2024年北京市西城区第十五中学九上数学开学学业质量监测模拟试题【含答案】

这是一份2024年北京市西城区第十五中学九上数学开学学业质量监测模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）下列图形都是由同样大小的黑、白圆按照一定规律组成的，其中第①个图形中一共有2个白色圆，第②个图形中一共有8个白色圆，第③个图形中一共有16个白色圆，按此规律排列下去，第⑦个图形中白色圆的个数是（ ）
A．96B．86C．68D．52
3、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长度为（ ）
A．B．C．+1D．2
4、（4分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．菱形B．等边三角形C．平行四边形D．直角三角形
5、（4分）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高（单位：）与电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径.如果两个电视塔的高分别是，，那么它们的传播半径之比是，则式子化简为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB=，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD=，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
7、（4分）某社区超市以4元/瓶从厂家购进一批饮料，以6元/瓶销售.近期计划进行打折销售，若这批饮料的销售利润不低于20%则最多可以打（ ）
A．六折B．七折C．七五折D．八折
8、（4分）如图，在平面直角坐示系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的横坐标分別为1，2，反比例函数的图像经过A，B两点，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．1B．C．2D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______．
10、（4分）若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是______．
11、（4分）如图,已知在△ABC中,AB=AC．以AB为直径作半圆O,交BC于点D． 若∠BAC=40°,则AD弧的度数是___度.
12、（4分）在学校组织的科学素养竞赛中，八（3）班有25名同学参赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，现将该班的成绩绘制成扇形统计图如图所示，则此次竞赛中该班成绩在70分以上（含70分）的人数有_______人．
13、（4分）如图, x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上，反比例函数y= (x>0)的图象与正比例函数y=x的图象交于点A．BC边经过点A，CD边与反比例函数图象交于点E，四边形OACE的面积为6.则点A的坐标为_____；
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简在求值： ，其中
15、（8分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，1．
（1）这组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；
（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．
16、（8分）在平行四边形中，和的平分线交于的延长线交于，是猜想：
（1）与的位置关系？
（2）在的什么位置上？并证明你的猜想.
（3）若，则点到距离是多少？
17、（10分）根据下列条件分别确定函数y＝kx＋b的解析式：
（1）y与x成正比例，当x＝5时，y＝6；
（2）直线y＝kx＋b经过点(3，6)与点(2，－4)．
18、（10分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若y=，则x+y= ．
20、（4分）方程的根为________．
21、（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A5的坐标是___．
22、（4分）如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD＝DC＝4，DE＝3，DE∥BC，∠C＝90°，将△ADE沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为________．
23、（4分）如图，四边形ABCD为菱形，点A在y轴正半轴上，AB∥x轴，点B，C在反比例函数上，点D在反比例函数上，那么点D的坐标为________.

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部 ， 颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置 ， ． 然后测出两人之间的距离 ， 颖颖与楼之间的距离（ ， ， 在一条直线上），颖颖的身高 ， 亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 ． 你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？
25、（10分）某通讯公司推出①、②两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
（2）何时两种收费方式费用相等？
26、（12分）如图，已知点是反比例函数的图象上一点过点作轴于点，连结，的面积为.
（1）求和的值.
（2）直线与的延长线交于点，与反比例函数图象交于点.
①若，求点坐标；②若点到直线的距离等于，求的值.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【详解】
解：是分式，
故选：B.
本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式.
2、C
【解析】
根据题意得出第n个图形中白色圆个数为n（n+1）+2（n﹣1），据此可得．
【详解】
解：∵第①个图形中白色圆个数2＝1×2+2×0，
第②个图形中白色圆个数8＝2×3+2×1，
第③个图形中白色圆个数16＝3×4+2×2，
……
∴第⑦个图形中白色圆个数为7×8+2×6＝68，
故选C．
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出第n个图形中白色圆个数为n（n+1）+2（n﹣1）．
3、A
【解析】
先求出∠ABD=60°，利用旋转的性质即可得到AB=AB′，进而得到△ABB′是等边三角形，于是得到∠BAB′=60°，再次利用旋转的性质得到∠DAD′=60°，结合AD=AD′，可得到△ADD′是等边三角形，最后得到DD′的长度．
【详解】
解：∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，
∴AD=BC=，
∴tan∠ABD==，
∴∠ABD=60°，
∵AB=AB′，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′=60°，
∴∠DAD′=60°，
∵AD=AD′，
∴△ADD′是等边三角形，
∴DD′=AD=BC=，
故选A．
4、A
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A. 菱形既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；
B. 等边三角形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；
C. 平行四边形不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；
D. 直角三角形不是轴对称（等腰直角三角形是），也不是中心对称图形，故本选项错误.
故选A.
本题主要考查图形的中心对称和图形的轴对称概念，熟悉掌握概念是关键.
5、D
【解析】
乘以分母的有理化因式即可完成化简．
【详解】
解：.
故选D.
本题考查了二次根式的应用，了解二次根式的有理化因式是解答本题的关键，难度不大．
6、A
【解析】
①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；②利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；③在Rt△AEP中，利用勾股定理，可求得EP、BE的长，再依据△APD≌△AEB，即可得出PD=BE，据此即可判断.
【详解】
①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB，故①正确；
②∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED，故②正确；
③在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=，
又∵PB=，
∴BE=，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，故③错误，
故选A.
本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形面积、勾股定理等，综合性质较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
7、D
【解析】
设打x折后销售利润不低于20%，根据这批饮料的销售利润不低于20%列不等式求解即可.
【详解】
设打x折后销售利润不低于20%，根据题意得
6x－4≥4×20% ，
解得x≥0.8，
所以，最多可以打8折.
故选D.
此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据实际问题中的条件列不等式时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出不等关系，列出不等式式是解题关键．
8、B
【解析】
过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为1，2，可得出纵坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出答案．
【详解】
解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，
∵A，B两点在反比例函数的图象上且横坐标分别为1，2，
∴A，B纵坐标分别为2，1，
∴AE=1，BE=1，
∴AB= = .
故选B．
本题考查菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、75°
【解析】
根据三角形内角和定理求出∠DMC，求出∠AMF，根据三角形外角性质得出∠1=∠A+∠AMF，代入求出即可．
【详解】
∵∠ACB=90°，
∴∠MCD=90°，
∵∠D=60°，
∴∠DMC=30°，
∴∠AMF=∠DMC=30°，
∵∠A=45°，
∴∠1=∠A+∠AMF=45°+30°=75°，
故选：C．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠AMF的度数．
10、1．
【解析】
首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【详解】
正多边形的一个内角等于，
它的外角是：，
它的边数是：．
故答案为：1．
此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．
11、140
【解析】
首先连接AD，由等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，可得∠BAD=∠CAD=20°，即可得∠ABD=70°，继而求得∠AOD的度数，则可求得AD弧的度数．
【详解】
连接AD、OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=20°，BD=DC，
∴∠ABD=70°，
∴∠AOD=140°
∴AD弧的度数为140°；故答案为140.
本题考查等腰三角形的性质和圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和圆周角定理.
12、21
【解析】
首先根据统计图，求出此次竞赛中该班成绩在70分以上（含70分）的人数所占比例，然后已知总数，即可得解.
【详解】
根据统计图的信息，得此次竞赛中该班成绩在70分以上（含70分）的人数所占比例为
此次竞赛中该班成绩在70分以上（含70分）的人数为
故答案为21.
此题主要考查扇形统计图的相关知识，熟练掌握，即可解题.
13、 (3,2)
【解析】
把反比例函数与正比例函数的解析式组成方程组即可求出A点坐标；
【详解】
∵点A是反比例函数y= (x>0)的图象与正比例函数y=x的图象的交点，
∴，
解得 (舍去)或
∴A(3,2)；
故答案为：(3,2)
此题考查反比例函数，解题关键在于把反比例函数与正比例函数的解析式组成方程组
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、-
【解析】分析：根据分式的混合运算法则化简，代入化简结果进行计算即可；
详解：
=
=
=-
当x＝﹣2时
原式=.
点睛：本题考查分式的化简求值、解题的关键是掌握分式的混合运算的法则，注意最后结果要化成最简分式或整式．
15、（1）16，17；（2）14；（3）2．
【解析】
（1）将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数，出现次数最多的即为众数；
（2）根据平均数的概念，将所有数的和除以10即可；
（3）用样本平均数估算总体的平均数．
【详解】
（1）按照大小顺序重新排列后，第5、第6个数分别是15和17，所以中位数是（15+17）÷2＝16，17出现3次最多，所以众数是17，
故答案为16，17；
（2）14，
答：这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14次；
（3）200×14＝2
答：该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2次．
本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
16、（1）；（2）在的中点处，见解析；（3）点到距离是.
【解析】
（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，于是得到，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，等量代换得到，得到根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）根据（1）（2）可得，再设点到的距离是，建立等式，即可得到.
【详解】
解：（1），
理由：
，
分别平分
，
，
；
（2）在的中点处，
理由：
，
，
，
，
，
，
，
在的中点处；
（3）由（1）（2）得，
在中，，
设点到的距离是，则有
，
.
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确识别图形是解题的关键.
17、（1）；（2）．
【解析】
（1）先根据正比例函数的定义可得，再利用待定系数法即可得；
（2）直接利用待定系数法即可得．
【详解】
（1）y与x成正比例
又当时，
解得
则；
（2）由题意，将点代入得：
解得
则．
本题考查了利用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析，掌握待定系数法是解题关键．
18、（1）见解析；（2）∠BDF＝18°．
【解析】
（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数.
【详解】
（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键.注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.
【解析】
试题解析：∵原二次根式有意义，
∴x-3≥0，3-x≥0，
∴x=3，y=4，
∴x+y=1．
考点：二次根式有意义的条件．
20、
【解析】
运用因式分解法可解得.
【详解】
由得
故答案为：
考核知识点：因式分解法解一元二次方程.
21、（15，16）．
【解析】
根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可解答．
【详解】
∵直线y＝x+1和y轴交于A1，
∴A1的坐标（0，1），
即OA1＝1，
∵四边形C1OA1B1是正方形，
∴OC1＝OA1＝1，
把x＝1代入y＝x+1得：y＝2，
∴A2的坐标为（1，2），
同理A3的坐标为（3，4），
…
∴An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1），
∴A5的坐标是（25﹣1﹣1，25﹣1），即（15，16），
故答案为：（15，16）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
22、1
【解析】
试题分析：根据勾股定理得到AE==1，由平行线等分线段定理得到AE=BE=1，根据平移的性质即可得到结论．∵∠C=90°，AD=DC=4，DE=3， ∴AE==1， ∵DE∥BC， ∴AE=BE=1，
∴当点D落在BC上时，平移的距离为BE=1．
考点：平移的性质
23、
【解析】
分析:首先设出菱形边长为a,由AB=a,得出C、D的坐标，过点C作CE⊥AB，由勾股定理可得D点坐标.
详解：设菱形边长为a,即AB=a, 设C点坐标为（b,）, ∵BC∥x轴，∴D点纵坐标为：，∴D点横坐标为：，则x= -4b, ∴D（-4b, ）, ∵CD=a, ∴4b+b=a, a=5b,
过点C作CE⊥AB,则BE=a-AE=a-b=4b,BC=a=5b,
由勾股定理：CE=3b,CE= ,
∴b²=1-=, b=,∴D.故答案为.
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，解题的关键是设出菱形边长，利用反比例函数的性质表示出菱形各顶点的坐标，进而求解.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、20.8m．
【解析】
试题分析：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F，由相似三角形的判定定理得出△ABE∽△AMF，再由相似三角形的对应边成比例即可得出MF的长，进而得出结论．
试题解析：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F．
由已知可得FN=ED=AC=0.8m，AE=CD=1.25m，EF=DN=30m，
∠AEB=∠AFM=90°．
又∵∠BAE=∠MAF，
∴△ABE∽△AMF．
∴，
即：，
解得MF=20m．
∴MN=MF+FN=20+0.8=20.8m．
∴住宅楼的高度为20.8m．
考点: 相似三角形的应用.
25、（1）；；（2）300分钟．
【解析】
（1）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据（1）的结论列方程解答即可．
【详解】
解：（1）设，，由题意得：将，分别代入即可：
，
，
，
故所求的解析式为；；
（2）当通讯时间相同时，得，解得．
答：通话300分钟时两种收费方式费用相等．
本题考查的是用一次函数解决实际问题，熟悉相关性质是解题的关键．
26、（1），；（2）①；②.
【解析】
(1)根据题意将点的坐标代入反比例函数进行运算即可.
(2) ①将，将代入即可得出点C的坐标
②将代入求得点，得出E的横坐标，再代入反比例函数中计算即可
【详解】
解：（1）根据题意可知：的面积=k，
又反比例函数的图象位于第一象限，k>0，则k=8
将k=8和代入反比例函数即可得m=4
（2）①若，将代入，可得点.
②将代入，可得点，则.
点的横坐标为：.
点E在直线上，点E的纵坐标为：，
点的反比例函数上，.
解得：，（舍去）
.
本题考查反比例函数，熟练掌握计算法则是解题关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分