∴E为AC的中点．∴DE＝AC，∴DG＝DE；（2）由（1）知：∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，∴BG＝AE，在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴∠BDG＝∠ADE，∴∠DGB＝∠DBG+∠BDG，∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∴∠DGB＝∠DEC，∵DG＝DE，∴∠DGE＝∠DEG，∴∠DEG＝∠DEC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDG≌△ADE．