山东省临沂市2022-2023学年高一下学期期末数学试卷

这是一份山东省临沂市2022-2023学年高一下学期期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了已知，则，如图，已知，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高（单位：cm）数据按从小到大排序如下：
162 162 163 165 165 165 165 167 167 167
168 168 170 170 171 173 175 175 178 178
则这20名队员身高的第75百分位数为（ ）
A．171B．172C．173D．174
3．记内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．1B．C．2D．
5．如图，已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知非零向量，满足，且在方向的投影向量是，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
7．图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
10．若数据的平均数为2，方差为3，则（ ）
A．数据，，，的平均数为20B．
C．数据，，，的标准差为D．
11．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
12．在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（ ）
A．
B．该三棱柱的体积为4
C．过，，三点截该三棱柱的截面面积为
D．直线与平面所成角的正切值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为40，则抽取老年医生的人数为_______________．
14．已知某圆锥的高为8，体积为，则该圆锥的侧面积为_______________．
15．在中，已知，是的方程的两个实根，则_______________．
16．三棱锥中，底面，，底面的斜二测直观图为，如图，，，则该三棱锥外接球的体积_______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为和，，．
（1）若与夹角为，求；
（2）若点是线段的中点，且与垂直，求实数的值．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，侧面底面，．
（1）求证：平面；
（2）求侧面与底面所成二面角的正切值．
19．（12分）
某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点500个，为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅局随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为100分．将分数以20为组距分为5组：、、、、，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知组的频数比组多8．
（1）求直方图中和的值；
（2）为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅局希望使得恰有50%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数．
20．（12分）
已知函数的最大值为1．
（1）求的值；
（2）将的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求使成立的的取值集合．
21．（12分）
某中学举办诗词大会选拔赛，需要从甲、乙两位选手中选出一位代表学校参加全国诗词大会，甲、乙两位选手需要分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答．已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．
（1）求甲恰好抽到2道选择题的概率；
（2）求甲答对的题目比乙多的概率．
22．（12分）
沂河岸边欲修建一个形状为平面凸四边形的休闲观光、生态保护的主题公园，如图，其中km，km，为正三角形．建成后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为生态保护的功能区域．
（1）当时，求的面积；
（2）求面积的最大值．
数学试题参考答案及评分标准
2023．7
说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分．
二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半：如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．D 8．A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AC 10．BCD 11．AB 12．ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．18 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）由已知得， 1分
所以，， 2分
，， 4分
所以. 5分
（2）因为，， 7分
因为向量与垂直，
所以，所以， 9分
所以. 10分
18．（1）证明：侧面底面，侧面底面，，平面，
平面， 2分
又平面， 3分
， 4分
，又， 5分
平面. 6分
（2）取、的中点分别为、，连接、、，则，， 7分
又，，平面， 8分
，平面， 9分
所以是侧面与底面所成二面角的平面角， 10分
，， 11分
，即侧面与底面所成二面角的正切值为. 12分
19．（1）由题意可得，， 4分
解得，； 6分
（2）设应该制定的评分分数为分，
则在频率分布直方图中，右边的面积为0.5， 8分
最后一组的面积是， 9分
所以位于倒数第二组，
故，解得， 11分
所以应该制定的评分分数为72分. 12分
20．（1）由题意，函数，
化简得，
， 3分
的最大值为1， 4分
，解得：. 6分
（2）由题意得， 8分
，， 9分
即， 11分
所求的取值集合为 12分
21．（1）记3道选择题的题号为1，2，3，2道填空题的题号为4，5，
则试验的样本空间，共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，记事件“甲恰好抽到2道选择题”，则，故，
因此甲恰好抽到2道选择题的概率为. 3分
（2）设事件，分别表示甲答对1道题，2道题，事件，分别表示乙答对0道题，1道题，
根据事件的独立性得， 4分
， 5分
， 6分
， 7分
记事件“甲答对的题目比乙多”，
则，且，，两两互斥，与，与，与分别相互独立，
所以， 8分
， 9分
， 10分
所以 11分
故甲答对的题目比乙多的概率为. 12分
22．解：（1）在中，，由余弦定理得， 1分
，（或由正弦定理得：） 2分
，， 3分
为等边三角形，，，， 4分
（km2）. 5分
（2）①解法一：不妨设，，，
在中，. 6分
在中，由余弦定理得， 7分
又，，
， 8分
在中，由正弦定理得，， 9分
10分
又，当且仅当，即时等号成立. 11分
最大值为（km2） 12分
②解法二：不妨设，，
， 6分
在中，由余弦定理得
， 7分
由正弦定理得，即，
，又， 8分
，
9分
， 10分
由知，
当且仅当，即时等号成立， 11分
最大值为（km2） 12分