专题13.5 等边三角形【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册讲义（华东师大版）

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专题13.5 等边三角形【十大题型】【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31914" 【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】  PAGEREF _Toc31914 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc21496" 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】  PAGEREF _Toc21496 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc8062" 【题型3 利用等边三角形的性质求最值】  PAGEREF _Toc8062 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc18896" 【题型4 证明等边三角形】  PAGEREF _Toc18896 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc24731" 【题型5 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】  PAGEREF _Toc24731 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc26019" 【题型6 探究等边三角形中的折叠问题】  PAGEREF _Toc26019 \h 30 HYPERLINK \l "_Toc6725" 【题型7 探究等边三角形中的三角板问题】  PAGEREF _Toc6725 \h 39 HYPERLINK \l "_Toc4449" 【题型8 探究等边三角形中的动态问题】  PAGEREF _Toc4449 \h 45 HYPERLINK \l "_Toc3193" 【题型9 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】  PAGEREF _Toc3193 \h 50 HYPERLINK \l "_Toc23449" 【题型10 等边三角形中的多结论问题判断正误】  PAGEREF _Toc23449 \h 57知识点：等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 度．【答案】30【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，作AB的垂直平分线，证明AB的垂直平分线必过C、D两点，然后证明△BDC≌△BDP，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：作AB的垂直平分线，∵AD=BD，∴△ABD为等腰三角形，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∴AB的垂直平分线必过C、D两点，∠BCE=30°，∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，∴△BDC≌△BDPSAS，∴∠BPD=∠BCE=30°．故答案为：30．【变式1-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）等边三角形两条中线相交所成锐角度数为（    ）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理等知识．先求出∠ABC=∠ACB=60°，再根据“等边三角形三线合一”得到BE、CD也是等边△ABC的角平分线，即可求出∠FBC=30°,∠FCB=30°，从而求出∠DFB=60°．【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BE、CD是等边△ABC的中线，∴BE、CD也是等边△ABC的角平分线，∴∠FBC=12∠ABC=30°,∠FCB=12∠ACB=30°，∴∠DFB=∠FBC+∠FCB=60°．故选：D【变式1-2】（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（　　）A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、等边对等角求角度、垂线的定义，由等边三角形的性质可得∠BAC=∠ACB=60°，由垂线的定义可得∠BCD=90°，从而得出∠ACD=150°，由三角形内角和定理结合等边对等角可得∠CAD=∠D=15°，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+90°=150°，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=180°-∠ACD2=180°-150°2=15°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-15°=45°，故选：B．【变式1-3】（23-24八年级·辽宁本溪·期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE=12BC，则∠AFE的度数为 ．【答案】105°/105度【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，由△ABC是等边三角形，可得∠B=60°，由AD是BC边上的中线，可得BD=CD= 12BC，AD⊥BC，由DE=12BC，ED=CD，可求∠ECD=45°，由三角形外角性质可求∠AFC=105°．【详解】解：∵ △ABC是等边三角形，∴∠B=60°，AB=AC，∵ AD是BC边上的中线，∴BD=CD= 12BC，AD⊥BC，∵ DE=12BC，∴ED=CD，∠EDC=90°，∴∠ECD=∠DEC=45°，∵∠AFC是△FBC的外角，∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．故答案为：105°．【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】【例2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质，由题意得出当点D恰好落在BC上时，OD=OP，由等边三角形的性质可得∠A=∠C=60°，证明△AOP≌△CDOAAS，可得AP=OC=AC-OA，进行计算即可，熟练掌握全等三角形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键．【详解】解：如图，当点D恰好落在BC上时，OD=OP，  ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°，∴∠COD+∠ODC=180°-∠C=120°，∵∠DOP=60°，∴∠COD+∠AOP=180°-∠DOP=120°，∴∠ODC=∠AOP，在△AOP和△CDO中，∠ODC=∠AOP∠C=∠AOP=OD，∴△AOP≌△CDOAAS，∴AP=OC，∵AC=9，OA=3，∴AP=OC=AC-OA=9-3=6，故选：C．【变式2-1】（23-24八年级·河南漯河·期末）如图，已知等边△ABC，点 O是 BC 上任意一点，OE、OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为 1，则 OE+OF 的值为（   ）A．0.5 B．1 C．2 D．不确【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键．如图所示，连接OA，作AD⊥BC于点D，则AD=1，根据S△ABC=S△ABO+S△ACO即可求解．【详解】解：如图所示，连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，则AD=1，∵S△ABO=12AB·OE，S△ACO=12AC·OF，S△ABC=12BC·AD，∴12AB·OE+12AC·OF=12BC·AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴12ABOE+OF=12BC·AD，∴OE+OF=AD=1，故选：B ．【变式2-2】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，等边△ABC的边长为8cm，点D、E分别在边AB、AC上，点A落在点A1处，且点A1在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．【答案】24【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．根据折叠可得AE=A1E，AD=A1D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．【详解】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，所以AE=A1E，AD=A1D，则阴影部分图形的周长为：BC+BD+CE+A1D+A1E=BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC=8+8+8=24cm．故答案为：24．【变式2-3】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（    ）A．95 B．2 C．115 D．125【答案】B【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=12AC即可．能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．【详解】解：过P作PF∥BC交AC于F，∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，∠PFD=∠QCD∠PDF=∠QDCPF=CQ，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=12AC∵AC=4，∴DE=2．故选：B．【题型3 利用等边三角形的性质求最值】【例3】（2024·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形ABC外一点．若BD=8,CD=6，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为 ．【答案】12【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6