浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训02第4章平行四边形压轴题(浙江精选归纳)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训02第4章平行四边形压轴题(浙江精选归纳)(原卷版+解析)，共85页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）已知，如图1，在中，，将沿翻折至，连接．
(1)求证：；
(2)若点在直线下方，如图2，，，求的长；
(3)在翻折过程中，若为直角三角形，求的值．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图直角坐标系中直线与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，已知，，，分别是线段，上的两个动点，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为（秒）．
(1)求线段的长，及点的坐标；
(2)为何值时，的面积为；
(3)若为的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．是否存在时间，使轴恰好将平行四边形的面积分成两部分，若存在，求出的值．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，．
(1)求，的长度；
(2)若，求的长；
(3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）实验与探究：
(1)在图1，图2，图3中，已知的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1，图2，图3中的顶点C的坐标，它们分别是_____________，_____________，_____________；
(2)在图4中，给出的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（点C的坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
(3)通过对图1，图2，图3，图4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论处于平面直角坐标系中哪个位置，当其顶点C的坐标为（如图4）时，四个顶点的横坐标a，c，m，e之间都满足等量关系：_____________，纵坐标b，d，n，f之间都满足等量关系：_____________（不必证明）．
6．（2022春·浙江台州·八年级校联考阶段练习）如图1，在中，，，引一条射线，使得平分，点是延长线上一点，过作于，是线段上一点，使得，在线段上取点、（点在之间），，且，当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知．
（1）______，______；
（2）①判断和的位置关系，并说明理由；
②若，当______时，四边形是平行四边形．
（3）如图2，若，
①当时，求的值；
②若，求值．
7．（2021春·浙江·八年级期末）如图，四边形中，，点E为延长线上一点，连接，交于H．的平分线交于G．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图1，若，H为的中点，，求的长；
（3）如图2，若
①，求的度数；
②_____（用含有n的式子表示）
8．（2021春·浙江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，且，C是的中点．动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动；当点P到达点O时，点Q也停止运动．
（1）当P为中点时，的外角的平分线与的延长线交于点E．
①求证：；
②若，则________；
（2）若时，连结，以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒，当点D恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
9．（2020秋·浙江·八年级期末）如图1，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第四象限．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点P是边上一个动点，若点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标；
（3）如图3，若点T在直线上，且满足，求点T的坐标．
10．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图1，点分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点分别交坐标轴于点，且．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接，求证：；
（3）如图3，若点F为，点P在第一象限内，连接，过P作交y轴于点M，在上截取，连接，过P作交于点G，求证：点G是的中点．
11．（2021春·浙江温州·八年级统考期中）如图1，中，，点是边上两个动点，且，以为邻边作平行四边形分别交于点，设．
（1）当平行四边形的面积为时，求的值；
（2）求证：；
（3）如图2，连结，当与的一边平行时，求的面积．
12．（2019春·浙江·八年级期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C的坐标为，线段，上分别有两个动点P，Q，连结，已知，以，为邻边作平行四边形，设．
（1）求点A，B的坐标，并用含m的代数式表示点D的坐标．
（2）当与平行四边形的面积相等时，求点Q的坐标．
（3）是否存在点P，Q使得以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，说明理由．
（4）作点D关于点Q的对称点，当点恰好落在直线上时，________．（直接写出结果）
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，中，，，，点D为的中点，动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点Q从点C出发，也以每秒1个单位的速度沿方向运动到点B，以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒．
（1）当时，求的长；
（2）如图2，当点Q运动至点B时，连结，求证：．
（3）如图3，连结，当点E恰好落在的边上时，求所有满足要求的t值．
14．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形中，，顶点A的坐标为，边所在直线的解析式为．
（1）求点B的坐标；
（2）直线l经过点C，与直线交于点E，点O关于直线l的对称点为，连接并延长交直线于第一象限的点D，当时，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P是直线l上的动点，点Q是直线上的动点，以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出点P的坐标；如果不能，说明理由．
15．（2020春·浙江杭州·八年级期末）如图，以的三边为边在BC的同侧作等边、、，请回答下列问题：
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形：
（2）当满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，并说明理由：
（3）如图（2），若，，AB和AC的长为一元二次方程的两个根，求四边形ADEF的面积．
16．（2020春·浙江·八年级期末）如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
（2）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
（3）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．
17．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，的边，，，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为．
（1）求点，的坐标；
（2）当为何值时，？此时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
（3）当为何值时，的面积是面积的？
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
19．（2020·浙江金华·八年级期末）在中，，，点D为的中点．
（1）如图1，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转90°得到线段，连结，过点F作，交直线于点H．判断与的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，给出证明．
20．（2020秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，且面积为．

（1）求点的坐标及直线的解析式．
（2）如图1设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作以为直角顶点的等腰，在点运动过程中，当点落在直线上时，求点的坐标．
（3）如图2，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．
(1)求和的长；
(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；
(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．
22．（2020秋·浙江金华·八年级校考期中）已知□ABCD，∠BAD＝30°，AD⊥BD于点D，且AB＝6．点P是射线BA上一动点，过点P作PE⊥BD，交BD所在直线于点E．点Q是射线CD上一动点，且CQ＝2AP．设BP的长度为m．
(1)当点P在边AB上时，
①请用含m的代数式表示DE；
②当m＝3.6时，求证：QE=QD；
(2)在点P的整个运动过程中，
①当m为何值时，△DEQ为直角三角形？
②若以QD，QE为邻边构造□DFEQ．当点F恰好落在□ABCD的边界上时，直接写出m的值．
23．（2022春·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考期中）如图，在直角坐标系中，一次函数交轴，轴于，．若点向右平移个单位得到点，作平行四边形．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动，记点运动时间为秒．

备用图
(1)直接写出点的坐标________，点的坐标________（用含的代数式表示）；
(2)若，连接，是的中点，连接并延长交直线于点，当为何值时，存在以为腰的等腰
(3)若，连接，作关于的对称点，恰好落在平行四边形的边上，则________．（直接写出答案）
24．（2021春·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，点E在线段的延长线上，．点P在线段上，点Q在线段上．当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E，点F在线段上，且，连结，记．
（1）①________（用含x的式子表示）
②，求的长．
（2）请问是否存在x的值，使得A，B，F，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）当点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出x的值．
25．（2021春·浙江·八年级期中）如图1，直线分别交轴，轴于点，点，点分别是线段的中点，动点分别在直线和线段上，设点的横坐标为，线段的长为，且，以为邻边作平行四边形．
（1）求点和点的坐标．
（2）如图2，当点在点左侧，且时，求点的坐标．
（3）当点落在△AOB的边或上时，求点的坐标．
（4）如图3，当点在点右侧，点在线段上时，记点关于点的对称点为，连结交于点，设△DHE的面积为S1, △OHE＇的面积为，若的值等于9，求的值（直接写出答案）．
26．（2019春·浙江·八年级统考阶段练习）我们知道平行四边形有很多性质.现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
【发现与证明】在中，，将沿翻折至，连结.
结论1：；
结论2：与平行四边形重叠部分的图形是等腰三角形……请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）.
【应用与探究】在平行四边形中，已知，将沿翻折至，连结.
（1）如图1，若，，则______，______；
（2）如图2，，，与边相交于点，求的面积；
（3）已知，当长为多少时，是直角三角形？
特训02 第4章 平行四边形 压轴题（浙江精选归纳）
一、解答题
1．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）已知，如图1，在中，，将沿翻折至，连接．
(1)求证：；
(2)若点在直线下方，如图2，，，求的长；
(3)在翻折过程中，若为直角三角形，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)的值为或或或
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论；
（2）首先设与的交点为，根据平行四边形的性质，得出，，再根据折叠的性质，得出，，，根据等量代换，得出，，再根据，可得，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等角对等边，得出，再根据三角形的内角和为，得出，然后再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据直角三角形的勾股定理，得出，再根据线段的关系，得出，再利用等量代换，得出，进而算出，然后再利用，即可得出结果；
（3）根据题意，分四种情况，利用直角三角形的性质，分别进行讨论，即可得出结果．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵沿翻折至，
∴，
∴．
（2）解：如图，设与的交点为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵沿翻折至，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∵，
∴，
解得：，
∴．
（3）解：如图，当时，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，当时，
同理可得：．
如图，当，点在的上方时，
过点作，交于，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵沿翻折至，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
如图，当，点在的下方时，
同理可得：．
综上可得：的值为或或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等量代换，全等三角形性质与判定，直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关性质和找出所有符合条件的情况．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图直角坐标系中直线与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，已知，，，分别是线段，上的两个动点，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为（秒）．
(1)求线段的长，及点的坐标；
(2)为何值时，的面积为；
(3)若为的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．是否存在时间，使轴恰好将平行四边形的面积分成两部分，若存在，求出的值．
【答案】(1)，
(2)为秒或秒
(3)存在，为秒
【分析】（1）先确定出，再用含角的直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先确定出，再利用三角形面积公式建立方程求解即可得出结论；
（3）先确定点是的中点，，再利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
∴线段的长为，点的坐标为．
（2）如图，过点作于点，
∴轴，是直角三角形，
∴，
∵从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为秒，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，．
∴秒或秒时，的面积为．
（3）如图，连接、，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，点是和的中点，
∵轴恰好将平行四边形的面积分成两部分，
∴，
∴点是的中点，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为，
∵为的中点，，
∴，
∵点是和的中点，
∴，
∴点的纵坐标为，
由（2）可知：，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴，
∴．
∴当为秒时，轴恰好将平行四边形的面积分成两部分．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查含角的直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形中线的性质，中点坐标，平行四边形的性质，勾股定理，一元二次方程，一元一次方程等知识．用方程的思想解决问题是解答本题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，．
(1)求，的长度；
(2)若，求的长；
(3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或12
【分析】（1）根据题意，由可列方程并求解，可得，进而得到CE、CQ的长，再由求QE的长度即可；由点Q为中点，可知，可计算BC的长；
（2）过点A作于点M，PE交AC于点N，由等腰三角形的性质可知，再证明四边形AMEP为平行四边形，推导，由列方程并求解，可依次求得AP、CQ的长度，由计算BQ的长度即可；
（3）分两种情况讨论：当点Q、E在线段BC上时以及当点Q、E在线段CB的延长线上时，根据平行四边形的性质可知，根据题意分别列方程求解即可．
【解析】（1）解：如下图，由题意可知，，即，
解得，即，
∴，，
∴，
∵点Q为中点，
∴；
（2）如下图，过点A作于点M，PE交AC于点N，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形AMEP为平行四边形，
∴，
∵，
由可知，，
解得，即，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
①如下图，当点Q、E在线段BC上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，
则，
∵，
∴，
∴，
解得；
②如下图，当点Q、E在线段CB的延长线上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，
则，
∵，
∴，
∴，
解得．
综上所述，当以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形时，或12．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题关键是用方程的思想解决问题．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)60°
(2)
(3)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）易证∠DPC=∠DCP，得DP=CD，又CD=CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；
（2）如图②中，由四边形ABCD是平行四边形，推出ABCD，BCAD，，推出，推出，可得由此即可解决问题；
（3）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分①当0＜t≤3时；②当3＜t≤6时；③当6＜t≤9时；④当9＜t≤12时，四种情况讨论求解即可．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DPC＝∠PCB
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC．
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形
∴∠D＝∠B＝60° ；
（2）解：如图②中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，BCAD，，
∴，
∴
∴
∴，
∵△PCD为等边三角形，
∴PD=CD=8cm，PD边上的高为=，
∴；
（3）解：解：四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴PDBC
若要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0＜t≤3时，PD＝12-t，BQ＝12-4t，
∴12-t＝12-4t，解得t＝0，不合题意，舍去；
②当3＜t≤6时，PD＝12-t，BQ＝4（t-3）=4t-12，
∴12-t＝4t-12，解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝12-t，BQ＝12-4（t-6）=36-4t，
∴12-t＝36-4t，解得t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝12-t，BQ＝4（t-9）=4t-36，
∴12-t＝4t-36，解得t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）实验与探究：
(1)在图1，图2，图3中，已知的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1，图2，图3中的顶点C的坐标，它们分别是_____________，_____________，_____________；
(2)在图4中，给出的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（点C的坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
(3)通过对图1，图2，图3，图4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论处于平面直角坐标系中哪个位置，当其顶点C的坐标为（如图4）时，四个顶点的横坐标a，c，m，e之间都满足等量关系：_____________，纵坐标b，d，n，f之间都满足等量关系：_____________（不必证明）．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，
【分析】(1)根据平行四边形的性质：对边平行且相等，分别得出图2，图3中顶点C的坐标即可；
(2)分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F，在平行四边形ABCD中，CD=BA，根据内角和定理，又因为BB1CC1，可推出∠EBA=∠FCD，可证得△BEA≌△CFD，依题意得出AE=DF=a-c，BE=CF=d-b，设C(x,y)，由e-x=a-c，y−f=d−b，继而推出点C的坐标；
(3)在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理证明△BEA≌△CFD(同(2)证明)，然后推出AE=DF=a−c，BE=CF=d−b，又已知C点的坐标为(m,n)，e−m=a−c，故m+a=e+c，由n−f=d−b，得出n+b=f+d．
【解析】（1）解：利用平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图1、图2、图3中顶点C的坐标分别是：，，，
故答案为：，，；
（2）解：分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F，
在平行四边形ABCD中，CD=BA，
又∵BB1CC1，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180°
∴∠EBA=∠FCD
又∵∠BEA=∠CFD=90°，
∴△BEA≌△CFD，
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b，
设C(x,y)，由e-x=a-c，得x=e+c-a，
由y−f=d-b，得y=f+d-b，
∴C(e+c-a,f+d-b)；
（3）解：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a,b)，B(c,d)，C(m,n)，D(e,f)时，由(2)得：m=c+e−a，n=d+f−b或m+a=c+e，n+b=d+f．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（2022春·浙江台州·八年级校联考阶段练习）如图1，在中，，，引一条射线，使得平分，点是延长线上一点，过作于，是线段上一点，使得，在线段上取点、（点在之间），，且，当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知．
（1）______，______；
（2）①判断和的位置关系，并说明理由；
②若，当______时，四边形是平行四边形．
（3）如图2，若，
①当时，求的值；
②若，求值．
【答案】（1），；（2）①，见解析；②；（3）①；②
【分析】（1）在中，令x=0，可求得y的值，此即MN的长；令y=0，可求得x的值，此即BC的长；
（2）①由已知可得，由四边形内角和可求得∠AED的度数，进而可得 ，因此可得结论；②由①的结论，要使四边形是平行四边形，只要PC=FQ即可，而FQ=y+4，PC=x，由此建立方程，求得关于x的值；
（3）①连接，可得，由，可得四边形是平行四边形，从而易得FN=FC=PC=2，可求得y的值，再由QM=MN-y，即可求得结果；②由①FN=FC=PC=4m，可分别求得QM、EQ，由△FCN是一个底角为30°的等腰三角形，可求得CN的长，即BE的长，由BE=EQ，得关于m的方程，解方程即求得m的值．
【解析】（1）在中，令x=0，得y=8，即MN=8；令y=0，得x=12，即BC=12
故答案为：12，8
（2）①
理由如下：
∵，
∴∠ACB=60°
平分
②∵
∴当PC=FQ时，四边形是平行四边形
当m=1时，FN=EM=4
∴FQ=FN+QN=4+y=4+
∴
解得：
故答案为：
（3）①如图2，连接，
，
四边形是平行四边形
∴CN∥BE
∴FC=FN
当时，
②由①得，当时，
，
∴
四边形是平行四边形
解得
【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解方程等知识，理解PC与QN之间的关系式是本题的关键．
7．（2021春·浙江·八年级期末）如图，四边形中，，点E为延长线上一点，连接，交于H．的平分线交于G．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图1，若，H为的中点，，求的长；
（3）如图2，若
①，求的度数；
②_____（用含有n的式子表示）
【答案】（1）见解析；（2）；（3）①36°；②
【分析】（1）根据平行线的性质得∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，可得AD∥BC，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得到相应线段的长度，并证明△AHD≌△EHC，得到AH=EH=6，CE=AD=5，再根据三线合一的性质得到HG=EG=3，CG⊥AE，再利用勾股定理求出CG和AC的长；
（3）①设∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180°①，△ACG中，x+2x+y+z=180°，变形后相减可得结论；
②设∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180°①，△ACG中，x+nx+y+z=180°，变形后相减可得结论．
【解析】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE，
∵∠B=∠D，
∴∠D=∠DCE，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD=10，
∴CD=10，AD=BC=5，
∵AD∥BE，
∴∠D=∠HCE，
∵H为CD中点，
∴CH=DH，CH=DH=5，
又∠AHD=∠EHC，
∴△AHD≌△EHC（ASA），
∴AH=EH=6，CE=AD=5，
∵CG平分∠DCE，
∴CG⊥AE，即△ACG为直角三角形，HG=EG=EH=3，
∴AG=AH+HG=9，CG==4，
∴AC==；
（3）①设∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，
则∠EAD=y，∠D=∠DCE=2z，∠AGC=2∠CAE=2x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠BAH=x+y，∠ACD=∠BAC=y，
△AHD中，x+2y+2z=180°①，
△ACG中，x+2x+y+z=180°，
即3x+y+z=180°，
∴6x+2y+2z=360°②，
②-①得：5x=180°，
解得：x=36°，
∴∠CAE=36°；
②设∠CAE=x，∠DCG=z，∠BAC=y，
则∠EAD=y，∠D=∠DCE=2z，∠AGC=n∠CAE=nx，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠BAH=x+y，∠ACD=∠BAC=y，
△AHD中，x+2y+2z=180°①，
△ACG中，x+nx+y+z=180°，
∴（n+1）x+y+z=180°，
∴2（n+1）x+2y+2z=360°②，
②-①得：（2n+1）x=180°，
∴x=，
即∠CAE=．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．（2021春·浙江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，且，C是的中点．动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动；当点P到达点O时，点Q也停止运动．
（1）当P为中点时，的外角的平分线与的延长线交于点E．
①求证：；
②若，则________；
（2）若时，连结，以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒，当点D恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
【答案】（1）①证明见解析；②；（2）：t=4或或．
【分析】（1）①先证明再利用平行线的性质与角平分线的性质证明：从而可得结论；②先证明 设 可列方程：再利用平方差公式可得：从而可得答案；
（2）如图2，过点D作DF⊥AO于F，过点C作CE⊥BO于E，证明△PDF≌△CQE（AAS）， 再用含的代数式表示点D（2t-3，4-t）， 再分三种情况讨论即可.
【解析】解：（1）①如图1，分别为的中点，
为的中位线，


平分



②为的中点，

设

为中位线，






（2）如图2，过点D作DF⊥AO于F，过点C作CE⊥BO于E，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CQ=PD，PD∥CQ，
∴∠QCP+∠DPC=180°，
∵AO∥CE， ∴∠OPC+∠PCE=180°，
∴∠FPD=∠ECQ，
又∵∠PFD=∠CEQ=90°，
∴△PDF≌△CQE（AAS），
∴DF=EQ，PF=CE，
∵为中点，
点C（3，4），点P（0，8-t），点Q（2t，0），
∴CE=PF=4，EQ=DF=2t-3，
∴FO=8-t-4=4-t，
∴点D（2t-3，4-t），
当点D落在直线OB上时，则4-t=0，即t=4，
当点D落在直线OC上时，
∵点C（3，4），
∴直线OC解析式为：，
∴4-t=， ∴，
当点D落在AB上时，

设为：


为：


综上所述：t=4或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
9．（2020秋·浙江·八年级期末）如图1，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第四象限．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点P是边上一个动点，若点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标；
（3）如图3，若点T在直线上，且满足，求点T的坐标．
【答案】（1）；（2）（，）或（，）；（3）（－3，4）或（，）
【分析】
【解析】解：（1）设直线的解析式为，
将点A，点B代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵在平行四边形中，，
∴设直线的解析式为，
∵轴，，点B的坐标为，点C在第四象限，
∴点C的坐标为，
将代入，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）∵点P是边上一个动点，
∴设点P的坐标为（，），且，
若点P与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为（，），
将（，）代入直线，得：
，
解得：（符合题意），
∴点P的坐标为（，），
若点P与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为（，），
将（，）代入直线，得：
，
解得：（符合题意），
∴点P的坐标为（，），
综上所述，点P的坐标为（，）或（，）；
（3）如图，设CD，AB与x轴的交点分别为E，F，
又∵直线CD，AB的解析式分别为，，
∴点E的坐标为（5，0），点F的坐标为（－1，0），
∴OE＝5，OF＝1，
∴
，
，
又∵，
∴，
∵点T为直线上一点，
∴设点的坐标为（，），
过点T作直线TH⊥x轴，交直线AB于点H，则点H的坐标为（，），
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，，此时点T在直线AB的上方，
当时，，此时点T在直线AB的下方，
∴点T的坐标为（－3，4）或（，）．
【点睛】本题是一次函数与平行四边形、三角形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，轴对称的性质等相关知识，解题时要注意分类讨论，避免漏解．
10．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图1，点分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点分别交坐标轴于点，且．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接，求证：；
（3）如图3，若点F为，点P在第一象限内，连接，过P作交y轴于点M，在上截取，连接，过P作交于点G，求证：点G是的中点．
【答案】（1）（0，4）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）作轴于，求出，证，推出，，即可得出答案；
（2）在上截取，连，证，证，即可得出答案．
（3）作交的延长线于，连接、、，只要证明四边形是平行四边形就可以了．
【解析】解：（1）作轴于，
，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
（2）证明：在上截取，连，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
由（1）可知，，
，（图1中），
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，作交的延长线于，连接、、，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
即点是中点．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及等角的余角相等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
11．（2021春·浙江温州·八年级统考期中）如图1，中，，点是边上两个动点，且，以为邻边作平行四边形分别交于点，设．
（1）当平行四边形的面积为时，求的值；
（2）求证：；
（3）如图2，连结，当与的一边平行时，求的面积．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）先根据含有30°角的直角三角形的性质得出，，再根据平行四边形的面积为得出关于m的方程，解之即可；
（2）根据直角三角形的性质和平行四边形的性质得出，再根据AAS即可得出；
（3）分①当AD//PF和②当AD//PQ两种情况进行分析即可；
【解析】解：（1）过点P作PH⊥BC于H，则∠PHC=90°，
∵，，
∴，
∵，，
∴，∠BPH=90°，
∵，
∴，，
∵BC=4，CQ=m，
∴BQ=4-m，
∵平行四边形的面积为，
∴
∴m=1或3
∵P点在AB上
∴m=1，
（2）∵四边形是平行四边形
∴PD=BQ=4-m，PD//BC，BP//QD
∴∠D=∠FQC，
∵∠C=90°，
∴∠AEP=90°，
∴，
∴，
∵∠DFE=∠QFC，
∴
（3）过点Q作QM⊥AB于M，则∠BMQ=90°，
∵∠ABC=60°，
∴，，
∵
∴QF=DF，
∴，
∴的面积=，
∵QF与AD相交于点D，则AD不平行QF，
①当AD//PF时，
∵BP//QD，
∴四边形是平行四边形,
∴DF=AP，
∴2m=8-4m，
∴，
∴的面积=，
②当AD//PQ时，
∵BP//QD，
∴四边形是平行四边形,
∴DQ=AP，
∴4m=8-4m，
∴，
∴的面积=，
综上所述：的面积为或；
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
12．（2019春·浙江·八年级期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C的坐标为，线段，上分别有两个动点P，Q，连结，已知，以，为邻边作平行四边形，设．
（1）求点A，B的坐标，并用含m的代数式表示点D的坐标．
（2）当与平行四边形的面积相等时，求点Q的坐标．
（3）是否存在点P，Q使得以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，说明理由．
（4）作点D关于点Q的对称点，当点恰好落在直线上时，________．（直接写出结果）
【答案】（1）点A（-3，0），点B（0，4），点D（2+m，4-2m）；（2）点Q （3）的值为1或或；（4）．
【分析】（1）分别根据、时求出B点和A点坐标，再根据点的平移规律求出点D坐标；
（2）由三角形面积，列出关于m的方程即可求解；
（3）两点距离公式用m表示出OD、BD的距离，再根据等腰三角形定义三种情况解方程求解m即可；
（4）由对称的性质可知点Q是线段中点，根据中点坐标公式列方程求解即可．
【解析】解：（1）当时，，即点B坐标为（0，4），
当时，，解得：，即点A坐标为（-3，0），
∵，，
∴，，
∵在平行四边形中，，，
∴点D坐标为（2+m，4-2m），
综上所述：点A坐标为（-3，0），点B坐标为（0，4），点D坐标为（2+m，4-2m）；
（2）由（1）可知：，
∴，
∴，
，
∴当与平行四边形的面积相等时，，
解得，（舍去），
故点Q的坐标为
（3）由（1）可知：点B（0，4），点D（2+m，4-2m），
∴，
，
以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形有三种可能：
①当时，则：，
解得：
②当时，则：，
解得：，（舍去），
③当时，则：，
解得：，（此时，故舍去），
综上所述：当等于1，，时，以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形；
（4）当点恰好落在直线上时，设点坐标为，
∵点D关于点Q的对称点是点，
∴点Q是线段中点，
∵点D坐标为（2+m，4-2m），点Q坐标为（-m，0），
∴ ，
解得：，
故填：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，涉及了一次函数图像上点的特征、平行四边形性质、平面直角坐标系中两点距离计算及等腰三角形的判定、中心对称的点坐标特征等，解题关键是掌握相关知识，利用点的坐标表示线段的关系，利用数形结合思想进行解题．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，中，，，，点D为的中点，动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点Q从点C出发，也以每秒1个单位的速度沿方向运动到点B，以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒．
（1）当时，求的长；
（2）如图2，当点Q运动至点B时，连结，求证：．
（3）如图3，连结，当点E恰好落在的边上时，求所有满足要求的t值．
【答案】（1）；（2）见详解；（3）当点E恰好落在的边上时，t的值为或．
【分析】（1）由题意易得AP=2，过点P作PH⊥AB于点H，进而可得，然后可得，最后利用勾股定理可求解；
（2）由题意易得PE∥BD，PE=BD，进而可得PE∥AD，PE=AD，然后问题可求证；
（3）由题意易得，AC=6，进而根据题意当点E恰好落在的边上时，则可分：①当点E恰好落在的边上时，②当点E恰好落在的边上时，然后分类求解即可．
【解析】（1）解：由题意可得：，
∵，，，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
过点P作PH⊥AB于点H，如图所示：
∵，
∴，
∴，
在Rt△AHP中，，
∴，
∴在Rt△PHD中，；
（2）证明：∵点Q运动至点B时，四边形是平行四边形，
∴PE∥BD，PE=BD，
∵点D为的中点，
∴，
∴PE∥AD，PE=AD，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）由题意得：，
∵，，，
∴，
当点E恰好落在的边上时，则可分：
①当点E恰好落在的边上时，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴PE=DQ，PD=QE，DQ∥AC，
∵∠ACB=90°，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
②当点E恰好落在的边上时，如图，过点D、E分别作DN⊥BC，EM⊥AC，垂足分别为N、M，
∴，
∵四边形PEQD是平行四边形，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴CN=BN，
∴，
由（1）得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在Rt△CME中，，
∵，
∴，
解得：；
由题意可知点E恰好落在的边上是不存在的，
综上所述：当点E恰好落在的边上时，t的值为或．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形中，，顶点A的坐标为，边所在直线的解析式为．
（1）求点B的坐标；
（2）直线l经过点C，与直线交于点E，点O关于直线l的对称点为，连接并延长交直线于第一象限的点D，当时，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P是直线l上的动点，点Q是直线上的动点，以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出点P的坐标；如果不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）或或
【分析】（1）由题意可设点B的坐标为，然后代入直线的解析式求解即可；
（2）过点C作CN⊥AB于点N，由题意易得，，则有，进而可得，，，然后可得，设l的解析式为，把和点代入进行求解即可；
（3）由（1）（2）可得：，l的解析式为，，，则有直线OD的解析式为：，然后设点，当以BC为平行四边形的一边时，当以BC为对角线时，进而根据平行四边形在坐标系中的坐标特点可直接进行求解．
【解析】解：（1）∵A的坐标为，，
∴设点B的坐标为，
∵所在直线的解析式为，
∴，
∴点B的坐标为；
（2）过点C作CN⊥AB于点N，如图所示：
∵，
∴，
由轴对称可得，
∴，
∵，
∴，
∵，当x=0时，则y=3，
∴，
由题意易得四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设l的解析式为，把和点代入得：
，解得：，
∴l的解析式为；
（3）由（1）（2）可得：，l的解析式为，，，
∴点D的坐标为，
设直线OD的解析式为：，把点D的坐标代入得：，
∴直线OD的解析式为：，
设点，当以BC为平行四边形的一边时，如图：
∴根据平行四边形顶点在平面直角坐标系中的特点可得：
，解得：，
∴点P的坐标为：，
如图，
同理可得：，解得：，
∴点P的坐标为：，
当以BC为对角线时，同理可得：
，解得：，
∴点P的坐标为：，
综上所述：当以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及一次函数与几何的综合，熟练掌握平行四边形的性质及一次函数与几何的综合是解题的关键．
15．（2020春·浙江杭州·八年级期末）如图，以的三边为边在BC的同侧作等边、、，请回答下列问题：
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形：
（2）当满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，并说明理由：
（3）如图（2），若，，AB和AC的长为一元二次方程的两个根，求四边形ADEF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）∠BAC=60°；理由见解析；（3）12
【分析】（1）根据△ABD，△EBC都是等边三角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF是平行四边形
（2）当∠BAC=60°，可推出点D、A、F共线，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．
（3）过点A作AH⊥DE于点H，根据一元二次方程的解和根与系数的关系求出m值，得到AB和AC，再分两种情况分别讨论，结合平行四边形的性质求出结果．
【解析】解：（1）∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC，∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中，
∵BD=BA，∠DBE=∠ABC，BE=BC，
∴△DBE≌△ABC（SAS）．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF平行四边形；
（2）当∠BAC=60°时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；理由如下：
∵∠BAC=60°，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=180°，
∴点D、A、F共线，
∴以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；
（3）过点A作AH⊥DE于点H，
∵AB和AC的长为一元二次方程的两根，
∴，①
，②
①+②，得：，
在Rt△ABC中，∵BC=，
∴，AB+AC==10，
∴有，
解得：m=24，
∴原方程为，
解得：，，
若AB=6，AC=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥AF，DE=AF=AC=4，AD=EF=AB=6，
∴∠ADE+∠DAF=180°，
∵∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°，
∴∠ADE=30°，
∴AH=AD=3，
∴S平行四边形ADEF=DE×AH=12；
若AB=4，AC=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥AF，DE=AF=AC=6，AD=EF=AB=4，
∴∠ADE+∠DAF=180°，
∵∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°，
∴∠ADE=30°，
∴AH=AD=2，
∴S平行四边形ADEF=DE×AH=12；
综上：四边形ADEF的面积为12．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，解此题的关键是求出DE=AF=AC=6，AD=EF=AB=4，主要考查了学生的推理能力．
16．（2020春·浙江·八年级期末）如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
（2）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
（3）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．
【答案】（1）t=5；（2）t=9；（3）t=15
【分析】（1）由平行四边形的性质得出DQ=CP，当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由题意得出方程，解方程即可；
（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
（3）当10.5≤t＜16时，点P到达C点返回，由梯形面积公式得出方程，解方程即可．
【解析】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得：t=5；
即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
CP=21-2t，DQ=16-t，
若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，
则（DQ+CP）×AB=60，
即（16-t+21-2t）×12=60，
解得：t=9；
即当0＜t＜10.5时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为9秒；
（3）当10.5≤t＜16时，如图2所示，点P到达C点返回，CP=2t-21，DQ=16-t，
则同（2）得：（DQ+CP）×AB=60，
即（16-t+2t-21）×12=60，
解得：t=15．
即当10.5≤t＜16时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为15秒．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质、梯形的面积等知识，熟练掌握直角梯形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
17．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，的边，，，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为．
（1）求点，的坐标；
（2）当为何值时，？此时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
（3）当为何值时，的面积是面积的？
【答案】（1）C（8，8），B（26，8）；（2）t=5秒时，AP⊥CB，存在点M，（5，13）或（5，-3）或（31，3）；（3）3秒或6秒
【分析】（1）过点C作CD⊥OA，垂足为D，得到△OCD为等腰直角三角形，根据OC的长得到OD和CD，可得点C坐标，利用平行四边形的性质可得点B坐标；
（2）求出AP⊥BC时点P坐标，得到CP的长，从而可得t值；再求出此时点Q坐标，根据平行四边形的性质可得M坐标；
（3）用t表示出点P、Q的坐标，从而表示出△APQ的面积，根据已知条件得到方程，解之即可．
【解析】解：（1）过点C作CD⊥OA，垂足为D，
∵∠AOC=45°，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∵OC=，在△OCD中，，
∴OD=CD==8，
∴点C坐标为（8，8），
∵OA=18，即点A坐标为（18，0），四边形OABC为平行四边形，
∴点B坐标为（26，8）；
（2）若AP⊥BC，
则点P坐标为（18，8），
∴CP=18-8=10，
∴此时t=10÷2=5s，
此时OQ=，
同（1）可知点Q此时的坐标为（5，5），
∵为顶点的四边形是平行四边形，
∴点M的坐标为（5，13）或（5，-3）或（31，3）；
（3）由题意可得：OQ=，CP=2t，
同（1）可得：点Q的坐标为（t，t），点P的坐标为（8+2t，8），
∴△APQ的面积=四边形OABC的面积-△AOQ的面积-△PQC的面积-△ABP的面积
=
=，
∵的面积是□OABC面积的，
∴，
解得：t=3或6，
∴当t为3秒或6秒时，的面积是□OABC面积的．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，知识点较多，解题的关键是弄清题中线段长度与坐标的关系．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，结论成立，见解析；（3）40cm
【分析】（1）由平行四边形的性质可知、，结合、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形；
（2）由、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若，，则四边形为平行四边形”即可；
（3）根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长．
【解析】解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，
四边形为平行四边形．
（2），，
，
，
四边形为平行四边形．
上述结论成立，
由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形．
（3）在中，，
．
平分，
，
，
．
，
，
是的垂直平分线，
．
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（2）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（3）根据平行四边形的性质找出是等边三角形．
19．（2020·浙江金华·八年级期末）在中，，，点D为的中点．
（1）如图1，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转90°得到线段，连结，过点F作，交直线于点H．判断与的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，给出证明．
【答案】（1）CF=FH；理由见解析；（2）结论不变，CF=FH；理由见解析．
【分析】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠1=∠2=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，于是证出△CEF≌△FGH．故CF=FH．
（2）类似（1）的证法证明△CEF≌△FGH，故CF=FH．
【解析】解：（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC．理由如下：
如图1，延长DF交AB于点G，
由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且DC＝AC，
∴DG为△ABC的中位线，
∴DG＝BC．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．
（2）FH与FC仍然相等．理由如下：
如图2，由题意可得出：DF=DE，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵点D为AC的中点，DF∥BC，
∴DG= BC，DC= AC，
∴DG=DC，
∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，
∴∠GFH=∠FCE，
在△FCE和△HFG中，
，
∴△FCE≌△HFG（ASA），
∴HF=FC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大．
20．（2020秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，且面积为．

（1）求点的坐标及直线的解析式．
（2）如图1设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作以为直角顶点的等腰，在点运动过程中，当点落在直线上时，求点的坐标．
（3）如图2，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），直线的解析式为．（2）坐标为或．（3）存在，满足条件的点的坐标为或或．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出点C坐标，再利用待定系数法即可解答；
（2）分两种情况：①当时，如图，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，，求出点；②当时，如图，同法可得，再将解代入直线解析式求出n值即可解答；
（3）利用三角形面积公式求出点M的坐标，求出直线AM的解析式，作BE∥OC交直线于，此时，当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，再根据对称性可得即可解答．
【解析】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为．
（2），，，
，设，
①当时，如图，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，．
是等腰直角三角形，易证，
，，
，
点在直线，
，
，
．
②当时，如图，同法可得，
点在直线上，
，
，
．
综上所述，满足条件的点坐标为或．
（3）如图，设，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
作交直线于，此时，
当时，可得四边形，四边形是平行四边形，
可得，，
当点在第三象限，由BC=DE，根据对称性知，点D关于点A对称的点也符合条件，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
【点睛】本题考查三角形的面积、待定系数法求直线解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，是一次函数与几何图形的综合题，解答的关键是理解题意，认真分析，结合图形，寻找相关联的信息，利用待定系数法、数形结合等解题方法进行推理、计算．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．
(1)求和的长；
(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；
(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．
【答案】(1)16，20
(2)见解析
(3)或或或
【分析】（1）求得A，F两点坐标，进而求得AF长，取AF的中点M，连接OM，作CGAD交AF的延长线于G，作GH⊥OC于H，求得A，F坐标，从而求得AF，推出△AOQ是等边三角形，从而得出∠OAF=60°，从而得出∠CFG=30°，进而得出AGCE，进一步得出四边形AECG是平行四边形，从而CE=AG，进一步求得结果；
（2）在（1）的基础上，证明出结论；
（3）分为三种情形，当∠QFP=90°，解直角三角形CPQ求得CP，进而求得AQ；当∠PQF=90°时，在∠QFP=90°的图形上，根据P′P1=FQ′求得结果；当∠QPF=90°时，分别表示出PQ2和PF2，根据PQ2+PF2=FQ2列出方程，进而求得结果．
【解析】（1）如图，
取的中点，连接，作CGAD交的延长线于，作于，
当时，，
，
当时，
，
，
，
，
，
，是的中点，
，
，
，
，
在四边形中，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，AG//CE
，四边形是平行四边形，
，
设，则，
，
，舍去，
，
；
（2）证明：由（1）知：AF//CE，
，
四边形为平行四边形；
（3）解：如图，
当时，图中，
，
，
，
，
当时，图中，
由得，
，
，
，
如图，
当时，作于作于，
设，
，，，
在中，
，
在中，
，
由得，
，
，，
或，
综上所述：或或或．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，平行四边形判定，直角三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，根据条件列出方程．
22．（2020秋·浙江金华·八年级校考期中）已知□ABCD，∠BAD＝30°，AD⊥BD于点D，且AB＝6．点P是射线BA上一动点，过点P作PE⊥BD，交BD所在直线于点E．点Q是射线CD上一动点，且CQ＝2AP．设BP的长度为m．
(1)当点P在边AB上时，
①请用含m的代数式表示DE；
②当m＝3.6时，求证：QE=QD；
(2)在点P的整个运动过程中，
①当m为何值时，△DEQ为直角三角形？
②若以QD，QE为邻边构造□DFEQ．当点F恰好落在□ABCD的边界上时，直接写出m的值．
【答案】(1)①；②见解析
(2)①；②
【分析】（1）①利用△BPE是含30°的直角三角形求出BE，再用即可求；②求出QD，可得DE=QD，从而得出△DEQ是等边三角形，从而得证．
（2）①P在边AB上和当P在边AB的延长线上两种情况讨论，分别求出m的值；②分点F在AD和BC两种情况讨论，利用含30°的直角三角形的性质可得结果．
（1）
解：①∵PE⊥BD，AD⊥BD
∴PEAD
又∵∠BAD＝30°
∴∠BPE=30°
∴．
∵AB=6，AD⊥BD，∠BAD＝30°
∴，
∴．
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，ABCD
∵AB=6，BP=m，
∴AP=6-m，
∵CQ＝2AP
∴CQ＝12-2m，
∴
∴当m＝3.6，，
∴，
∵AD⊥BD，∠BAD＝30°，
∴∠ABD=60°，
又∵ABCD
∴∠EDQ=∠ABD=60°，
∴△DEQ是等边三角形，
∴QE=QD．
（2）
①（i）当P在边AB上时，点Q在CD上即3